Обозначим размер кредита за рублей. Долг выплачен двумя равными платежами: во втором и четвертом годах, обозначим размер выплаты за

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот год.

Кредит взят на 4 года, тогда составим уравнение:

Подставим

 

Таким образом, размер каждой из выплат составит 2 928 200 рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Заметим, что общая сумма, которую нужно выплатить в конце года, никак не зависит от выплат Андрея. Обозначим млн, тогда в первый месяц проценты составят во второй — и так далее. Тогда общая сумма выплат составит

Чтобы выплаты были равными, каждый месяц нужно выплачивать ровно часть этой суммы.

Тогда ежемесячный платеж равен

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть кредит составил рублей. Тогда:

– в первый месяц первого квартала до начисления процентов долг равен после начисления процентов долг составил

– в первый месяц второго квартала до начисления процентов долг равен после начисления процентов долг составил

– в первый месяц третьего квартала до начисления процентов долг равен после начисления процентов долг составил

– в первый месяц четвертого квартала долг равен 0.

Таким образом, в первом квартале был сделан платеж в размере

во втором квартале был сделан платеж в размере

в третьем квартале был сделан платеж в размере

Следовательно, общая сумма выплат составила:

Необходимо найти, на сколько процентов общая сумма выплат больше кредита, или, что то же самое, сколько процентов составила переплата от кредита:

Тогда имеем:

Окончательно получаем:

Если — количество начисляемых процентов, то

— коэффициент, на который умножается сумма долга после начисления процентов. Составим таблицу (ведя все вычисления в тыс. рублей):

Так как после второй выплаты долг банку должен быть равен нулю, то получаем уравнение

Отрицательный корень мы не рассматриваем, так как , следовательно, и

Таким образом,

Пусть — сумма, взятая в кредит. Каждый год, когда совершается платеж первого вида, долг уменьшается на по сравнению с долгом на начало текущего года. Следовательно, если первые платежей будут первого вида, то на начало -го года долг составит Каждый платеж второго вида оставляет сумму долга равной долгу на начало текущего года. Следовательно, если через года долг будет выплачен полностью, то есть будет совершено платежей первого вида и два платежа второго вида, то на начало -го года долг составит Отсюда получаем, что Следовательно, кредит должен быть взят на 12 лет.

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг в течение всего периода кредитования. Пусть платежи второго вида будут совершены на -ый и -ый годы кредитования.

Штрафы выглядят следующим образом:

Рассмотрим сумму этих двух штрафов и найдем и при которых она будет наибольшей.

Тогда принимает наибольшее значение при наибольшем значении выражения

Рассмотрим по отдельности функции и Графиком каждой из них является парабола, ветви которой направлены вниз. Изобразим их:

Наибольшее значение выражения равно сумме наибольших значений выражений и при условии, что и

Следовательно, достигается либо при либо при Тогда имеем:

Значит,

Итак, платежи второго вида будут сделаны в 5-й и 6-й годы кредитования.

Переплата по кредиту в таком случае составит

Таким образом, процент, который эта переплата составит от кредита, равен

Пусть — сумма, взятая в кредит. Так как кредит взят на 15 лет, то каждый год долг должен равномерно уменьшаться на Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг в течение всего периода кредитования.

Пусть просрочка была сделана клиентом в -й год сроком на дней. Тогда общая сумма штрафа равна

Так как она не должна превышать 4,2% от то

Получаем следующее неравенство:

Нам необходимо найти такие пары целых чисел и где при которых выражение не превышает 105. Среди найденных пар та пара чисел, при которой значение выражения будет наибольшим, является решением задачи.

Введем обозначения:

Тогда получим

Из неравенства следует, что (это удовлетворяет условию ), Решим неравенство

Тогда получаем следующую систему, с которой будем работать:

Пробежимся по всем возможным значениям Посмотрим на следующую таблицу. Для каждого найдем а по нему из системы наибольшее возможное после чего вычислим значение Нам подойдет та пара для которой число максимально.

Нам подходит пара Так как то

Следовательно, наибольшую выгоду банку даст просрочка, сделанная на 11-ый год кредитования и длящаяся 4 дня.

