Пусть для некоторых целых чисел и Если числа и чётны, то сумма их квадратов делится на , а число — нет. Таким образом, числа и могут быть только нечетными:

Следовательно, сумма

при делении на дает в остатке

С другой стороны, среди чисел вида только число при делении на дает в остатке , поскольку если число двоек в этом числе больше , то , при этом первое слагаемое полученной суммы делится на , а второе при делении на дает в остатке

Если целое число дает остаток или при делении на то и тоже. Если же дает остаток при делении на то его квадрат дает остаток при делении на То есть квадраты целых чисел дают остатки и при делении на Тогда если выражение делится на то и делятся на

По условию, эти числа записываются только цифрами Тогда трехзначные числа, кратные могут иметь на конце в точности вариантов: При этом на первом месте в каждом из этих вариантов может стоять одна из возможных цифр: В случае, если число двузначное, имеем вариантов. А также — однозначное натуральное число, кратное Итого,

Обозначим три различные цифры как Всевозможные двузначные числа:

По условию

Приведем общие слагаемые

То есть Так как это различные цифры, Следовательно Переберем возможные значения

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

Если то Это возможно только в случае и наоборот.

В случаях, когда или перебирая всевозможные подходящие пары цифр получаем уже найденные ранее тройки.

Если бы такие три числа существовали, по крайней мере два из них имели бы одинаковую четность. Предположим, что это пара чисел и . Тогда сумма четная, а значит, четным должно быть и произведение Число же которому это произведение должно равняться, — нечетное. Полученное противоречие показывает, что целых чисел, удовлетворяющих условию, не существует.

Можно, например,

Указанные четыре числа можно записать в виде , где принимает значения поэтому сумма любых трёх чисел

делится на Все числа в наборе нечётные, значит, сумма любых двух делится на Наконец, сумма всех четырёх чисел равна и делится на

Рассмотрим, как изменяется число, при переходе слева направо на одного человека. Если рядом стоящие дети разного пола, то число не изменяется. Если переходим от девочки к девочке, то число увеличивается на , а если от мальчика к мальчику, то уменьшается на . Таким образом, самое маленькое число в ряду могло увеличиться не более, чем на , а значит, различных чисел не более .

Приведём пример на различных чисел: поставим последовательно слева направо сначала всех мальчиков, затем всех девочек. Тогда числа в ряду будут:

— всего различных.

Пусть всего было крыс, где по условию. Тогда в первую ночь каждая крыса съела головок сыра. Во вторую ночь каждая крыса съела вдвое меньше, то есть головок сыра. Так как во вторую ночь крыс доедали сыр, суммарно они съели головок сыра. Эта дробь — целое число, а единственный делитель числа , превышающий , это само число , поэтому . И тогда всего сыра было съедено

Из условия следует, что зелёные дарили кактусы фиолетовым, а фиолетовые — зелёным. Так как общее количество человечков нечетно, то какого-то вида больше, чем другого. Допустим, что зелёных больше, тогда какому-то зелёному человечку кактуса не досталось.

Каждый участник выбывает, потерпев ровно два поражения. В ситуации, когда остались двое “финалистов”, общее количество поражений равно .

Если из турнира выбыло человек, то они суммарно потерпели поражений, а на счету “финалистов” поражений могло быть (у обоих “финалистов” не было поражений), (у одно из “финалистов” было поражение) или (у обоих “финалистов” было по одному поражению).

Учитывая, что и — чётные числа, уравнения и не имеют решений.

Приходим к уравнению , откуда , а общее количество участников равно

Пусть у Дениса изначально было коричневых хамелеонов. Тогда красных хамелеонов было . Из условия задачи получаем уравнение . Откуда получаем . Всего хамелеонов , то есть

Предположим, что такого месяца не найдется, тогда в каждом месяце дни рождения не более чем у трех ребят. Но тогда в классе не более чем учеников. Полученное противоречие доказывает, что найдется месяц в котором отмечают свой день рождения не меньше чем ученика.

Максимум сумма цифр года рождения может равняться минимум — Поэтому Е.А. родился самое раннее в а самое позднее — в Заметим, что если менять только последнюю цифру года рождения, то сумма цифр будет увеличиваться, а возраст — уменьшаться (и наоборот) на одну и ту же величину. Поэтому в каждом десятилетии не более одного подходящего года. Остаётся проверить возможные десятилетия. Если год рождения попадает на нулевые, получаем уравнение То есть что не имеет решения в целых числах. Если год рождения попадает на восьмидесятые, то получаем уравнение или что тоже не имеет решения в целых числах. Наконец, для девяностых получаем уравнение Решая его, получаем, единственный ответ: Поэтому Е.А. родился в году. Значит, в году ему исполнилось года.

Раз нам нужно место, а каждое число до этого места точно содержит в себе цифры, поделим нацело на Получим число — это примерное количество полных четырёхзначных чисел до -ого места. Тогда у нас замыкает место() число Значит, далее будет число а на месте цифра

Обозначим число По условию значит, одна из этих цифр равняется а две другие равны Поскольку и не делятся на Число поэтому получаем два трёхзначных числа и Число откуда получаем два трёхзначных числа и Окончательно получаем числа.

Понятно, что если число делится на то делится и на Тогда нам нужна делимость чисел на а это значит, что число должно делиться на и на Тогда и сумма цифр нашего числа должна делиться на Какой может быть сумма цифр числа, используя и Возможны варианты

Получаем, что подходящие нам четырёхзначные числа могут быть только из всех или со всеми кроме одной. И того, несложно перебрав, получаем чисел().

Первая цифра не может быть нулём, поэтому вторая цифра не меньше а первая — не меньше Если третья цифра больше то четвёртая не меньше и получается, что сумма цифр числа не меньше, чем — противоречие. Поэтому третья и четвёртая цифры — нули, а первая и вторая должны в сумме давать Значит, вторая цифра равна а первая равна

Так как среди цифр данного числа только одно (нечетное количество) нечётное, то при любой расстановке знаков “” или “” будем получать нечетную сумму. Нуль – четное число.

Рассмотрим и преобразуем разность:

По условию тогда получаем значит большое число в раза больше.

Пусть — ежемесячный доход студента, и — величины стипендии, подработки и помощи родителей соответственно (выраженные, например, в рублях). Ясно, что Тогда по условию и Из первого уравнения из второго тогда то есть, доход студента возрастёт на