Тема 13. Решение уравнений
13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2713

a) Решите уравнение  2sin2x +2 = 5sinx.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (0;π).

Показать ответ и решение

а) Перенесём все слагаемые в левую часть:

2sin2x+ 2− 5sinx= 0

Полученное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно sin x.

Сделаем замену sinx = t,  тогда уравнение примет вид

2t2− 5t+ 2= 0

Его дискриминант D = 25 − 16 =9,  тогда имеем:

t1,2 = 5±-3 ⇒   t1 = 2, t2 = 0,5
       4

Сделав обратную замену, получим

sin x= 2, sin x= 0,5

Так как sinx≤ 1,  то уравнение sinx =2  не имеет корней. Следовательно, sinx = 0,5.

Уравнение sinx= a  имеет решения

x= arcsina+ 2πk,  x= π − arcsina+ 2πk, k ∈ ℤ

Следовательно, уравнение sin x= 0,5  имеет решения

x = π-+2πk,  x= 5π + 2πk, k ∈ℤ
    6            6

б) Отберем корни с помощью неравенств.

   π                 π        5π
0< 6-+ 2πk < π  ⇔   − 6-<2πk < 6-

     − 1-< k <-5   ⇔   k = 0
       12      12

При k = 0  получаем     π
x=  6.

    5π                5π        π-
0 < 6 + 2πk < π  ⇔   − 6 < 2πk < 6
        5       1
      − 12-< k < 12  ⇔   k = 0

При k = 0  получаем     5π
x=  6-.

Ответ:

а) π-      5π-
6 + 2πk; 6 + 2πk, k ∈ℤ

 

б) π-;
6  5π
 6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!