Задача №2242: Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 13. Решение уравнений

13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2242

а) Решите уравнение

√ -- 2 --2- ( π- ) -1-- cos x − 2 cos x = sin 2 − x − √2--

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( ) − π-; π . 2 2$

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( π ) sin --− x = cosx 2$ . Сделаем замену $t = cosx$ :

√ -- ( √ -- ) 2 2 1 2 2 1 t − -2-t = t − √--- ⇔ t − -2--+ 1 t + √--= 0 2 2

Дискриминант уравнения

( √ -- )2 ( √ -)2 ( √ -- )2 2 4 2 √-- 2 D = ---+ 1 − √--= ---- − 2 + 12 = ----− 1 . 2 2 2 2

Следовательно, корнями будут

√- (√ - ) -2-+ 1 ± --2− 1 √ -- t = -2----------2------ ⇒ t1 = --2- и t2 = 1. 2 2

Сделаем обратную замену:

√ -- 2 π cos x = -2-- ⇔ x = ± 4-+ 2πm, m ∈ ℤ cos x = 1 ⇔ x = 2πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$− π-< π- + 2πm < π- ⇔ − 3-< m < 1- ⇒ m = 0 ⇒ x = π. 2 4 2 8 8 4$

$π π π 1 3 π − --< − --+ 2πm < -- ⇔ − --< m < -- ⇒ m = 0 ⇒ x = − --. 2 4 2 8 8 4$

$π- π- 1- 1- − 2 < 2πn < 2 ⇔ − 4 < n < 4 ⇒ n = 0 ⇒ x = 0.$

Ответ:

а) $π 2πn; ± --+ 2πm; n,m ∈ ℤ 4$

б) $π π − 4-; 0; 4-$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse