Задача №1755: Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 13. Решение уравнений

13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1755

а) Решите уравнение

( ) 3 2 3 13π- 3(sin x + 1) + 2 cos 2 + x − 3 = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;π]$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле приведения $( ) 13-π cos 2 + x = − sinx$ , следовательно, уравнение примет вид:

3 2 3 3 2 3 3(sin x + 1) + 2(− sin x) − 3 = 0 ⇒ 3(sin x + 1) − 2 sin x − 3 = 0

Сделаем замену: $3 sin x + 1 = t$ , тогда $3 sin x = t − 1$ :

3t2 − 2(t − 1) − 3 = 0 ⇒ 3t2 − 2t − 1 = 0 ⇒ t = 1;t = − 1- 1 2 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ sin3x + 1 = 1 sin3 x = 0 ⌈ 1 ⇒ ⌈ 4 sin3x + 1 = − -- sin3 x = − -- 3 3

Т.к. $− 1 ≤ sinα ≤ 1$ при любом $α$ , следовательно, $3 − 1 ≤ sin α ≤ 1$ , значит, второе уравнение решений не имеет. Следовательно:

sin3 x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

$0 < πn ≤ π ⇒ 0 < n ≤ 1 ⇒ n = 1 ⇒ x = π$ .

Ответ:

а) $πn, n ∈ ℤ$

б) $π$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse