Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для покупки стиральной машины хозяйка Мария Александровна взяла кредит в банке сроком на 5 месяцев под 12% с учетом того, что выплачивать кредит она будет раз в месяц после начисления процентов дифференцированными платежами. На сколько рублей больше в таком случае заплатит за стиральную машину хозяйка, если в магазине стиральная машина продается за 35000 рублей?
Так как кредит взят на 5 месяцев и выплачиваться будет дифференцированными платежами, то долг каждый месяц после платежа уменьшается на часть.
Составим таблицу, ведя все вычисления в тыс. рублей:
Сумма всех платежей и есть сумма, которую выплатит хозяйка банку за время кредитования. Таким образом, если из этой суммы вычесть сумму кредита, то мы найдем, сколько составила переплата по кредиту в тыс. рублей:
Таким образом, переплата составила 12 600 рублей.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
10 лет назад Григорий брал в банке кредит на 4 года, причем Григорий помнит, что выплачивал он кредит дифференцированными платежами и переплата по кредиту составила 32,5% от кредита. Под какой годовой процент был взят тогда кредит?
Обозначим за — годовой процент по кредиту, а за руб. — сумму кредита. Составим таблицу:
Переплата по кредиту составит
Так как переплата в итоге составила 32,5% от суммы кредита, то
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Семья взяла в банке ипотечный кредит под 10% годовых на 8 лет. Условия погашения кредита следующие: по истечении каждого года заемщик погашает банку начисленные проценты за год и часть основной суммы. Какую сумму семья взяла в банке, если последний платеж, которым она полностью погасила кредит, составил 605 тысяч рублей? Ответ дайте в миллионах рублей.
Из условия можно сделать вывод, что система платежей по кредиту дифференцированная.
Пусть в ипотеку было взято тыс. рублей. Составим таблицу:
Таким образом, последний платеж равен
Следовательно, в кредит было взято 4400 тыс. рублей, что равно 4,4 млн рублей.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Банк выдает кредит на следующих условиях:
— раз в год банк начисляет на текущий долг некоторый процент годовых;
— раз в год после начисления процентов клиент обязан внести платеж в счет погашения кредита, причем платежи вносятся таким образом, чтобы сумма долга уменьшалась каждый год на одну и ту же величину;
— отношение наибольшего платежа к наименьшему платежу равно
Сколько процентов составит переплата от кредита, если взять такой кредит на 9 лет?
Из условия следует, что кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть в банке взято рублей в кредит. Если – процентная ставка в банке, то обозначим величину . Тогда можно
составить таблицу:
Так как система выплат дифференцированная, то наибольший платеж – первый, а наименьший – последний. Следовательно,
Тогда переплата по кредиту равна
Следовательно, переплата составила от кредита
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В феврале 2015 года Аркадий Петрович взял кредит в банке под 13% годовых. Выплатить кредит он должен восемью платежами, вносимыми на счет раз в год после начисления процентов на оставшуюся сумму долга. Долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно.
Сколько рублей составит переплата по кредиту, если наибольший платеж на 91000 рублей больше наименьшего платежа?
Фраза «долг при этом должен уменьшаться каждый год равномерно» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть Аркадий Петрович взял в банке рублей. Так как кредит должен быть выплачен восемью платежами, то он взят на 8 лет. Составим таблицу.
Заметим, что все платежи состоят из двух частей. Вторая часть одинакова для всех платежей и равна рублей. Первая часть меняется, причем в первом платеже первая часть — наибольшая, а в последнем — наименьшая. Значит, первый платеж — наибольший, а последний — наименьший. Таким образом, получаем следующее уравнение:
Тогда переплата по кредиту равна сумме всех платежей за вычетом суммы кредита:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каков процент годовых в банке по кредиту, который выдается на 7 лет, если сумма, выплаченная банку за все годы кредитования, составляет 144% от суммы кредита? При этом погашение кредита происходит раз в год после начисления процентов платежами, уменьшающими долг равномерно.
Фраза «погашение кредита происходит платежами, уменьшающими долг равномерно» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.
