Задача №27700: 13 в координатах — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема . Стереометрия в координатах

.08 13 в координатах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#27700

На ребре $AA1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA1B1C1D1$ взята точка $E$ так, что $A1E$ : $EA$ = 2 : 3, на ребре $BB1$ — точка $F$ так, что $B1F$ : $F B$ = 1 : 4, а точка $T$ — середина ребра $B1C1$ . Известно, что $AB = 15$ , $AD = 10$ , $AA = 25 1$ .

а) Докажите, что плоскость $EF T$ проходит через вершину $D1$ .

б) Найдите угол между плоскостью $EF T$ и плоскостью $BB1C1$ .

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка $A$ - начало координат,

Ось $OX$ направим вдоль вектора $A⃗B$ ,

Ось $OY$ направим вдоль вектора $A⃗D$ ,

Ось $OZ$ направим вдоль вектора $A⃗A1$ .

$PIC$

Найдем координаты всех точек

$( ) 0 A = || 0|| ( ) 0$ $( ) 15 B = || 0 || ( ) 0$ $( ) 18 C = ||10|| ( ) 0$ $( ) 0 D = || 10|| ( ) 0$

$( ) 0 A1 = || 0 || ( ) 25$ $( ) 15 B1 = || 0|| ( ) 25$ $( ) 15 C1 = ||10|| ( ) 25$ $( ) 0 D1 = || 10|| ( ) 25$

$( ) x E :|| y|| = A + 3 ⋅A⃗A ( ) 5 1 z$

$( ) ( ) ( ) ( ) x 0 0 0 ⃗ || || || || || || || || AA1 :( y) = A1 − A = ( 0 ) − (0) = A1 = ( 0 ) z 25 0 25$

$( ) ( ) ( ) ( ) x 0 0 0 || || 3 ⃗ || || 3 || || || || E :( y) = A + 5 ⋅AA1 = (0) + 5 ⋅( 0 ) = ( 0) z 0 25 15$

$( ) x || || 4 ⃗ F :( y) = B + 5 ⋅BB1 z$

$( ) ( ) ( ) ( ) |x| | 15| |15| | 0| B⃗B1 : |(y|) = B1 − B = B1 = |( 0 |) − B = |( 0|) = |( 0|) z 25 0 25$

$( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 15| | 0 | | 15| F :|( y|) = B + 45 ⋅B⃗B1 = |( 0 |) + 45 ⋅|( 0 |) = |( 0|) z 0 25 20$

$( ) | x| T :|( y|) = B1 + 12 ⋅B1⃗C1 z$

$(| x)| (|15)| (| 15)| (| 0)| B1⃗C1 :|( y|) = C1 − B1 = |(10|) − |( 0 |) = |( 10|) z 25 25 0$

$( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 15| | 0| | 15| T :|( y|) = B1 + 12 ⋅B1⃗C1 = |( 0 |) + 12 ⋅|( 10|) = |( 5 |) z 25 0 25$

Способ 1.

а) Найдём уравнение плоскости $EF T :$ $Ax + By + Cz +D = 0$ , подставляя координаты точек:

(| ||{E : 15C + D = 0 F : 15A + 20C + D = 0 |||( T : 15A +5B + 25C + D = 0.

Пусть $C = − 3$ . Тогда из первого уравнения $D = 45$ , из второго уравнения $A = 1$ , из третьего $B = 3$ . Получим уравнение: $x+ 3y − 3z + 45 = 0$ . Подставим координаты точки $D1$ и проверим, выполняется ли равенство:

1⋅0 +3 ⋅10− 3⋅25 + 45 = 0.

Равенство верно, значит, тока $D1$ принадлежит плоскости $EF T.$

б) Найдём уравнение плоскости $BB1C1$ , подставив соответствующие точки в уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ :

( || B : 15A + D = 0 |{ | B1 : 15A + 25C +D = 0 ||( C1 : 15A + 10B +25C + D = 0.

Пусть $A = 1$ , тогда из первого уравнения $D = − 15$ . Из второго и третьего уравнений $B = C = 0$ . Получим уравнение $x − 15 = 0$ , вектор нормали этой плоскости $−→n2(1;0;0)$ . Вектор нормали плоскости $EF T$ с уравнением $x + 3y− 3z + 45 = 0$ равен $−→n (1;3;− 3) 1$ . Угол между плоскостями равен углу между соответствующими им нормалями: $−→ −→ cos∠ (EF T,BB C ) = |(n1,n2)|=---1√-- = √1-- 1 1 |−→n1|⋅|−→n2| 1 ⋅ 19 19$ . Получим ответ $arccos √1-- 19$ .

Способ 2

а) Параметрически зададим плоскость $EF T$ через начальную точку и два направляющих вектора плоскости.

$( ) | x| EF T :|( y|) = E + α ⋅E ⃗F + β ⋅F⃗T, α,β ∈ ℝ z$

$( ) ( ) ( ) |15| | 0 | | 15| E⃗F = |( 0|) − |( 0 |) = |( 0 |) 20 15 5$

$( ) ( ) ( ) |15| | 15| | 0| F⃗T = |( 5|) − |( 0 |) = |( 5|) 25 20 5$

$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 0 | | 15| | 0| | 0 | | 3| | 0| EF T :|( y|) = |( 0 |) + α⋅|( 0 |) + β ⋅|( 5|) = |( 0 |) + α⋅|( 0|) + β ⋅|( 1|) ,α,β ∈ ℝ z 15 5 5 15 1 1$

Заметим, что при подстановке $α = 0,β = 10$ в уравнение плоскости, получаем точку $D1$ :

$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 0| | 3| | 0| | 0 | |( y|) = |( 0|) + 0⋅|( 0|) + 10⋅|( 1|) = |( 10|) = D1 z 15 1 1 25$

Следовательно, точка $D1$ принадлежит плоскости $EF T$ ч.т.д.

б) Параметрически зададим плоскость $BB1C1$ через начальную точку и два направляющих вектора плоскости

$( ) ( ) ( ) ( ) x 15 0 0 BB C :||y || = B + γ ⋅B ⃗C + ω ⋅B⃗B = || 0|| +γ ⋅|| 10|| +ω ⋅|| 0 || ,γ,ω ∈ ℝ 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) z 0 0 25$

Найдем угол между двумя заданными плоскостями(см. базовая задача №10 из методички), получим ответ.

1 ∠ (EF T,BB1C1 ) = arccos√--- 19

Ответ:

$arccos√119$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