Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка - начало координат,

Ось направим вдоль вектора ,

Ось направим вдоль вектора ,

Ось направим в полупространоство, содержащее точку , перпендикулярно векторам и .

По теореме Пифагора для

По теореме Пифагора для (-проекция точки на плоскость )

Найдём координаты некоторых точек

, , , , .

Параметрически зададим уравнение прямой через начальную точку и направляющий вектор прямой:

Способ 1

а) Найдём уравнение плоскости , подставив координаты точек:

Вычтя из второго уравнения 4 раза первое, получим . То есть плоскость имеет уравнение вида .

Проведём . Найдём координаты точки . Поскольку , то — равносторонний, и тогда по теореме о пропорциональных отрезках . Получим, что . Подставив координаты этой точки в уравнение плоскости , получим верное равенство. Значит, точка . Значит, , которая параллельна . Значит, .

б) Так как , то проведём , где — точка пересечения плоскости с ребром . По теореме Пифагора То есть А по теореме о пропорциональных отрезках для угла и параллельных секущих и : . Тогда

Уравнение плоскости легко понять, учитывая то, что его вектор нормали направлен вдоль оси , и плоскость проходит через начало координат: . Вектор нормали будет .

Тогда расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

Замечание. Расстоянием от точки до такой плоскости будет модуль третьей координаты этой точки, поскольку отрезок, соединяющий точку и плоскость будет идти вдоль вектора нормали.

Способ 2

Параметрически зададим уравнение плоскости через начальную точку и 2 направляющих вектора этой плоскости.

Попробуем найти точки пересечения плоскости и прямой

Если у системы нет решений, значит нет точек пересечения, следовательно, прямая и плоскость параллельны. ч.т.д.

б) Найдем уравнение прямой

Найдем точку в пересечении и

Откуда

Подставим найденное значение в уравнение прямой

Заметим, что модуль значения по координате это и есть расстояние точки до плоскости

Тогда