Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном тетраэдре точка — середина ребра , точка лежит на ребре и .
а) Найдите угол между прямыми и .
б) Найдите расстояние между прямыми и , если ребро тетраэдра равно .
Пусть ребро тетраэдра равно .
В основании лежит равносторонний треугольник со стороной высота в этом треугольнике
Проекция точки на плоскость это точка пересечения медиан(точка ), и она делит медиану в отношении от вершины. Найдём по теореме Пифагора для
|
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось лежит в плоскости и направлена в полуплоскость с точкой перпендикулярно ,
Ось направим в полупространство, содержащее точку , перпендикулярно векторам и .
Запишем координаты всех точек.
, , , , .
Так как
а) Найдем угол между прямыми и , как угол между направляющими векторами
Найдём угол между векторами по следующей формуле
|
Замечание. При вычислении скалярного произведения мы воспользовались свойством ассоциативности
Отсюда следует ответ
|
б) Из условия, что ребро тетраэдра равно , получаем, что .
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор этой прямой.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор этой прямой.
Решим базовую задачу расстояния между прямыми(см. методичку задача №7), получим ответ.
|
а) б) 2
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна боковому ребру . Медианы треугольника пересекаются в точке .
а) Докажите, что .
б) Точка — середина . Найдите , если AD=3.
Пусть .
В основании лежит квадрат со стороной диагональ
Проекция точки на плоскость это точка пересечения диагоналей(точка ). Найдём по теореме Пифагора для
|
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим в полупространство, содержащее точку , перпендикулярно векторам и .
Запишем координаты некоторых точек точек.
, , , , , — середина стороны .
Так как - точка пересечения медиан, , тогда координаты точки можно найти следующим образом
а) Заметим, что
Получаем, что
б) По условию . Найдём координаты точки .
Найдем длину вектора и получим ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде с вершиной , все рёбра которой равны 2, точка — середина ребра , точка центр основания пирамиды, точка делит отрезок в отношении , считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая перпендикулярна прямой .
б) Найдите расстояние от точки до прямой .
В основании лежит равносторонний треугольник со стороной высота в этом треугольнике .
Проекция точки на плоскость это точка пересечения медиан(точка ), и она делит медиану в отношении от вершины. Найдём по теореме Пифагора для
|
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось лежит в плоскости и направлена в полуплоскость с точкой перпендикулярно ,
Ось направим в полупространство, содержащее точку , перпендикулярно векторам и .
Запишем координаты некоторых точек точек.
, , , ,
Так как
а) Докажем перпендикулярность прямых через перпендикулярность их направляющих векторв.
Найдем скалярное произведение .
|
Замечание. При вычислении скалярного произведения мы воспользовались свойством ассоциативности
Следовательно, прямые перпендикулярны ч.т.д.
б) Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор этой прямой.
Решим базовую задачу расстояния между точкой и прямой(см. методичку задача №5), получим ответ.
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что : = 2 : 3, на ребре — точка так, что : = 1 : 4, а точка — середина ребра . Известно, что , , .
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину .
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора .
Найдем координаты всех точек
Способ 1.
а) Найдём уравнение плоскости , подставляя координаты точек:
Пусть . Тогда из первого уравнения , из второго уравнения , из третьего . Получим уравнение: . Подставим координаты точки и проверим, выполняется ли равенство:
Равенство верно, значит, тока принадлежит плоскости
б) Найдём уравнение плоскости , подставив соответствующие точки в уравнение плоскости :
Пусть , тогда из первого уравнения . Из второго и третьего уравнений . Получим уравнение , вектор нормали этой плоскости . Вектор нормали плоскости с уравнением равен . Угол между плоскостями равен углу между соответствующими им нормалями: . Получим ответ .
Способ 2
а) Параметрически зададим плоскость через начальную точку и два направляющих вектора плоскости.
Заметим, что при подстановке в уравнение плоскости, получаем точку :
Следовательно, точка принадлежит плоскости ч.т.д.
б) Параметрически зададим плоскость через начальную точку и два направляющих вектора плоскости
Найдем угол между двумя заданными плоскостями(см. базовая задача №10 из методички), получим ответ.
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
ЕГЭ — 2021 по математике. Резервная волна
В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник . На прямой отмечена точка так, что — середина . На прямой отмечена точка так, что - середина .
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и , если , а .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось лежит в плоскости и направлена в полуплоскость с точкой перпендикулярно ,
Ось направим вдоль вектора .
Пусть , а . Найдём координаты некоторых точек
a) Докажем перпендикулярность прямых через перпендикулярность их направляющих векторв.
|
б) Из условия , следует, что .
Способ 1.
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми то же самое , что и найти расстояние от любой точки на одной прямой до плоскости, проходящей, через вторую прямую, параллельной первой.
