Задача №26991: 13 в координатах — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема . Стереометрия в координатах

.08 13 в координатах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26991

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $√ - 2 3$ , а высота $SO$ пирамиды равна $3$ . Точки $M$ и $N$ - середины ребер $CD$ и $AB$ соответственно. $N K$ – высота пирамиды $N SCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD$ .

а) Докажите, что точка $K$ является серединой отрезка $SM$ .

б) Найдите расстояние между прямыми $N K$ и $SC$ .

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка $A$ - начало координат,

Ось $OX$ направим вдоль вектора $A⃗D$ ,

Ось $OY$ направим вдоль вектора $A⃗B$ ,

Ось $OZ$ направим в полупространство, содержащее точку $S$ , перпендикулярно векторам $A⃗B$ и $A⃗D$ .

$PIC$

Найдем координаты некоторых точек

$( ) | 0| A = |( 0|) 0$ , $( ) | √0-| B = |( 2 3|) 0$ , $( √-) | 2√3| C = |( 2 3|) 0$ , $( √ -) |2 3| D = |( 0 |) 0$ , $(√ -) |√ 3| S = |( 3|) 3$

$( ) | x| N = |( y|) = A + 12 ⋅A⃗B z$

$( ) ( ) ( ) ( ) |x| | 0 -| |0| | 0 -| A⃗B = |(y|) = B − A = |( 2√ 3|) − |(0|) = |( 2√ 3|) z 0 0 0$

$( ) ( ) ( ) ( ) x 0 0 0 N = || y|| = || 0|| + 1 ⋅||2√3-|| = || √3|| ( ) ( ) 2 ( ) ( ) z 0 0 0$

$( ) ( √ -) ( ) ( √ -) x 2 3 0 2 3 M = ||y|| = D + 1D⃗C = || 0 || + 1⋅|| 2√3|| = || √3 || ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) z 0 0 0$

а) Параметрически зададим уравнение прямой $SM$ через начальную точку и направляющий вектор прямой:

$( ) x || || ⃗ SM :( y) = M + α ⋅M S,α ∈ ℝ z$

$( ) ( ) ( ) ( ) x √3 2√3 − √3 ⃗ || || || √-|| || √ -|| || || M S = ( y) = ( 3) − ( 3) = ( 0 ) z 3 0 3$

$( x) ( 2√3) (− √3) | | | √ -| | | SM :|( y|) = |( 3|) + α ⋅|( 0 |) ,α ∈ ℝ z 0 3$

По обратной ТТП для плоскости $SCD$ , наклонной $N M$ и прямой $CD$ , перпендикулярной наклонной, получаем, что $SM$ — проекция $N M$ $⇒$ точка $K$ принадлежит прямой $SM$

$(| x)| (| 2√3-−√-α√3-)| K = |( y|) = |( 3 |) z 3α$

Найдем вектор $⃗ N K$

$( ) ( √- √-) ( ) ( √ - √ -) | x| | 2 3√−-α 3| | √0-| |2 3− α 3| N⃗K = |( y|) = |( 3 |) − |( 3|) = |( 0 |) z 3α 0 3α$

Тогда из условия $N K ⊥ SM ⇒ (N⃗K,M⃗S ) = 0$

( √- √-) ( √-) | 2 3 − α 3| | − 3| |( 0 |) × |( 0 |) = 0 3α 3

√- √ - √- (2 3 − α 3)⋅(− 3) +9α = 0

α = 1 2

Получаем, что

$( ) ( √ - 1 √ -) ( √-) ( √ -) | x| | 2 3−√ 2 ⋅ 3| | 2√ 3| 1 | − 3| 1 K = |( y|) = |( 3 |) = |( 3|) + 2 ⋅|( 0 |) = M + 2 ⋅M⃗S z 3⋅ 12 0 3$

Следовательно, $K$ - середина $SM$ . ч.т.д.

б) Параметрически зададим уравнение прямой $N K$ через начальную точку и направляющий вектор прямой:

$( ) ( ) ( √-) x 0 323 N K :|| y|| = N + β ⋅N⃗K = ||√3 || + β ⋅|| 0 || ,β ∈ ℝ ( ) ( ) ( 3 ) z 0 2$

Параметрически зададим уравнение прямой $SC$ через начальную точку и направляющий вектор прямой:

$( ) ( √-) (√ -) | x| | 2 3| | 3| SC :|( y|) = C + γ ⋅ ⃗SC = |( 2√3|) + γ ⋅|(√ 3|) z 0 − 3$

Пусть $H1H2$ - искомое расстояние. $H1, H2$ принадлежат $N K, SC$ соответственно.

$( ) ( 3√3 ) | x| | -2√-β| H1 = |( y|) = |( 3 |) z 3β 2$ , $( ) ( √- √-) | x| | 2√3 + γ√3| H2 = |( y|) = |( 2 3 + γ 3|) z − 3γ$

$( √ - √ -) ( √ - ) ( √- √ - √ - ) |2 3+ γ 3| | 323β| | 2 3+ γ 3− -323β| H1⃗H2 = |(2√ 3+ γ√ 3|) − |( √ 3 |) = |( √ 3+ γ√ 3 |) − 3γ 3β − 3γ − 3β 2 2$

Тогда имеем следующее

( ( √ - √ - 3√3 ) (3√3) |||| |2 3+ γ 3− -2-β | |-2-| |||| || √3-+ γ√3- || × || 0 || = 0 ( ( |||| ( ) ( ) {H1⃗H2 ⊥ N⃗K {(H1⃗H2, N⃗K) = 0 { ( − 3γ − 32β ) ( 32 ) (H ⃗H ⊥ ⃗SC ((H ⃗H ,S⃗C ) = 0 || 2√3-+ γ√3-− 3√3β √3- 1 2 1 2 |||| || √ - √ -2 || ||√ -|| |||| |( 3+ γ 3 |) × |( 3|) = 0 ||( 3 − 3γ − 2β − 3

( ( ( {9 + 92γ − 274 β − 92γ − 94β = 0 { 364 β = 9 { β = 1 ( 9 9 ( ( 3 6 + 3γ − 2β + 3+ 3γ + 9γ + 2β = 0 15γ = − 9 γ = −5

Можем найти $⃗ H1H2$

$( √ - √ - √-) ( √- ) ( √- ) |2 3√−-35 3−√-323| | 1√30-| | √3-| H1⃗H2 = |( 3− 35 3 |) = |(25 3|) = 110 ⋅|(4 3|) 9− 3 -3 3 5 2 10$

Найдём длину вектора $H⃗1H2$

1 ∘-√-------√-------- 1 √-- √15 |H1⃗H2 | =-- ( 3)2 + (4 3)2 + 32 =- 60 = ---- 10 10 5

Ответ:

$√-- -515$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