Пусть кредит выдается на сумму рублей. Если — процентная ставка в банке, то в первый год после начисления процентов долг увеличится на величину в рублях, равную
Тогда во второй год после начисления процентов долг увеличится на величину в рублях, равную
Далее аналогично. Составим таблицу:
Год | Долг после | Сумма | Долг после |
начисления % | платежа | платежа | |
1 | |||
2 | |||
3 | |||
4 | |||
5 | |||
6 | |||
7 | 0 | ||
Сумма, выплаченная по этому кредиту за все годы кредитования, равна сумме всех платежей:
Так как эта сумма составляет 144% от суммы кредита, то
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле некоторого года планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 17% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 650 тысяч рублей?
Источники:
Пусть млн рублей, — число лет, на которое взят кредит. Тогда так как долг каждый год уменьшается равномерно и через выплат равен нулю, то каждый год он уменьшается на Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в течение всего периода кредитования, ведя вычисления в млн рублей.
Наименьший годовой платеж — последний, так как второе слагаемое у него такое же, как и у остальных платежей, а первое — самое меньшее среди первых слагаемых всех платежей. Следовательно, получаем
Тогда общая сумма выплат равна
9,25 млн рублей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле 2019 года Тимофей взял кредит в банке на 6 лет на сумму 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь сумма долга увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2025 года долг должен быть выплачен полностью.
В любой момент за плату в 5 тыс. рублей банк дает возможность своему клиенту погасить долг досрочно, при этом выплатив банку штраф в размере от остатка долга на этот момент. Таким образом, клиент в любой момент может выбрать один из двух вариантов:
— продолжать выплачивать кредит на установленных банком условиях;
— закрыть кредит досрочно на описанных выше условиях.
В декабре 2023 года у Тимофея появились свободные средства и он решил сразу досрочно закрыть кредит. Найдите наибольшее целое при котором Тимофею выгодно будет это сделать.
Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг в течение шести лет пользования кредитом, приняв за тыс. рублей.
Заметим, что к декабрю 2023 года Тимофей успеет внести четвертый платеж по кредиту и его долг составит Следовательно, в случае, если Тимофей решит погасить кредит досрочно, вместо последних двух платежей ( и ) ему необходимо будет выплатить банку сумму, равную тыс. рублей.
Если Тимофею выгодно погасить кредит досрочно, то переплата в случае досрочного погашения кредита должна быть меньше переплаты в случае погашения кредита за шесть лет дифференцированными платежами. Поэтому получаем следующее неравенство:
Следовательно, наибольшее целое равно 27.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле некоторого года Максим взял кредит в банке на 9 лет на сумму тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь сумма долга увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
В тот и только тот момент, когда долг впервые стал менее тыс. рублей, Максим может взять кредит в другом банке на сумму, равную остатку долга в первом банке, чтобы сразу с ним рассчитаться.
При этом второй банк выдает кредит на следующих условиях:
— на выплату кредита дается 9 лет;
— каждый январь сумма долга увеличивается на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите наименьшее целое значение при котором Максиму стоит принять предложение второго банка, то есть такое, при котором суммарная переплата по кредитам в первом и втором банках меньше переплаты по кредиту только в первом банке (без прибегания к помощи другого банка).
Пусть Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в первом банке:
Переплата в первом банке составит
Заметим, что сумма долга станет меньше в конце 5-го года (после 5-го платежа). Следовательно, если клиент решит воспользоваться услугами второго банка, то сумма долга во втором банке составит Рассмотрим таблицу, позвляющую отслеживать сумму долга во втором банке, взяв за
Тогда если кредит сначала взят в первом банке, а после 5-ти лет пользования этим кредитом клиент перешел во второй банк, то переплата равна
Необходимо, чтобы
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле некоторого года Максим взял кредит в банке на 7 лет на сумму тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь сумма долга увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
В тот и только тот момент, когда долг впервые стал менее тыс. рублей, Максим может взять кредит в другом банке на сумму, равную остатку долга в первом банке, чтобы сразу с ним рассчитаться.
При этом второй банк выдает кредит на следующих условиях:
— на выплату кредита дается 7 лет;
— каждый январь сумма долга увеличивается на по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите наибольшее целое значение при котором Максиму стоит принять предложение второго банка, то есть такое, при котором суммарная переплата по кредитам в первом и втором банках меньше переплаты по кредиту только в первом банке (без прибегания к помощи другого банка).
