Тема 13. Решение уравнений
13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1754

а) Решите уравнение

tgx − 2ctgx =  1

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (          )
    5π-  π-
  − 2 ;−  2 .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: sin x ⁄= 0,cosx ⁄=  0  . Решим на ОДЗ.

Заметим, что в данном уравнении tgx ⁄=  0  , т.к. тогда ctgx  не существует. Поэтому домножим правую и левую части уравнения на tgx  :

  2                              2
tg x − 2ctgx ⋅ tgx − tgx = 0 ⇒ tg x − 2 − tgx = 0,т.к. ctgx ⋅ tgx = 1

Сделаем замену tgx = t,t ∈ ℝ  :

t2 − t − 2 = 0 ⇒ t1 = − 1;t2 = 2

Сделаем обратную замену:

[             ⌊        π
 tgx = − 1    ⌈x1 =  − --+ πn, n ∈ ℤ
 tgx = 2   ⇒           4
               x2 =  arctg2 + πm, m ∈  ℤ

Заметим, что данные ответы подходят под ОДЗ.

 

б) Отберем корни:

 

1)   5π           π      9          1                         9π    5π
− --- < x1 < − --⇒  − --<  n < − --⇒  n = − 2;− 1 ⇒  x = − ---;− ---
   4           2      4          4                          4    4

 

2) Обозначим arctg2 =  α  .

 

−  5π-< x2 <  − π-⇒  − 5-− α-<  m <  − 1-− α-
   2            2      2   π           2   π

 

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает, то π         π
-- > α >  --
 2        3  , следовательно,   1      α     1
− --<  − --< − --
  2      π     3  , значит:

 

         5-  α-     17-            1-   α-     5-
− 3 <  − 2 − π <  − 6 ,     − 1 < − 2 − π < −  6  , следовательно, можно условно записать, что

− 2,... < m  < − 0,...

Значит, m  = − 2;− 1  , следовательно, x = arctg2 − 2π;arctg2 − π  .

Ответ:

а)    π
−  --+ πn, arctg2 + πm,  n,m  ∈ ℤ
   4

 

б)   9π-               5-π
−  4 ;arctg2 − 2π;−  4 ;arctg2 − π

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!