Пусть — плоскость, проходящая через параллельно . Тогда если провести (вдоль направления оси ) и , то Найдём координаты точки
Найдём уравнение плоскости :
Из первого и второго уравнения следует, что Пусть , тогда из второго уравнения. Из третьего уравнения . Домножим все коэффициенты уравнения на и получим плоскость с уравнением . Вектор нормали , его длина равна Найдём расстояние от точки до плоскости :
Способ 2.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой.
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой.
Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми(см. базовая задача №7 из методички), получим ответ.
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 10, а косинус угла одноименного треугольника равен . Точка — середина ребра .
а) Докажите, что .
б) Найдите косинус угла между прямыми и .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось лежит в плоскости и направлена в полуплоскость с точкой перпендикулярно ,
Ось направим в верхнее полупространство перпендикулярно векторам и .
По теоереме косинусов для треугольника :
|
|
Пусть точка - центр описанной окружности равностроннего треугольника, тогда По теореме Пифагора для треугольника :
|
|
Найдем координаты всех точек.
a) Докажем перпендикулярность прямый через перпендикулярность их направляющих векторв.
Найдем их скалярное произведение
|
б) Найдем косинус угла между прямыми, как косинус угла между их направляющими векторами.
|
|
Подставляем найденные значения в уравнение с косинусом
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании пирамиды лежит прямоугольник со стороной и диагональю . Все боковые ребра пирамиды равны 5. На диагонали основания отмечена точка , а на ребре – точка так, что .
а) Докажите, что плоскость параллельна ребру .
б) Плоскость пересекает ребро в точке . Найдите расстояние от точки до плоскости .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим в полупространоство, содержащее точку , перпендикулярно векторам и .
По теореме Пифагора для
|
По теореме Пифагора для (-проекция точки на плоскость )
|
Найдём координаты некоторых точек
, , , , .
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Способ 1
а) Найдём уравнение плоскости , подставив координаты точек:
Вычтя из второго уравнения 4 раза первое, получим . То есть плоскость имеет уравнение вида .
Проведём . Найдём координаты точки . Поскольку , то — равносторонний, и тогда по теореме о пропорциональных отрезках . Получим, что . Подставив координаты этой точки в уравнение плоскости , получим верное равенство. Значит, точка . Значит, , которая параллельна . Значит, .
б) Так как , то проведём , где — точка пересечения плоскости с ребром . По теореме Пифагора То есть А по теореме о пропорциональных отрезках для угла и параллельных секущих и : . Тогда
Уравнение плоскости легко понять, учитывая то, что его вектор нормали направлен вдоль оси , и плоскость проходит через начало координат: . Вектор нормали будет .
Тогда расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле
Замечание. Расстоянием от точки до такой плоскости будет модуль третьей координаты этой точки, поскольку отрезок, соединяющий точку и плоскость будет идти вдоль вектора нормали.
Способ 2
Параметрически зададим уравнение плоскости через начальную точку и 2 направляющих вектора этой плоскости.
Попробуем найти точки пересечения плоскости и прямой
|
Если у системы нет решений, значит нет точек пересечения, следовательно, прямая и плоскость параллельны. ч.т.д.
б) Найдем уравнение прямой
Найдем точку в пересечении и
|
|
Откуда
Подставим найденное значение в уравнение прямой
Заметим, что модуль значения по координате это и есть расстояние точки до плоскости
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна , а высота пирамиды равна . Точки и - середины ребер и соответственно. – высота пирамиды с вершиной и основанием .
а) Докажите, что точка является серединой отрезка .
б) Найдите расстояние между прямыми и .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось направим в полупространство, содержащее точку , перпендикулярно векторам и .
Найдем координаты некоторых точек
, , , ,
а) Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
По обратной ТТП для плоскости , наклонной и прямой , перпендикулярной наклонной, получаем, что — проекция точка принадлежит прямой
Найдем вектор
Тогда из условия
|
|
|
Получаем, что
Следовательно, - середина . ч.т.д.
б) Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:
Пусть - искомое расстояние. принадлежат соответственно.
,
Тогда имеем следующее
|
|
Можем найти
Найдём длину вектора
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана треугольная пирамида , причем высота пирамиды, опущенная из точки , падает в точку . Известно, что перпендикулярно .
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите объем пирамиды , если известно, что , , .
Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).
Точка - начало координат,
Ось направим вдоль вектора ,
Ось лежит в плоскости и направлена в полуплоскость с точкой перпендикулярно ,
Ось направим вдоль вектора .
Пусть , угол между осью и прямой , направленный в полуплоскость, содержащую отрицательное направление оси (как на картинке), равняется .
Найдём координаты всех точек:
, , , ,
а) Найдём вектора :
Так как :
|
|
|
В силу того, что - длины сторон треугольника .
Тогда . Получаем, что ось совпадает с . Отсюда следует, что угол между и равняется углу между и , равняется . Треугольник прямоугольный с прямым углом . ч.т.д.
б) По теоереме косинусов для :
|
Применяя три раза теорему Пифагора для , получим равенства
|
Следовательно, объем пирамиды равен
|