Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку
а) Перенесём все слагаемые в левую часть:
Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно
Сделаем замену тогда уравнение примет вид
Его дискриминант тогда имеем:
Сделав обратную замену, получим
Так как то уравнение не имеет корней. Следовательно,
Уравнение имеет решения
Следовательно, уравнение имеет решения
б) Отберем корни с помощью неравенств.
При получаем
При получаем
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение .
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
а) Преобразуем уравнение
Так как , то подходит только , откуда получаем
б) Отберем корни с помощью неравенств:
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Так как косинус — четная функция, то есть то
Кроме того, по формуле приведения имеем:
Тогда получим уравнение
Сделав замену получим квадратное уравнение
Корнями этого уравнения являются
Так как то корень не подходит. Следовательно, получаем
б) Отберем корни с помощью неравенств:
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Источники:
а) Уравнение равносильно
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.
Следовательно, на отрезке лежит число
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку
а)
Воспользуемся формулами понижения степени и суммы синусов:
Тогда уравнение примет вид:
Воспользуемся формулой приведения:
Уравнение примет вид:
Пусть Тогда уравнение примет вид:
Сделаем обратную замену:
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку с помощью тригонометрической окружности:
Получим значения:
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку
а) Тангенс и котангенс определены, если косинус и синус соответственно не равны нулю.
Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса, используя соотношение
Пусть тогда:
корни этого уравнения легко находятся по теореме Виета: и
Сделаем обратную замену:
1)
2)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:
Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.
а) ; ; ;
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Преобразуем уравнение, применив формулы двойного аргумента для синуса и косинуса:
Сделаем замену тогда уравнение примет вид
Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни на тригонометрической окружности.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) Заметим, что , следовательно,
б) Отберем подходящие корни с помощью тригонометрической окружности.
На отрезке лежат корни
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
а) По формулам и уравнение преобразуется к виду
Сделаем замену , тогда и уравнение примет вид
Тогда
б) Сделаем отбор корней с помощью тригонометрической окружности.
На отрезке лежат корни
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Решите уравнение
б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку
а) Для начала воспользуемся формулой приведения
Также воспользуемся формулой косинуса двойного угла
Тогда для исходного уравнения имеем:
Обозначим тогда уравнение примет вид
Возвращаясь к исходным обозначениям, имеем совокупность
б) Рассмотрим каждый из корней отдельно. При этом сразу учтём, что
Тогда для каждой из серий имеем:
а)
б)
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 1 |
ИЛИ | |
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) Заметим, что , следовательно:
Сделаем замену . Тогда уравнение примет вид:
Заметим, что не удовлетворяет условию , то есть не является решением. Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни:
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) По формуле приведения . Применив также формулу , получим:
б) Отберем корни.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку
а) Данное уравнение равносильно системе
Решим первое уравнение. Сделаем замену , тогда уравнение примет вид
Решим второе уравнение:
Пересечем полученные решения с условием .
Для этого отметим полученные корни на окружности, тогда подойдут те, которые находятся на зеленых
дугах:
Следовательно, ответ:
б) Отберем корни по окружности. Отметим дугу, соответствующую промежутку . Тогда в
этот промежуток попадают следующие точки:
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ.
Сделаем замену: . Тогда уравнение примет вид:
Сделаем обратную замену:
Заметим, что для данных значений выполнено ОДЗ, следовательно, это и есть окончательный ответ.
б) Отберем корни:
Аналогичным образом находим еще три корня, попадающие в промежуток: .
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) Сделаем замену , тогда уравнение примет вид:
Заметим, что так как , то не подходит. Следовательно,
б) Отберем корни.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
а) По формуле приведения . Сделаем замену :
Дискриминант уравнения
Следовательно, корнями будут
Сделаем обратную замену:
б) Отберем корни.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ.
Т.к. уравнение примет вид:
С помощью замены данное уравнение сводится к квадратному, корнями которого будут . Сделав обратную замену, получим:
Заметим, что первая серия корней не удовлетворяет ОДЗ, т.к.
б) Отберем корни.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ.
По формуле приведения , следовательно, уравнение примет вид:
Сделаем замену: , тогда :
Сделаем обратную замену:
Т.к. при любом , следовательно, , значит, второе уравнение решений не имеет. Следовательно:
б) Отберем корни:
.
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: . Решим на ОДЗ.
Заметим, что в данном уравнении , т.к. тогда не существует. Поэтому домножим правую и левую части уравнения на :
Сделаем замену :
Сделаем обратную замену:
Заметим, что данные ответы подходят под ОДЗ.
б) Отберем корни:
1)
2) Обозначим .
Т.к. в первой четверти тангенс возрастает, то , следовательно, , значит:
, следовательно, можно условно записать, что
Значит, , следовательно, .
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Решите уравнение
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку .
а) ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ.
Т.к. , то уравнение равносильно:
Сделаем замену: . Имеем:
Заметим, что не подходит. Сделаем обратную замену:
Заметим, что данные корни можно записать в виде двух формул:
б) Отберем корни:
а)
б)