Пусть число после первого укорачивания равно а после третьего — Тогда отличается от только двумя последними цифрами, то есть Так как по условию изначальное число больше миллиона, то что возможно только если (иначе ). Значит, вторая и третья цифры исходного числа — нули, и куб получающийся после второго укорачивания, оканчивается на Следовательно, четвертая и пятая цифры исходного числа — тоже нули (куб числа, делящегося на делится и на ), и после пятого укорачивания мы получим число Поскольку в разложение числа, являющегося одновременно точным квадратом и точным кубом, все простые множители входят в степенях, кратных это число является точной шестой степенью.

Т.к. — параллелограмм, то и Из получившихся равнобедренных треугольников и и параллелограмма делаем вывод, что Пусть — пересечение и а — и Тогда

По признаку что и доказывает утверждение задачи.

Отметим точки и на отрезках и соответственно таким образом, чтобы а Рассмотрим точку симметричную относительно середины отрезка Нетрудно показать, что четырёхугольники и — параллелограммы, поэтому треугольник — искомый. В самом деле, (так как прямые и ограничивают параллелограмм), и, аналогично, откуда и

Как известно, Так как оба сомножителя в правой части тут меньше, чем если один из них — составное число, то у него есть делитель больший но не больший Но тогда и число делится на что противоречит его простоте. Значит, числа и — простые, а в сумме они как раз дают

Пусть отрезки и пересекаются в точке . Так как треугольники и равны по первому признаку, Тогда

(здесь первое равенство — теорема о внешнем угле для треугольника а второе — теорема о сумме углов для треугольника ), откуда

Если дробная часть числа равна целому числу, то это Значит, надо доказать, что сумма наших чисел — целое число и произведение их целых частей равно Первое очевидно, так как по условию сумма дробных частей наших чисел — целое число. Допустим, второе неверно. Тогда у всех наших чисел целые части не меньше и мы имеем

откуда что невозможно.

Пусть так отметить числа можно. Пронумеруем отмеченные числа в порядке возрастания: Положим По условию в последовательности любое число является квадратом натурального числа. Кроме того, квадратом является любая сумма Пусть Очевидно, Поэтому найдется такое что Сумма тоже должна быть квадратом некоторого натурального числа При этом откуда Противоречие.

Пусть — середина отрезка Заметим, что а значит параллельна и Также как средняя линия треугольника Таким образом, четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, Осталось заметить, что так как это медиана в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию.

Заметим, что треугольники и равнобедренные, а значит нам достаточно доказать, что Теперь заметим, что Следовательно, треугольники и равнобедренные. То есть неравенство превратится в Это неравенство треугольника, а значит оно является верным, что и требовалось.

Отметим на отрезке такую точку что Тогда треугольники и подобны и Кроме того, и поэтому треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, Далее, = = = = = и поэтому треугольники и подобны по двум углам, откуда = Значит, треугольники и подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (, поскольку ), но так как то

Обозначим через точку пересечения медиан и По свойству медиан и Поскольку к тому же то Таким образом в треугольнике медиана к стороне равна поэтому Это означает, что — высота треугольника в котором Следовательно, — его медиана. Поэтому откуда Получается, что диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то есть — параллелограмм. Значит, откуда что и требовалось доказать.

Заметим, что в выражении нет переменной Попробуем от неё избавиться и в исходных условиях. Для этого из выразим Теперь подставим полученное во второе условие:

Раскрываем скобки и получаем:

Приводим подобные слагаемые и после делим уравнение на 2:

Вернёмся к выражению В нём группируем кубы и квадраты, пользуемся формулами сокращенного умножения:

Вынесем из обеих скобок:

Выше мы уже нашли, что вторая скобка равна тогда получаем

— целое число, поэтому делится на

Первое решение. Пусть — середина отрезка Поскольку четырехугольник — параллелограмм, точка является серединой отрезка

Обозначим и Так как — равнобокая трапеция, откуда мы получаем что и Кроме того, поскольку и равнобедренные треугольники и подобны, поэтому

Треугольники и также подобны, так как

и Значит, откуда что и требовалось.

Второе решение. Как и в первом решении, введём точку и покажем, что — равнобокая трапеция. Отложим на луче отрезок Поскольку перпендикуляры, опущенные на из точек и равны, откуда Поэтому четырёхугольники и — также равнобокие трапеции; в частности, вписана в некоторую окружность С другой стороны, поскольку отрезки и параллельны и равны, — параллелограмм, откуда Значит, — также равнобокая трапеция. Поскольку точки и лежат на точка лежит на этой же окружности. Из вписанного четырёхугольника теперь получаем Осталось заметить, что — параллелограмм (ибо параллелен и равен ), откуда

Нетрудно построить цикл, проходящий по разу через все клетки доски так, что соседние клетки в нем имеют общую сторону: можно, например, пройти всю первую вертикаль от нижней клетки до верхней, потом ходить по вертикалям “змейкой” от верхней горизонтали до второй снизу и обратно, а по последней вертикали вернуться на первую горизонталь и по ней — в исходную клетку. “Расклеим” все общие стороны клеток на доске, кроме общих сторон между соседними клетками нашего цикла. Даже после этого выброшенных клеток будут разбивать этот цикл не более чем на частей, а при обратной склейке цикла в доску число частей не увеличится.

Оценка. Положим и НОД Тогда и Так как числа и взаимно просты, должно делиться на Поэтому и откуда и

Пример.

Запишем теорему синусов для треугольников и Поскольку и получаем, что Отсюда возникают два случая, либо углы и равны, либо они в сумме дают В первом случае четырёхугольник был бы вписанным, но это невозможно, потому что по условию точка лежит внутри треугольника . Следовательно, углы в сумме дают

Вспомним про то, что биссектриса угла перпендикулярна На самом деле, это условие равносильно равенству углов и Продлим за точку на длину отрезка Получим точку Углы и вертикальные, а значит — биссектриса угла Получается, что мы отразили точку относительно В таком случае, Также то есть четырёхугольник вписанный, потому что сумма противолежащих углов равна Но тогда Таким образом, треугольник равнобедренный, это даёт требуемое.

Так как Так как Пусть и — перпендикуляры, опущенные из и на и соответственно. Тогда прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу, откуда Это значит, что расстояния между прямыми и и между прямыми и равны. Таким образом, прямые и пересекаясь, образуют ромб где — точка пересечения и По свойству ромба =

Пусть отрезок пересекает диагонали и в точках и соответственно. Тогда = = Значит, в треугольнике углы при основании равны, он равнобедренный, и поэтому внешняя биссектриса его угла параллельна что и требовалось. Если же полученное равенство углов сразу говорит, что — биссектриса угла

Пусть корни равны . Очевидно, что они положительны. Для наглядности изобразим точки из условия на графике:

Заметим, что равенство равносильно равенству , а оно в свою очередь равносильно подобию и . Наконец, оно равносильно равенству , которое мы будем доказывать. Заметим, что данная функция является квадратным трёхчленом относительно и имеет корни и , а значит по теореме Виета . Также понятно, что , . Тогда при подстановке в равенство получим

Пусть — самая короткая из высот треугольника Если она равняется медиане или биссектрисе то треугольник, очевидно, равнобедренный. Если она равна медиане или биссектрисе то тогда не короче высоты Значит, она равна так как по нашему предположению — самая короткая из высот. Итак, всё свелось к случаю, когда Но тогда прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе, откуда

Перемножая три полученных неравенства, получаем искомое.