Тема 13. Решение уравнений
13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2368

а) Решите уравнение

                          √ -------
(4 cos23x − 4 sin 3x − 1) ⋅  − ctgx = 0

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку (      ]
  π;2 π .
  2

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение равносильно системе

( [
|{  4 cos23x − 4 sin 3x − 1 = 0

|(   − ctgx = 0
  − ctgx ≥ 0

Решим первое уравнение. Сделаем замену t = sin 3x  , тогда уравнение примет вид

     2                       2                            2    2
4 − 4t − 4t − 1 = 0   ⇔    4t +  4t + 1 = 4  ⇔     (2t + 1)  = 2    ⇒    2t + 1 = ±2.
Следовательно, получаем:   1) sin 3x =  1-  ⇒    x =  π--+ 2π-n
         2             18    3  и x =  5π-+ 2-πk
     18    3  , k, n ∈ ℤ.    2) sin 3x = − 3-
          2  – не имеет решений.

 

Решим второе уравнение:

                     π
ctgx = 0   ⇔     x = --+ πm,  m ∈ ℤ
                     2

Пересечем полученные решения с условием − ctgx ≥ 0   ⇔     ctgx ≤  0  .
Для этого отметим полученные корни на окружности, тогда подойдут те, которые находятся на зеленых дугах:
 
PIC
 
Следовательно, ответ:     π         13π         17π          29π
x = --+  πm;  ----+ 2 πn; ---- + 2πk;  ----+ 2πl; m, n,k, l ∈ ℤ.
    2          18          18          18

 

б) Отберем корни по окружности. Отметим дугу, соответствующую промежутку (     ]
 π-
  2;2π . Тогда в этот промежуток попадают следующие точки:
 
PIC

Ответ:

а) π         13π         17π         29 π
--+  πm;  ----+ 2 πn; ---- + 2πk; ---- + 2πl; m, n,k, l ∈ ℤ
2          18          18          18

 

б) 13π- 17-π  3π-  29π-
18 ;  18 ;  2 ;  18

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!