По условию задачи в течение первых трех лет кредитования долг равномерно уменьшается на где млн рублей, а последние два года выплачивается одинаковыми платежами. Пусть — платежи (в млн рублей) в 2028 и 2029 годы. Тогда можно составить следующую таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования:

По условию после пятой выплаты долг должен быть погашен полностью, следовательно,

Тогда общая сумма выплат равна

Из условия следует, что следовательно,

Рассмотрим функцию

Общая сумма выплат будет принимать наименьшее значение, если будет принимать наибольшее значение при (с учетом того, что ).

Производная

Так как производная положительна для любого то возрастает, значит, наибольшее значение принимает в конце исследуемого промежутка, то есть в точке Следовательно, Тогда

Следовательно, наименьшее общая сумма выплат по кредиту равна

Следовательно, наименьшая общая сумма выплат составляет 5,74 млн рублей.

По условию задачи в течение первых двух лет кредитования долг равномерно уменьшается на где млн рублей, а последние два года выплачивается одинаковыми платежами. Пусть — платежи (в млн рублей) в 2027 и 2028 годы. Тогда можно составить следующую таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования:

По условию после четвертой выплаты долг должен быть погашен полностью, следовательно,

Тогда общая сумма выплат равна

Из условия следует, что следовательно,

Рассмотрим функцию

Общая сумма выплат будет принимать наибольшее значение, если будет принимать наименьшее значение при (с учетом того, что ).

Производная

Так как производная положительна для любого то возрастает, значит, наименьшее значение принимает в начале исследуемого промежутка. Следовательно, Тогда

Следовательно, наибольшая общая сумма выплат составляет 10 662 500 рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение 9 месяцев кредитования. Будем вести все вычисления в тыс. рублей. Пусть тыс. рублей — сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг в течение последних пяти месяцев, а — часть долга (десятичный процент), на которую он увеличивается каждый из первых четырех месяцев.

По условию после девятой выплаты долг должен быть равен нулю, следовательно,

Переплата по кредиту равна

Рассмотрим первые четыре выплаты:

Заметим, что второе слагаемое у них одинаковое, а среди первых слагаемых наименьшее у четвертой выплаты. Значит, среди первых четырех выплат наименьшая — четвертая.

Аналогично среди выплат и наименьшая выплата — девятая.

Следовательно, среди всех девяти выплат наименьшей будет либо либо Найдем каждую из них и выберем наименьшую.

Таким образом, четвертая выплата наименьшая и составит 22 700 рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение 8 месяцев кредитования. Будем вести все вычисления в тыс. рублей. Пусть тыс. рублей — сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг в течение первых четырех месяцев, а — часть долга (десятичный процент), на которую он увеличивается каждый из последних четырех месяцев.

По условию после восьмой выплаты долг должен быть равен нулю, следовательно,

Переплата по кредиту равна

Рассмотрим первые четыре выплаты:

Заметим, что второе слагаемое у них одинаковое, а среди первых слагаемых наибольшее у первой выплаты. Значит, среди первых четырех выплат наибольшая — первая.

Аналогично среди выплат и наибольшая выплата — пятая.

Следовательно, среди всех восьми выплат наибольшей будет либо либо Найдем каждую из них и выберем наибольшую.

Таким образом, пятая выплата наибольшая и составит 64 000 рублей.

Все расчёты в миллионах рублей

Общая сумма выплат равна

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 14. Значит искомый размер кредита — 14 млн.рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Все расчёты в тысячах рублей. Пусть — размер кредита, — ежемесячное уменьшение долга. Составим таблицу:

Так как в последний месяц платеж составил тысяч рублей, то долг на начало этого месяца равен тысяч рублей. За месяцев сумма долга уменьшилась на тысячи рублей. Ежемесячно сумма долга уменьшалась на сумму тысяч рублей. Общая сумма выплат равна сумме всех платежей (заметим, что все платежи с 1-го по -й образуют арифметическую прогрессию). Воспользуемся формулой суммы первых членов арифметической прогрессии:

Итого общая сумма выплат равна:

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть — сумма, взятая в кредит. С учетом условия задачи составим таблицу:

