Скалярное произведение векторов —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 2. Задачи на векторы

2.04 Скалярное произведение векторов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67947

Даны векторы $⃗a(7;−3)$ и $⃗b(5;12).$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b.$

Показать ответ и решение

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗ ⃗a⋅b= x1x2+ y1y2.

Следовательно, скалярное произведение наших векторов равно

⃗ ⃗a ⋅b = 7⋅5+ (− 3)⋅12= 35− 36= −1

Ответ: -1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67842

Даны векторы $⃗a(− 1;4)$ и $⃗b(2;5).$ Найдите скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗ b.$

Показать ответ и решение

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x x + y y 1 2 1 2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= −1 ⋅2 + 4⋅5= 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1568

Найдите скалярное произведение векторов $−−→ MN (−1;−1)$ и $−−→ PQ (3;8).$

Показать ответ и решение

Скалярное произведение векторов с координатами $(x1;y1)$ и $(x2;y2)$ равно

x1⋅x2+ y1⋅y2

Тогда искомое скалярное произведение равно

( ) −M−N→, −−P→Q = −1 ⋅3 + (− 1) ⋅8 = −11

Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#244

Найдите скалярное произведение $−−→ MN (0;4)$ и $−−→ PQ(3;5).$

Показать ответ и решение

$PIC$

Скалярное произведение векторов с координатами $(x1;y1)$ и $(x2;y2)$ равно

x1⋅x2+ y1⋅y2.

В данной задаче

( ) −M−→N, −P−→Q =0 ⋅3+ 4⋅5= 20.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67946

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

$xy110⃗a⃗b$

Показать ответ и решение

Если $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2)$ — точки на координатной плоскости, то вектор $−A→B$ имеет координаты

(x2− x1;y2− y1)

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b:$

⃗a =(8− 2;9− 5)= (6;4) ⃗b= (4− 7;2− 6)= (− 3;− 4)

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a ⋅⃗b = 6⋅(− 3)+4 ⋅(− 4)= −18− 16= −34

Ответ: -34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#67945

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение $⃗a⋅⃗b.$

$xy110⃗a⃗b$

Источники: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

Если $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2)$ — точки на координатной плоскости, то вектор $−A→B$ имеет координаты

(x2− x1;y2− y1)

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b:$

⃗a = (5 − 1;8− 2)= (4;6) ⃗b =(11− 5;3− 5)= (6;−2)

Скалярное произведение векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= 4 ⋅6 +6 ⋅(− 2)= 24 − 12 = 12

Ответ: 12

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#67841

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите скалярное произведение этих векторов.

$xy110⃗a⃗b$

Показать ответ и решение

Как известно, если $A(x1;y1)$ и $B (x2;y2)$ — точки на координатной плоскости, то вектор $−→ AB$ имеет координаты $(x2− x1;y2− y1).$ Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b:$

⃗a =(5− 2;9− 3)= (3;6) ⃗b= (1− 7;1− 3)= (− 6;− 2)

Скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2

Следовательно, скалярное произведение векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= 3 ⋅(−6)+ 6⋅(−2)= − 30

Ответ: -30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#67843

Даны векторы $( ) ⃗a 5;5 3$ и $⃗b(4;2).$ Найдите угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Скалярное произведение двух векторов $⃗a$ и $⃗b$ равно

⃗a⋅⃗b= |⃗a|⋅|⃗b|⋅cosα

Здесь $|⃗a|$ — длина вектора $⃗a,$ $α$ — угол между векторами $⃗a$ и $⃗b.$

Найдем длины векторов $⃗a$ и $⃗ b :$

∘ 25----- 5√ -- |⃗a|= 9-+ 25= 3 10 ∘------ √ -- |⃗b|= 42 +22 = 20

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов $⃗a(x1;y1)$ и $⃗b(x2;y2)$ равно

⃗a⋅⃗b= x1x2+ y1y2

То есть в нашем случае

⃗ 5 50 ⃗a⋅b= 3 ⋅4+ 5⋅2= 3

Таким образом, получаем уравнение

50 5√ -- √-- √2 -3 = 3 10 ⋅ 20⋅cosα ⇔ cosα= 2--

Так как $α ∈[0∘;180∘],$ то $α = 45∘.$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#75894

На рисунке изображены векторы $⃗m$ и $⃗k.$ Найдите косинус угла между ними.

$PIC$

Показать ответ и решение

Запишем координаты векторов $⃗m (− 2;6)$ и $⃗k(3;9).$ По определению скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Косинус угла между векторами равен

⃗m ⋅⃗k cos(m⃗; ⃗k) =-----⃗-. |⃗m |⋅|k|

Найдем скалярное произведение $⃗m ⋅⃗k = − 2 ⋅3+ 6⋅9 = − 6 +54 = 48.$
Найдем длины векторов:

|m⃗| = ∘ (− 2)2 +-62 = √40-= 2√10,

∘ ------ √-- √-- |⃗k| = 32 + 92 = 90 = 3 10.

