Задача №28305: 13 в координатах — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема . Стереометрия в координатах

.08 13 в координатах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#28305

В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $K$ — середина ребра $AB$ , точка $E$ лежит на ребре $CD$ и $EC : ED = 1 : 2$ .

а) Найдите угол между прямыми $BC$ и $KE$ .

б) Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $KE$ , если ребро тетраэдра равно $3√6-$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть ребро тетраэдра равно $a$ .

В основании лежит равносторонний треугольник со стороной $a ⇒$ высота в этом треугольнике $a√3 = 2$

Проекция точки $D$ на плоскость $ABC$ это точка пересечения медиан(точка $O$ ), и она делит медиану $CK$ в отношении $2 : 1$ от вершины. Найдём $DO$ по теореме Пифагора для $△DOC$

∘ ----------- 2 a√3- a√6- DO = a2 − 3 ⋅-2- = -3--

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка $A$ - начало координат,

Ось $OX$ направим вдоль вектора $A⃗B$ ,

Ось $OY$ лежит в плоскости $ABC$ и направлена в полуплоскость с точкой $C$ перпендикулярно $A⃗B$ ,

Ось $OZ$ направим в полупространство, содержащее точку $D$ , перпендикулярно векторам $A⃗B$ и $A⃗C$ .

Запишем координаты всех точек.

$( ) | 0| A = |( 0|) 0$ , $( ) | a| B = |( 0|) 0$ , $( a ) | √2-| C = |( a23|) 0$ , $( a ) | 2√-| D = |( a63|) a√6 3$ , $( a) | 2| K = |( 0|) 0$ .

Так как $EC : ED = 1 : 2$

$( ) | x| 1 E :|( y|) = C + 3 ⋅C⃗D z$

$( ) ( a ) ( a ) ( ) |x | | 2√-| | √2-| | 0√-| C⃗D :|( y|) = D − C = |( a6√3|) − |( a23|) = |( − a√33|) z a-6 0 a-6 3 3$

$(| x)| (| a2√-)| (| 0√-)| (| a2√-)| E :|( y|) = |( a23|) + 13 ⋅|(− a√33|) = |( 7a1√83|) z 0 a-6 a-6 3 9$

а) Найдем угол между прямыми $BC$ и $KE$ , как угол между направляющими векторами $⃗ ⃗ BC, KE$

$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) |x| | √a2-| |a| | −√a2| | −√ 1| B⃗C :|(y|) = C − B = |(a-23|) − |(0|) = |( a23|) = a2 ⋅|( 3|) z 0 0 0 0$

$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | x| | a2√-| | a2| | 0√ -| √- | 0 | K⃗E :| y| = E − K = | − 7a-3| − | 0| = | − 7a-3| = a183 ⋅| 7 | ( ) ( a1√86 ) ( ) ( a√168 ) ( √ -) z 9 0 9 2 2$

Найдём угол между векторами по следующей формуле

(B⃗C, K⃗E ) a2√3-⋅((− 1)⋅0+ 7√3 + 0 ⋅2√2-) 7√19- cos α = ----------= -a2√336∘--------------√-----------= ----- |B ⃗C |⋅|K⃗E | -36--⋅ (− 1)2 + 3+ 02 ⋅ 02 + 72 + 8 38

Замечание. При вычислении скалярного произведения мы воспользовались свойством ассоциативности $⇔ (k⋅⃗a,⃗b) = k ⋅(⃗a,⃗b)$

Отсюда следует ответ

√-- ∠(BC, KE ) = arccos 7-19 38

б) Из условия, что ребро тетраэдра равно $3√6-$ , получаем, что $a = 3√6$ .

Параметрически зададим уравнение прямой $BC$ через начальную точку и направляющий вектор этой прямой.

$( ) ( ) ( ) x 3√6- − 3√6 || || ⃗ || || || 9√22 || BC :(y) = B + α⋅BC = ( 0 ) + α ⋅( 2 ) ,α ∈ ℝ z 0 0$

Параметрически зададим уравнение прямой $KE$ через начальную точку и направляющий вектор этой прямой.

$( ) ( 3√6) ( ) | x| | 2 | | 0√--| KE :|( y|) = K + β ⋅K⃗E = |( 0 |) + β ⋅|(− 211818|) z 0 2$

Решим базовую задачу расстояния между прямыми(см. методичку задача №7), получим ответ.

ρ(BC, KE ) = 2

Ответ:

а) $√ -- arccos 73819-$ б) 2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