Пусть Составим таблицу, позволяющую отслеживать сумму долга в первом банке:
Переплата в первом банке составит
Заметим, что сумма долга станет меньше в конце 4-го года (после 4-го платежа). Следовательно, если клиент решит воспользоваться услугами второго банка, то сумма долга во втором банке составит Рассмотрим таблицу, позвляющую отслеживать сумму долга во втором банке, взяв за
Тогда если кредит сначала взят в первом банке, а после 4-х лет пользования этим кредитом клиент перешел во второй банк, то переплата равна
Необходимо, чтобы
7
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму млн рублей на 24
месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом
предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше
долга на 15-е число предыдущего месяца.
Найдите среднее арифметическое значений первых 12 выплат.
Все вычисления будем проводить в миллионах рублей. Пусть миллионов рублей.
Составим таблицу выплат для первых 12 платёжных периодов. Ниже увидим, что во всех столбцах образуется арифметическая прогрессия, поэтому строки от четвертой до 11-й можем опустить:
Год | Нач. долг | % | Выплата | Кон. долг |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
… | … | … | … | … |
У задачи есть два пути решения. Первый: найти сумму первых 12 выплат и разделить её на 12. Второй: найти среднее арифметическое первой и последней (12-й) выплат, откуда по характеристическому свойству арифметической прогрессии мы автоматически найдём ответ.
Пойдём вторым путем.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дабы удовлетворить все желания хороших ребят, заказавших у него на Новый Год подарки, 20 декабря 2022 года Дед Мороз взял кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 19-е число каждого месяца необходимо было выплатить часть долга;
— 20-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 20-е число предыдущего месяца.
Какую сумму в рублях Дед Мороз взял в кредит, если общая сумма выплат в итоге составила миллиона рублей?
Вычисления будем проводить в миллионах рублей.
Пусть Дед Мороз взял в кредит миллионов рублей.
Составим таблицу выплат. Ниже увидим, что во всех столбцах образуется
арифметическая прогрессия, поэтому строки с 4-й по 11-ю можем пропустить:
Нас интересует столбец выплат. При этом величины выплат образуют арифметическую прогрессию. Заметим, что первые слагаемые в каждой выплате одинаковые, а для вторых слагаемых воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
Общая сумма выплат равна миллиона рублей:
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Санта Клаус обнищал: для Christmas 2023 ему необходимо оплатить работу гномов по изготоплению подарков детям, а его расчеты не совпали с плановыми. Поэтому ему пришлось взять кредит «Magic» в банке «You’ll never pay» сроком на 4 столетия, проценты по которому начисляются 1 раз в 100 лет. Найдите наименьший процент, под который банку необходимо выдать Санте кредит, чтобы переплата по такому кредиту составила не менее 30% от суммы кредита. При этом выплачиваться кредит должен ежестолетними платежами, уменьшающими долг каждые 100 лет на одну и ту же величину.
Фраза «кредит выплачивался ежестолетними платежами, уменьшающими долг каждые 100 лет на одну и ту же величину» означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, каждые 100 лет после платежа долг становился меньше на одну и ту же величину, равную части от суммы, взятой в кредит, так как он взят на 4 столетия.
Пусть — сумма, взятая в кредит, — годовой процент в банке «You’ll never pay». Тогда обозначим величину
Составим таблицу:
Столетие | Долг до начисления % | Долг после начисления % | Платеж |
Таким образом, общая сумма выплат по кредиту равна
Значит, переплата равна
Необходимо, чтобы переплата составила не менее 30% от суммы кредита, то есть
Таким образом, наименьший годовой процент равен 12%.
12%
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
15 мая планируется взять кредит в банке сроком на 23 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 36% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите
Кредит взят на 23 месяца, обозначим размер кредита за платеж дифференцированный, значит, каждый раз за месяц сумма долга должна уменьшаться на Можем составить таблицу.
Переплата по кредиту равна сумме всех первых слагаемых из столбца «Выплата», по условию она составляет Запишем и решим уравнение:
3
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
1-го августа 2022 года планируется взять кредит на 3 года на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– в январе каждого года долг возрастает на некоторое число процентов по сравнению с концом предыдущего года;
– в июле каждого года должна быть сделана выплата;
– 1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа предыдущего года;
– к концу июля 2025 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что процентная ставка в каждый год, кроме первого, ровно на 1% больше процентной ставки в предыдущем году. Найдите наибольшее значение процентной ставки в первый год, если переплата по данному кредиту не превосходит трети от изначально взятой суммы.
Так как кредит взят в августе 2022 года, в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.