С 1-й по 10-й месяцы размер выплаты изменяется по законам арифметической прогрессии. А за 11-й месяц мы выплачиваем всю оставшуюся часть кредита. Сумму платежей за первые 10 месяцев находим по формуле суммы арифметической прогрессии и к ней прибавляем 11-й платеж. По условию задачи общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей. Отсюда получаем уравнение:

откуда тысяч рублей — сумма, которую взяли в кредит. Тогда искомый долг в конце 10-го месяца равен тысяч рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Начальную сумму равна 804000 рублей. Ежегодно начисляемые банком проценты составляют Так как кредит был выплачен тремя платежами, каждый из которых вдвое меньше предыдущего, то удобно взять выплату за 1 год, равную С учетом этого составим таблицу:

Так как за 3 года кредит полностью выплачен, то получаем уравнение

Отсюда получаем рублей — выплата в третий год.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть сумма, взятая в кредит, это тыс. руб. При этом сумма долга в течение десяти лет снижается равномерно, то есть каждый год уменьшается на одну десятую часть от Составим таблицу с учетом этого.

Искомая сумма выплат это начальная сумма кредита плюс сумма всех выплаченных процентов, которые можно найти, используя формулу для суммы арифметической прогрессии. Поскольку в течение первых пяти лет действовала одна процентная ставка, а в течение следующих пяти лет другая, у нас две арифметические прогрессии по 5 слагаемых в каждой:

Подставим и получим искомую сумму выплат: тыс. рублей.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть — сумма, которая взята в кредит. Обозначим Составим таблицу сначала для двух лет:

Поскольку при такой схеме долг выплачен за два года, то получаем уравнение:

Выразим из него

Теперь составим таблицу для четырех лет:

И получим уравнение:

Снова выразим

Так как сумма, которая бралась в кредит, была одинакова для обеих схем выплат кредита, то оба выражения для можно приравнять:

не удовлетворяет условию задачи, так как является положительным числом.

не удовлетворяет условию задачи. Соответственно Откуда

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть — сумма, взятая в кредит. Заметим, что 5% от числа равны Составим таблицу, отслеживающую изменения суммы долга:

 

Общая сумма выплат — сумма всех выражений из столбца «Выплата»:

Чтобы найти, на сколько процентов число больше числа нужно найти значение выражения Следовательно, общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит, на

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть тыс. рублей, Тогда можно составить следующую таблицу:

Из условия следует, что переплата составила 220 тыс. рублей. Из таблицы следует, что переплата равна

Тогда имеем уравнение

Отсюда по формуле суммы арифметической прогрессии получаем

Тогда

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Пусть рублей — сумма кредита, рублей — величина ежегодной выплаты при трёх платежах, а рублей — величина ежегодной выплаты при двух платежах. Платеж в обоих случаях аннуитетный. Размер долга каждый раз увеличивается на 10%, то есть в 1,1 раза.

Рассмотрим первый случай, когда Борис выплатил кредит тремя платежами. Составим таблицу.

Найдем размер каждого из трёх платежей. Так как после третьей выплаты долг был погашен, мы имеем следующее уравнение:

Рассмотрим второй случай, когда Борис мог выплатить кредит двумя платежами. Составим таблицу.

Найдем размер каждого из двух платежей. Так как после второй выплаты долг был погашен, мы имеем следующее уравнение:

Тогда в первом случае Борис суммарно заплатит рублей, а во втором случае рублей. Значит, искомая величина в рублях равна

Обозначим через тысяч рублей сумму долга. В соответствии с условием составим таблицу. Запишем долг до начисления процентов и долг после платежей, а также заполним всю седьмую строку. Платеж в седьмой год равен сумме 10 тысяч рублей и начисленных за седьмой год процентов.

Так как в пятый год долг после платежа равен а с пятого года до -ого прошло лет, то долг после платежа в последний год равен

Получаем выражение для

Платеж за седьмой год равен

По условию он равен хотя бы 30 тысячам рублей. Таким образом, получаем

Тогда имеем неравенство

Значит, наименьшее количество лет равно 26.

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.