Тогда

48 48 cos (m⃗; ⃗k) =-√-----√---= -----= 0,8. 2 10⋅3 10 6⋅10

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#75893

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$

$PIC$

Найдите скалярное произведение векторов $1,5⃗a$ и $⃗ b.$

Показать ответ и решение

Запишем координаты векторов $⃗a(3;− 8),$ $⃗b(3;1).$ Координаты вектора $1,5⃗a :$

(1,5⋅3;1,5 ⋅(− 8)) = (4,5;− 12).

Скалярное произведение равно

1,5⃗a⋅⃗b = 4,5 ⋅3+ (− 12)⋅1 = 13,5− 12 = 1,5.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#75892

Даны векторы $⃗n(0,75;− 5),$ $⃗s(0;− 2)$ и $⃗k(− 4;k0).$ Найдите $k0$ , если $⃗k ⋅(⃗s − ⃗n) = 0.$

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗s− ⃗n :$

(0− 0,75;− 2− (− 5)) = (− 0,75;3).

Тогда

⃗k⋅(⃗s− ⃗n) = − 4 ⋅(− 0,75)+ k0 ⋅3 = 3+ k0 ⋅3 = 0.

Решая уравнение, находим $k0 = − 1.$

Ответ: -1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#69869

На координатной плоскости даны точки $A(−6;1),$ $B(x;5)$ и $C(6;− 4).$ Известно, что $△ABC$ — прямоугольный с прямым углом $∠B.$ Найдите $x.$

$xy110AC$

Показать ответ и решение

Если $∠ABC =90∘,$ то скалярное произведение $−B→A ⋅−−B→C = 0.$ Имеем

−→ BA(− x− 6;− 4) 2 −−→ ⇒ (− x−6)(6−x)+ (− 4)⋅(− 9)= 0 ⇔ −36+x +36 = 0 ⇔ x= 0 BC (6− x;−9)

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#69868

На координатной плоскости даны точки $A (− 6;1),$ $B (0;5),$ $C(6;−4)$ и $D(0;−8).$ Найдите ординату точки $O$ пересечения диагоналей четырехугольника $ABCD.$

$xy110ABCD$

Показать ответ и решение

Докажем, что $∠B = 90∘.$ Это будет верно, если скалярное произведение $−→ −−→ AB ⋅BC =0.$

−A→B (6;4) −→ −−→ −−→ ⇒ AB ⋅BC = 6⋅6− 4⋅9 =0 ⇒ ∠ABC = 90∘ BC (6;−9)

Заметим, что $−D−→C (6;4) =−A→B.$ Следовательно, $AB = CD$ и $AB ∥CD.$ Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник. Значит, $O$ — середина $AC.$ Следовательно,

( 6− 6 1− 4) O -2--;-2-- = (0;−1,5)

Следовательно, ордината точки пересечения диагоналей равна -1,5.

Ответ: -1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#69867

На координатной плоскости даны точки $A (−6;1),$ $B (0;5),$ $C(6;−4)$ и $D(x;y).$ Известно, что $ABCD$ — прямоугольник. Найдите $y.$

$xy110ABC$

Показать ответ и решение

Проверим, что $∠B = 90∘.$ Тогда скалярное произведение $−A→B ⋅−B−→C = 0.$

−→ AB (6;4) −→ −−→ ∘ −−→ ⇒ AB ⋅BC = 6⋅6− 4⋅9 =0 ⇒ ∠ABC = 90 BC (6;−9)

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB ∥ CD$ и $AB = CD,$ следовательно, $−A→B = −D−→C.$ Тогда

−D−→C = (6 − x;−4 − y) =(6;4) ⇒ −4− y = 4 ⇔ y = −8

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#69830

Дано уравнение окружности $(x− 1)2 +y2 =8$ и точка $A(3;y),$ лежащая на этой окружности. Если $O$ — центр окружности, $⃗ i(1;0)$ — координатный вектор, то найдите скалярное произведение $−→ OA$ и $⃗i.$

$OA$

Показать ответ и решение

Так как $A$ лежит на окружности, то координаты точки $A$ удовлетворяют уравнению окружности. Следовательно,

2 2 (3− 1) + y = 8 ⇔ y = 2

Следовательно, $A(3;2).$ Координаты центра окружности находятся из уравнения: $O(1;0).$ Следовательно,

−→ ∘------ √ - OA(2;2) ⇒ OA = 22 +22 = 2 2

Так как $−→ OA (2;2),$ то угол наклона вектора $−→ OA$ к положительному направлению оси абсцисс равен $45∘,$ то есть угол между $−→ OA$ и $⃗i$ равен $45∘.$

$xyOA⃗i$

Следовательно,

−→ √- OA ⋅⃗i= 2 2 ⋅1⋅cos45∘ = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#69772

Дан четырехугольник $ABCD.$ На сторонах $AD$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM :MD = BN :NC = 3:4.$ Точки $K1,$ $K2$ и $K3$ — середины отрезков $AB,$ $MN$ и $CD$ соответственно. Длина отрезка $K1K3 = 7.$ Найдите скалярное произведение $−−−→ −−−→ K1K2 ⋅K2K3.$

