Тема 2. Задачи на векторы
2.04 Скалярное произведение векторов
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на векторы
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69772

Дан четырехугольник ABCD.  На сторонах AD  и BC  отмечены точки M  и N  соответственно так, что AM  :MD  = BN :NC  = 3:4.  Точки K1,  K2  и K3  — середины отрезков AB,  MN  и CD  соответственно. Длина отрезка K1K3 = 7.  Найдите скалярное произведение −−−→  −−−→
K1K2 ⋅K2K3.

DABCMNKKK123

Показать ответ и решение

Рассмотрим чертеж

DABCMNKKK123

Заметим, что −−→     −−→
K1A = − K1B,  −−−→    −−−→
K2M = −K2N,  −−−→    −−→
K3D = −K3C.

Пусть −A−→D  = 7⃗a,  −−B→C = 7⃗b.  Тогда −A−M→ = 3⃗a,  −M−→D  =4⃗a,  −−B→N = 3⃗b,  −N−→C  = 4⃗b.  Следовательно,

         (                                 )    (      )
−K−1−K→2 =  1 −K−1→A + −K−1→B + −A−→M  +−B−N→ +−M−K−2→ + −−N−K→2  =  1 3⃗a+ 3⃗b
        2                                      2
−−−→    1(−−−→   −−−→   −−→   −−→   −−−→   −−→ )   1(      )
K2K3 =  2 K2M  + K2N + MD + NC  +DK3 + CK3   = 2 4⃗a+ 4⃗b

−−−→    1(−−→   −−→   −−→   −−→   −−−→   −−→)   1 (     )
K1K3 =  2 K1A + K1B + AD + BC + DK3 + CK3  = 2  7⃗a+ 7⃗b

Таким образом, векторы −K−1−K→2,  −K−2−K→3  и −K−1−K→3  коллинеарны, то есть точки K1,  K2  и K3  лежат на одной прямой. Следовательно, из разложений этих векторов по векторам ⃗a  и ⃗b  следует, что        3
K1K2 = 7K1K3  =3,  K2K3 = 4 K1K3 =4.
       7  Следовательно,

−−−→  −−−→                   ∘
K1K2 ⋅K2K3 =K1K2 ⋅K2K3 ⋅cos0 = 12
Ответ: 12

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!