В таблице строк.

1. Импликация ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Значит, если a В остальных случаях Рассмотрим, при каких значениях и (если то при любом значении

Если то, чтобы выполнялось необходимо (ведь операция эквивалентности истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны). Чтобы дизъюнкция была ложна, оба высказывания, входящие в нее, должны быть ложны, то есть и При таких значениях Тогда Это соответствует строке 2 из таблицы истинности.

Если то чтобы выполнялось Это выполняется в нескольких случаях. Если то может быть равна и нулю и единице, ведь одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, уже истинно. При тогда (так как строка 7). При значит, строка 6). Если то тогда одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, будет истинным). В таком случае так как (строка 5).

2. При других значениях и потому что (строки 1, 3, 7, 8).

3. Из составленной таблицы истинности видим, что при (строки 1, 4) и при (строки 3, 7, 8). Сумма значений равна 0 * 2 + 1 * 3 = 3.

1.

2. В таблице истинности будет строк.

3. Если и (так как эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно ложны или истинны). Если и так как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из входящих в нее высказываний (строка 8 в таблице истинности). Если и так как оба высказывания, входящие в дизъюнкцию, ложны (строка 4).

4. Аналогично для Тогда снова значение функции будет зависеть от При так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно (строка 5), а при так как все высказывания ложны (строка 1).

5. Если и то Так как (ведь значения и различны), будет ложна при любом Тогда, так как значение переменной не будет влиять на значение функции, при и может быть как 0, так и 1. так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно (строки 3, 7).

6. Если и то Так как будет ложна при любом (то есть может быть и 0 и 1). Значит, при и всегда будет ложна (так как оба высказывания, входящих в дизъюнкцию, ложны, строки 2, 5).

7. при следующих наборах (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 0). Если просуммировать значения, то получим 7.

1. =

2. Заметим, что при всегда выходит, что так как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно выражение, входящее в нее (строки 3-4, 7-8 в таблице истинности). Аналогично при то есть при (строки 1-4).

3. При и , получаем: При , получаем: и так как истинно одно из выражений (строка 6), а при , получаем: и так как оба выражения, входящие в дизъюнкцию, ложны (строка 5).

По построенной таблице истинности видим, что для набора

Составим таблицу истинности:

Как мы можем увидить, функция истинна на 5 наборах.

В таблице строк.

Импликация ложна в случае, когда Из второй импликакции сделаем вывод, что для её ложности Теперь посмотрим на первую импликацию, увидим, что будет принимать значение 1, а значит, для истинности этой импликации может быть равно как 0, так и 1. Таким образом, всего две строки (первая и пятая), в которых

В таблице строк.

Дизъюнкция истинна тогда, когда одна из скобок истинна. Первая скобка истинна, если Следовательно, пятая и седьмая строки дают Вторая скобка истинна в том случае, если Это соответствует седьмой строчке. Таким образом, всего три строки, в которых

В таблице строк.

1. Поймём для начала, когда эквивалентность будет истинна. На основе этого найдём, когда будет ложна. Можно понять, что если Значит на пятой и шестой строчке таблицы истинности. В этом случае обе скобки примут значение 1.

2. Обе скобки будут ложными, а эквивалентность истинна только тогда, когда (этот вывод можно сделать исходя из второй скобки). При этих же значениях переменных первая скобка будет тоже ложна, а значит, эквивалентность будет истинна. То есть четвёртая строка тоже даст

3. Следовательно, наборы переменных в остальных строчках дадут нам Посчитаем сумму значений и получим ответ 2.

Импликация будет ложной, если дизъюнкция будет истинной, а эквивалентность ложной. Эквивалентность будет ложной, если:

1. В этом случае дизъюнкция будет истинной. При этом может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в пятой и седьмой строчках

2. В этом случае дизъюнкция будет истинной при Значит, во второй строчке

Всего 3 строки, в которых

Функция будет ложной, если каждая из скобок будет ложной. Первая скобка будет ложной в двух случаях:

1. В таком случае для ложности второй скобки
2. В этом случае для ложности второй скобки может быть равен как , так и .

Следовательно, во второй, третьей и седьмой строчках Всего таких строчки.

В таблице строк.

Рассмотрим, когда функция будет ложной. Тогда мы поймём, когда функция будет принимать значение . будет ложной, если В этом случае может быть равен как , так и . Следовательно, в пятой и шестой строчках Также функция будет ложной, если При этом может быть равен как , так и . Следовательно, в третьей и седьмой строчках Тогда получим, что строк, в которых , всего .

В таблице строк.

Рассмотрим, когда функция будет принимать значение 0. Во всех оставшихся строчках функция примет значение 1. Функция будет ложной, если одна из скобок будет ложной. Конъюнкция ложна тогда, когда принимают значение 0. Следовательно, в первой и второй строчках Импликация будет ложной тогда, когда Данная конъюнкция будет ложной в случаях Следовательно, в шестой и восьмой строчках Строчек, в которых всего 4.

В таблице строк.

Рассмотрим, когда функция принимает значение 0. Это будет тогда, когда Так как принимает значение 1, то должен принимать значение 0. Переменная может быть равна как 0, так и 1. Следовательно, во второй и четвёртой строках Во всех остальных строках Всего таких строк 6.

В таблице строк.

Рассмотрим, когда каждая из трёх скобок будет истинна. Первая скобка будет истинна в трёх случаях:

1. Тогда для истинности эквивалентности во второй скобке В таком случае импликация в третьей скобке будет также истинной. Следовательно, в седьмой строке таблицы истинности

2. Тогда для истинности эквивалентности во второй скобке Импликация в третьей скобке будет также истинна. Значит в третьей строке таблицы истинности

3. Тогда для истинности эквивалентности во второй скобке Однако тогда импликация в третьей скобке будет ложной.

Следовательно, всего две строки, в которых

В таблице строк.

в тех случаях, когда одна из скобок принимает значение 0. Рассмотрим тот случай, когда первая скобка примет значение 0.Импликация ложна в том случае, когда Тогда Значит, в восьмой строчке Теперь рассмотрим тот случай, когда вторая скобка примет значение 0. В этом случае Тогда Следовательно, третья строка таблицы истинности даёт нам

В таблице строк.

1. Дизъюнкция ложна тогда, когда обе скобки ложные. Если то (следует из первой скобки). Тогда из второй скобки следует, что (чтобы эквивалентность была ложной). Значит в пятой строчке

2. Если то либо В первом случае для ложности эквивалентности во втором случае Таким образом, вторая и третья строчки дают нам Суммарно таких строк 3.

В таблице строк.

Функция ложна в тех случаях, когда каждая из трёх скобок будет ложной. Первая скобка истинна в случае Вторая скобка истинна в случае А третья скобка будет истинна в случае Следовательно, в четвёртой, шестой и седьмой строчках В остальных случаях При этом сумма значений равна 2.

В таблице строк.

Конъюнкция истинна, если каждая из скобок истинна. Рассмотрим первую скобку. Она истинна в том случае, если Если то не выполнится эквивалентность в третьей скобке. Это значит, что Таким образом, подходит только один набор переменных, при которых Этот набор соответствует пятой строке.

Решение аналитически

В таблице строк.

1. Так как конъюнкция ложна, если ложно хотя бы одно из высказываний, то при при любых и (строки 1, 6-10, 12, 14 в таблице истинности).

2. Рассмотрим случай, когда Тогда При при любом так как импликация ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Если то так как операция эквивалентности истинна, когда оба выражения истинны или оба ложны, и (так как все выражения, входящие в конъюнкцию, истинны). Это соответствует строкам 4 и 5. Если то так как одно из выражений, входящее в конъюнкцию, ложно (строки 11 и 16).

При если то тогда одно из выражений, входящих в конъюнкцию, ложно, и при любом (строки 13 и 15). Если то Если то так как оба выражения, входящих в конъюнкцию, истинны (строка 2). Если то так как одно из выражений, входящих в конъюнкцию, ложно (строка 3).

Таким образом, сумма значений , при которых равна (строки 2, 4, 5).

Решение программой

def f(a, b, c, d):
    return (a <= b) and (b == c) and d

ans = 0
for a in range(2):
    for b in range(2):
        for c in range(2):
            for d in range(2):
                if f(a, b, c, d):
                    ans += d
print(ans)

Решение 1 (ручками)

1. По закону дистрибутивности

2.

3.

4. Если то левая часть функции равна 0 Значит, для может быть любым, так как не влияет на значение функции. если (тогда одно из выражений, входящих в дизъюнкцию, будет истинно). Это выполняется при и (строки 2, 3). При других и значит, так как операция эквивалентности истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или ложны (строки 1, 10 в таблице истинности).

5. Если то Тогда имеем, что Если то и так как дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из выражений истинно (а в обеих дизъюнкциях есть Тогда, если и при любых и (строки 5, 7, 8, 11).

Если то а Имеем: При При так как высказывания различны (строка 4), при так как оба высказывания истинны (строка 14). При Так как — дизъюнкция, в которой одно из высказываний истинно, то и вся дизъюнкция истинна. Тогда что неверно, значит, при любых (строка 9, 16).

По построенной таблице видим, что при (строки 1, 4, 9, 10, 16) и при (строки 6, 12, 13, 15). Тогда сумма значений равна 0 * 5 + 1 * 4 = 4.

Решение 2 (прогой)

count = 0
for a in (0, 1):
    for b in (0, 1):
        for c in (0, 1):
            for d in (0, 1):
                if (((a and b) or (b and c)) == ((d <= a) or (b and not(c)))) == 0:
                    count += a
print(count)

Решение аналитически

1. В таблице истинности строк.

2. При при любых значениях и так как конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда все высказывания, входящие в нее, истинны (строки 1-4 в таблице истинности).

3. Рассмотрим случаи, когда Если то (так как оба высказывания будут истинны), иначе (так как одно высказывание будет ложно). По закону де Моргана Тогда, учитывая, что

4. Если и (одновременно, то есть при и то и (строка 8). В остальных случаях и (строки 5-7).

5. Наборы при которых (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1). Сумма значений равна 5.

Решение программой

def f(a, b, c):
    return (a and ((not (b and c)) or (a and (not b)) or ((not c) and a)))

ans = 0
for a in range(2):
    for b in range(2):
        for c in range(2):
            if f(a, b, c):
                ans += (a + b + c)
print(ans)