$DABCMNKKK123$

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж

$DABCMNKKK123$

Заметим, что $−−→ −−→ K1A = − K1B,$ $−−−→ −−−→ K2M = −K2N,$ $−−−→ −−→ K3D = −K3C.$

Пусть $−A−→D = 7⃗a,$ $−−B→C = 7⃗b.$ Тогда $−A−M→ = 3⃗a,$ $−M−→D =4⃗a,$ $−−B→N = 3⃗b,$ $−N−→C = 4⃗b.$ Следовательно,

( ) ( ) −K−1−K→2 = 1 −K−1→A + −K−1→B + −A−→M +−B−N→ +−M−K−2→ + −−N−K→2 = 1 3⃗a+ 3⃗b 2 2 −−−→ 1(−−−→ −−−→ −−→ −−→ −−−→ −−→ ) 1( ) K2K3 = 2 K2M + K2N + MD + NC +DK3 + CK3 = 2 4⃗a+ 4⃗b −−−→ 1(−−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ −−→) 1 ( ) K1K3 = 2 K1A + K1B + AD + BC + DK3 + CK3 = 2 7⃗a+ 7⃗b

Таким образом, векторы $−K−1−K→2,$ $−K−2−K→3$ и $−K−1−K→3$ коллинеарны, то есть точки $K1,$ $K2$ и $K3$ лежат на одной прямой. Следовательно, из разложений этих векторов по векторам $⃗a$ и $⃗b$ следует, что $3 K1K2 = 7K1K3 =3,$ $K2K3 = 4 K1K3 =4. 7$ Следовательно,

−−−→ −−−→ ∘ K1K2 ⋅K2K3 =K1K2 ⋅K2K3 ⋅cos0 = 12

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#69655

$ABCD$ — четырехугольник со стороной $AB = 2.$ $O$ — такая точка внутри этого четырехугольника, что $−→ −−→ AO = OC,$ $−−→ −−→ BO = OD.$ Найдите скалярное произведение векторов $−→ AB$ и $−−→ CD.$

$ACBDO$

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж

$ACBDO$

Из равенства векторов $−A→O = −−O→C,$ $−−B→O = −O−→D$ следует, что 1) отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O;$ 2) $O$ — середина этих отрезков. Из этого следует, что $ABCD$ — параллелограмм. Следовательно, $−→ −−→ AB = −CD.$ Следовательно,

−→ −−→ AB ⋅CD = 2 ⋅2 ⋅cos180∘ = −4

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#68451

На координатной плоскости изображен прямоугольный равнобедренный треугольник $ABC,$ причем точки $A$ и $B$ лежат на осях координат. Найдите косинус острого угла между медианами, проведенными к катетам этого прямоугольного треугольника.

$xyBAC$

Показать ответ и решение

Пусть $A$ и $B$ лежат на осях $Oy$ и $Ox$ соответственно, а $C$ — начало координат. Рассмотрим векторы $−−→ CB1 = ⃗a,$ $−−→ ⃗ CA1 = b,$ где $AA1$ и $BB1$ — медианы, проведенные к катетам. Тогда $−→ CA = 2⃗a,$ $−−→ CB = 2⃗b.$ Причем $|⃗a|= |⃗b|.$ Тогда $−−→ AA1 =− 2⃗a+ ⃗b= (b;−2a)$ $−−→ BB1 = ⃗a− 2⃗b= (− 2b;a).$

$xyC⃗bA⃗aBBA11$

Обозначим $AA1 = BB1 = m.$ Тогда скалярное произведение векторов $−A−A→1$ и $−B−B→ 1$ можно записать двумя способами:

2 2 m2⋅cos(180∘−α )= −2b⋅b+a⋅(− 2a) ⇔ 2(b2+a2)= 4a2 = m2cosα ⇔ cosα = AB--= -8a--= 0,8 2m2 10a2

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#68092

На координатных осях от начала координат отложены векторы $⃗a$ и $⃗b$ и на них, как на катетах, построен прямоугольный треугольник, в котором $⃗ h(1;3)$ — вектор высоты этого треугольника к гипотенузе. Найдите длину вектора $⃗a.$

$⃗⃗ xy⃗abh$

Показать ответ и решение

Пусть $⃗a= (a;0),$ $⃗b= (0;b),$ то есть длины векторов $⃗a$ и $⃗b$ равны $a > 0$ и $b> 0$ соответственно. Тогда нужно найти $a.$

Рассмотрим рисунок:

$⃗⃗⃗xyabh⃗c= ⃗b− ⃗a$

Получаем такой прямоугольный треугольник, построенный на векторах $⃗a,$ $⃗ b$ и $⃗c.$ По условию $⃗h ⊥⃗c.$

Вспомним, что дает перпендикулярность векторов для их скалярного произведения. Два вектора $⃗m(x1;y1)$ и $⃗n(x2;y2)$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: