Операции над векторами и координатами —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Операции над векторами и координатами

Тема 2. Задачи на векторы

2.02 Операции над векторами и координатами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67844

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a+ b− ⃗c.$

$xy⃗a⃗b⃗c$

Показать ответ и решение

Заметим, что по правилу параллелограмма $⃗a+ ⃗b= ⃗c:$

$xy⃗a⃗b⃗c$

Следовательно, искомый вектор равен

⃗a+ ⃗b− ⃗c= ⃗c− ⃗c= ⃗0

Тогда длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67845

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a+ b+ ⃗c.$

$⃗⃗⃗xybca$

Показать ответ и решение

По правилу параллелограмма имеем $⃗a+ ⃗c= ⃗d:$

$⃗⃗⃗xybca ⃗d$

Заметим, что векторы $⃗b$ и $d⃗$ противоположно направлены, а их длины равны, следовательно, $⃗b= −d⃗.$ Значит, искомый вектор равен

⃗a+ ⃗c+ ⃗b= ⃗d+ ⃗b= ⃗d − ⃗d =⃗0

Тогда длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67846

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Известно, что $⃗ ⃗c =x ⋅⃗a+ y⋅b.$ Найдите $x + y.$

$xy⃗a⃗b⃗c$

Показать ответ и решение

Заметим, что по правилу треугольника $(− ⃗a)+⃗b= ⃗c:$

$xy−⃗b⃗c⃗a$

Следовательно,

⃗c= −1 ⋅⃗a + 1⋅⃗b

Отсюда получаем $x= − 1,$ $y = 1.$ Тогда $x+ y = 0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#242

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной длины 4, $O$ — центр описанной около него окружности. Найдите длину вектора $−O→A + −O−→B + −O−→C + −O−→D + −O−→E + −−O→F .$

$PIC$

Показать ответ и решение

Опишем около $ABCDEF$ окружность:

$PIC$

Так как равные хорды стягивают равные дуги, то

A⌣B = B⌣C = C⌣D =D⌣E = ⌣EF = ⌣FA

Тогда $⌣ ⌣ AF ED = ABCD,$ следовательно, $AD$ — диаметр и точки $A,$ $O$ и $D$ лежат на одной прямой.

При этом $AO = OD$ как радиусы, тогда $−O→A$ и $−O−→D$ равны по длине и противоположны по направлению. Значит, $−O→A = −−O−→D.$

Аналогично $−−→ −−→ OB = − OE$ и $−−→ −−→ OC = −OF$ , тогда

−O→A +−O−→B +−O−→C + −O−→D +−O−→E + −O−→F = = −−O−→D − −O−→E − −O−→F + −O−→D +−O−→E + −O−→F = ⃗0

Нулевой вектор имеет длину, равную 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1567

На сторонах четырёхугольника $ABCD$ отложены векторы $−A→B,$ $−−B→C,$ $−−C→D,$ $−−→ DA.$ Найдите длину вектора $−→ −−→ −−→ −−→ AB + BC + CD + DA.$

Показать ответ и решение

По правилу треугольника имеем:

−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ AB + BC = AC, AC + CD =AD

Тогда получаем

−→ −−→ −−→ −−→ AB +BC + CD +DA = −→ −−→ −−→ = AC + CD + DA = −−→ −−→ −−→ −−→ = AD +DA = AD − AD = ⃗0

$PIC$

Нулевой вектор имеет длину, равную 0.

Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда $−A→B + −B−→C$ — перемещение из $A$ в $B,$ а затем из $B$ в $C$ — в итоге это перемещение из $A$ в $C.$

При такой трактовке становится очевидным, что

−→ −−→ −−→ −−→ AB + BC + CD + DA = ⃗0

Это так, поскольку в итоге здесь из точки $A$ переместились в точку $A,$ то есть вектор такого перемещения есть $⃗0,$ а длина такого перемещения равна 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1864

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−A→F =⃗b,$ тогда $−→ ⃗ AC = x ⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x+ y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

−→ −→ −−→ −−→ AC = AB + BC = ⃗a+ BC

Отрезки $AD,$ $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. $BC ∥ AD$ и $ABCO$ — параллелограмм; $AF ∥BE$ и $ABOF$ — параллелограмм, следовательно,

−−→ −→ −→ −−→ −→ −→ BC = AO = AB + BO =AB +AF = ⃗a +⃗b

Таким образом,

−→ AC = ⃗a+ ⃗a+ ⃗b= 2 ⋅⃗a +⃗b

Значит, $x= 2,$ $y =1,$ то есть $x+ y = 3.$

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1863

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−A→F =⃗b,$ тогда $−−→ ⃗ BC =x ⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x+ y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

−−→ −→ −→ −−→ −→ −→ ⃗ BC = AO = AB + BO =AB +AF = ⃗a +b

Таким образом, $x = 1,$ $y = 1,$ то есть $x + y = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#562

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−A→F =⃗b,$ тогда $−−→ ⃗ EF =x ⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x +y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству правильного шестиугольника $AOEF$ — параллелограмм и $EF ∥AD,$ $ABOF$ — параллелограмм и $AB ∥F C.$ Тогда имеем:

−−→ −→ −−→ −→ −→ −→ EF =OA = OF +F A = BA −AF = −→ −→ ⃗ = −AB − AF = −⃗a− b

Отсюда получаем

x = −1, y = −1 ⇒ x +y = −2

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1862

Дан параллелограмм $ABCD.$ Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−−A→D = ⃗b,$ тогда $−O→A = x ⋅⃗a + y⋅⃗b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x+ y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойствам параллелограмма имеем:

−→ 1−→ 1 −−→ −→ OA = 2CA = 2(CB + BA) = = 1(−−D→A + −B→A) = 1(− ⃗b− ⃗a)= − 1⃗a − 1⃗b 2 2 2 2

Отсюда получаем

1 1 x= − 2, y = −2

Тогда искомое число равно

x+ y = − 1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#559

Дан параллелограмм $ABCD.$ Точки $K$ и $L$ лежат на сторонах $BC$ и $CD$ соответственно, причем $BK :KC = 3:1,$ а $L$ — середина $CD.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−−→ ⃗ AD =b,$ тогда $−−→ ⃗ KL = x⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x +y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По правилу треугольника имеем:

−−→ −−→ −→ 1−−→ 1−−→ KL = KC + CL = 4BC + 2CD = 1−−→ 1−→ 1 1 = 4AD + 2BA = 4⃗b− 2⃗a

Таким образом, $x = − 12,$ $y = 14,$ то есть

x+ y = − 0,25

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#561

Дан параллелограмм $ABCD.$ Точки $P$ лежит на диагонали $BD,$ точка $Q$ лежит на стороне $CD,$ причем $BP :PD = 4 :1,$ а $CQ :QD = 1:9.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−−A→D =⃗b,$ тогда $−−P→Q = x⋅⃗a+ y⋅⃗b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x ⋅y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

−−→ −−→ −−→ 1 −−→ 9 −−→ PQ = PD + DQ = 5 BD + 10DC = 1−−→ −−→ 9−→ 1−−→ −→ 9−→ = 5(BC +CD )+ 10AB = 5(AD +BA )+ 10AB = = 1(−−A→D − −A→B)+ -9−A→B = 1−−A→D + -7−A→B = 1⃗b + 7-⃗a 5 10 5 10 5 10

Таким образом, $x = 710,$ $y = 15,$ то есть $x⋅y = 0,14.$

Ответ: 0,14

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#560

Дан параллелограмм $ABCD.$ Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AD$ и $BC$ соответственно, причем $AM :MD = 2 :3,$ а $BN :NC = 3:1.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−−→ ⃗ AD =b,$ тогда $−−→ ⃗ MN = x ⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x⋅y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

−−→ −−→ −→ −−→ 2−−→ −→ 3−−→ MN = MA + AB + BN = 5DA + AB + 4BC = 2−−→ −→ 3−−→ 2 3 7 = − 5AD + AB + 4BC = − 5⃗b+ ⃗a+ 4⃗b= ⃗a+ 20⃗b

Таким образом, $x = 1,$ $y = 270,$ то есть $x ⋅y = 0,35.$

Ответ: 0,35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80078

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ , сторона которого равна 4. Найдите длину вектора $⃗EB + A⃗D$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Введём систему координат так, что центр шестиугольника — точка $O$ — начало отсчета, ось абсцисс параллельна стороне $AB,$ а ось ординат — перпендикулярна оси абсцисс.

Шестиугольник $ABCDEF$ можно разбить на шесть правильных треугольников.

Пусть $G$ и $H$ — середины $ED$ и $AB$ соответственно. Так как $△DOE$ правильный, то $GO$ — высота $△DOE.$

Определим координаты точки $D.$ Опустим перпендикуляр $DK$ на $OC.$

Таким образом, длина отрезка $OK$ равна абсциссе точки $D,$ ,а длина отрезка $OG$ — её ординате.

$OKDG$ — прямоугольник, где $GD = OK = ED--= 2. 2$

Так как $∘ ∠OGD = 90 ,$ то по теореме Пифагора для $△OGD :$

∘ ---2-----2- √- GO = OD − GD = 2 3.