Обозначим размер кредита через а процентную ставку за первый год через При этом каждый год процентная ставка увеличивается на 1. Кредит взят на 3 года, то есть в январе 2023-го года сумма долга увеличится на в январе 2024-го года — на в январе 2025-го года — на
1-го августа каждого года, кроме первого, долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 1-е августа предыдущего года. Обозначим эту величину за
Таким образом, сумма долга после выплаты в 2023-ем году составит в 2024-ом году в 2025-ом году При этом в 2025-ом году долг должен быть погашен, то есть и
Отсюда получим, что сумма долга после выплаты в 2023-ем году равна сумма долга после выплаты в 2024-ом году равна
Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».
Год | Сумма долга | Сумма долга | Сумма долга | Выплата |
до начисления % | после начисления % | после выплаты | ||
2023 | ||||
2024 | ||||
2025 | ||||
По условию переплата по кредиту не превосходит При этом переплата равна разности суммы выплат (сумма по столбцу "Выплата") и изначальной суммы кредита Выпишем это в виде неравенства:
Таким образом, максимально возможная процентная ставка по кредиту за первый год составляет 16%.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На какое максимальное количество лет нужно выдать кредит, который будет выплачиваться дифференцированными платежами, чтобы наибольший годовой платеж превышал наименьший годовой платеж не более чем на ? Годовая процентная ставка по кредиту равна .
Т.к. кредит выплачивается дифференцированными платежами, то первый платеж будет наибольшим, а
последний - наименьшим. Действительно, если кредит взят на рублей сроком на лет
под годовых, то каждый год после платежа долг должен уменьшаться на по
сравнению с долгом до начисления процентов (определение дифференцированного платежа):
после первого платежа он станет равен , после второго – и т.д. Это
значит, что каждый платеж состоит из двух частей: первая часть состоит из процентов,
начисленных на долг в текущем году, а вторая часть всегда одинакова (это ). А так
как долг с каждым годом становится меньше, то первая часть платежа также становится
меньше.
В первый год долг равен , то есть первый платеж равен .
В последний год долг равен , следовательно, последний платеж равен .
По условию наибольший платеж должен превышать не более чем на наименьший платеж, то есть должен составлять не более от наименьшего, следовательно:
Так как – количество лет, то есть целое число, то .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
15 января некоторого года планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите
Фраза «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» означает, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. Следовательно, можно составить таблицу, взяв за сумму кредита:
Таким образом, как и должно быть при дифференцированных платежах, все платежи состоят из двух частей, причем первые части одинаковы и равны
Так как сумма всех платежей и есть сумма, уплаченная банку за время кредитования, то
С использованием формулы суммы арифметической прогрессии далее имеем:
Отсюда получаем
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн. рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн. рублей?
Пусть — число лет, на которое взят кредит. Так как годовой процент в банке равен 25%, то это значит, что каждый год долг увеличивается на четверть. Из условия следует, что система выплат дифференцированная, следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на часть, то есть на млн. рублей. Составим таблицу:
Таким образом, общая сумма выплат составляет
В скобках мы получили сумму арифметической прогрессии, где первый член равен , -ый равен , соответственно, количество членов равно .
Таким образом, так как общая сумма выплат равна по условию млн. рублей, то получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
15-го января планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условие его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего
месяца.
Известно, что на 16-й месяц кредитования нужно сделать платеж в размере 29,6 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Пусть тыс. рублей – сумма, взятая в кредит. Фраза “долг должен быть на одну и ту же величину меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Каждый такой платеж состоит из двух частей: первая часть всегда одинаковая – это часть от ; вторая часть состоит из процентов, “набежавших” на долг в этом месяце.
Составим таблицу:
Из полученного уравнения можно найти
Тогда за все месяцы кредитования будет выплачено банку: тыс. рублей.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Верно построена математическая модель | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму на 12 лет под годовых, причем выплачивал кредит он так, чтобы сумма долга каждый год уменьшалась равномерно. Известно, что за первые 8 лет он отдал банку 7 млн рублей. Найдите, сколько млн. рублей он заплатил банку за последние 4 года пользования кредитом.
Пусть млн. рублей — сумма, взятая в кредит. Так как “сумма долга каждый год уменьшалась равномерно”, то кредит выплачивается дифференцированными платежами. Составим таблицу:
Значит, за первые 8 лет клиент отдал банку
Тогда за последние 4 года он отдал банку
Следовательно, за последние 4 года от отдал банку млн. рублей.