В таком случае $D (2,2√3 ).$

Аналогичным методом находим координаты других точек: $B(2,− 2√3-),$ $A (− 2,− 2√3-)$ и $E (− 2,2√3).$

Найдём координаты вектора $A⃗D :$

A⃗D = {2 − (− 2),2√3-− (− 2√3 )} = {4,4√3}.

Найдём координаты вектора $E⃗B :$

E⃗B = {2 − (− 2),− 2√3 − 2√3-} = {4,− 4√3}.

Найдём координаты вектора $A⃗D + E⃗B :$

√ - √ - A⃗D + ⃗EB = {4+ 4,4 3− 4 3} = {8,0}.

Найдём длину $A⃗D + E⃗B :$

∘ ------ |A ⃗D + E⃗B | = 82 + 02 = 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#75167

На координатной плоскости изображены векторы $Новый-$ и $Год$ . Найдите сумму координат вектора $a-= Новы-й+ Год.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов (из координаты конца вычитаем координату начала):

Новы-й = {2 − 0;4 − 0} = {2;4},

--- Год = {2− 0;0− 0} = {2;0}.

Сумма двух векторов есть третий вектор:

-- ------ --- a = Н овы й+ Год = {2+ 2;4+ 0} = {4;4}.

В таком случае ответ равен $4+ 4 = 8.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#69832

Дан вектор $−O−→K (5;2),$ причем $K(7;0).$ Найдите ординату точки $O.$

Показать ответ и решение

Если $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2),$ то

−A→B (x − x ;y − y ) 2 1 2 1

Следовательно, ордината точки $O$ ищется из

0− y = 2 ⇔ y =− 2

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#69831

Даны точки $M(− 2;− 1)$ и $N (3;1).$ Вектор $−M−N→$ — направляющий вектор прямой $l.$ Точка $O$ лежит на прямой $l,$ причем $−−→ −−→ MN =NO.$ Найдите абсциссу точки $O.$

$xyMNl$

Показать ответ и решение

Из координат точек $M$ и $N$ следует, что координаты вектора $−M−N→(5;2).$ Так как точка $O$ лежит на прямой $MN,$ то координаты точки $O$ ищутся как сумма координат точки $N$ и вектора $−−→ −−→ NO = MN.$ Тогда имеем:

O (3 +5;1+ 2)= (8;3)

Следовательно, абсцисса точки $O$ равна 8.

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#69776

Дан параллелограмм $ABCD,$ где $O$ — точка пересечения диагоналей. Точка $M$ на стороне $AD$ такая, что $AM :MD = 1 :2.$ Если $−−→ −→ −−→ OM = α⋅AB + β ⋅BC,$ то найдите $α β.$

$ABCDMO$

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж:

$ABCD⃗a⃗bMO$

Тогда $−→ AC = ⃗a +⃗b,$ следовательно,

( ) −A→O = 1 ⃗a+⃗b 2

Кроме того, имеем:

AM :MD = 1 :2, −−A→D = ⃗b ⇒ −A−→M = 1⃗b 3

Следовательно,

−O−M→ = −A−→M − −A→O = − 1⃗a− 1⃗b 2 6

Тогда имеем:

1 1 α = −2 , β = − 6

Отсюда получаем $α β-= 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#69654

Даны две точки $A(2;− 5)$ и $B(5;7).$ Известно, что $M$ — такая точка отрезка $AB,$ что $AM :MB = 1:3.$ Найдите абсциссу точки $M.$

$AMB$

Показать ответ и решение

Если $O$ — середина отрезка $AB,$ то $M$ — середина отрезка $AO.$

Если даны точки $A (x1;y1)$ и $B(x2;y2),$ то координаты середины отрезка $AB$ ищутся по формуле

(x1+ x2 y1+ y2) O --2---;--2---

Отсюда получаем

( ) O 7;1 2

Тогда для середины $M$ отрезка $AO$ имеем:

( 11 ) M 4 ;−2

Следовательно, ответ 2,75.

Ответ: 2,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#69653

Даны точки $A(7;2x)$ и $B (x +2;8).$ Известно, что $O(α+ 0,5;α)$ — середина отрезка $AB.$ Найдите $α.$

$AOB$

Показать ответ и решение

Если даны точки $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2),$ то координаты середины отрезка $AB$ ищутся по формуле

(x1+-x2 y1+-y2) O 2 ; 2

Следовательно, имеем систему

$pict$

Следовательно, ответ 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#68471

В трапеции $ABCD$ известны основания $AD$ и $BC,$ причем $−−C→B = ⃗a,$ $−−D→A = ⃗b.$ Вектор $−−→ NM =x ⋅⃗a+ y⋅b$ параллелен основаниям трапеции. Найдите значение выражения $BM y AM--− x.$