Алгебраические текстовые задачи на ПВГ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Алгебраические текстовые задачи на ПВГ

Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Алгебраические текстовые задачи на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85554

Кривая, заданная уравнением $y = x2+ px+ q$ , пересекает ось $Ox$ прямоугольной декартовой системы координат в точках $A$ и $B$ , а ось $Oy$ - в точке $C$ (все три точки различны). Известно, что точка $D$ равноудалена от точек $A,B$ и $C$ , а сумма ее координат равна (-2023). Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка $AB$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А, В, С — точки параболы, причём при пересечении с осями Ох и Оу. Тогда про координаты этих точек много уже известно. Подумайте, как называют точки пересечения параболы и оси Охи, и используйте известную теорему для квадратного уравнения.

Подсказка 2

Известная теорема для квадратного уравнения— теорема Виета. Используйте и другие условия задачи, постарайтесь получить значение q - p, ведь только эти переменные изначально даны в условии.

Подсказка 3

Вы уже знаете, что абсциссы А и В — это корни квадратного уравнения и помимо теоремы Виета у них есть явные формулы, используйте это, выражая АВ.

Показать ответ и решение

Из условия вытекает, что $q ⁄= 0$ . Если обозначить $A(x;0),B(x;0),C(0;q),D (x;y) 1 2$ , то, очевидно, что $x= x1+x2- 2$ . Далее

2 2 |DB| = |DC |

2 2 2 2 (x− x2) +y = x + (y − q)

2qy =q2+ 2xx − x2 2 2

Так как $2x= x1+ x2$ , то $2qy = q2+ x1x2$ . Поэтому с учетом теоремы Виета: $x =− p2,y = q+12-$ .

Тогда из условия задачи имеем уравнение

q− p= 2⋅(− 2023)− 1 =− 4047

По формуле корней квадратного уравнения,

-- ∘ ------ |AB|= |x2− x1|=√ D = p2− 4q,

откуда следует

|AB|2 = p2 − 4q = p2− 4p +4⋅4047= (p− 2)2 +4⋅4046≥4 ⋅4046

Данное значение $√---- √ -- |AB |= 2 4046= 34 14$ достигается при $p =2,q = −4045$ .

Ответ:

$2√4046= 34√14$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85548

На испытаниях беспилотных летательных аппаратов лучшими оказались две модели. При встречном ветре 3 м/с модель Альфа продержалась в воздухе на 150 секунд меньше модели Бета, но пролетела на 500 метров дальше. Какая из моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде и на сколько? Скорость каждой из моделей считать постоянной. Время нахождения модели в воздухе определяется только ее техническими параметрами и не зависит от погодных условий.

Источники: ПВГ - 2024, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вопрос задачи «Какая из моделей пролетит большее расстояние...». То есть не обязательно находить каждое расстояние по отдельности. Можно просто выразить их разность!

Подсказка 2

Введите переменные и составьте уравнения по условию задачи. Внимательно посмотрите на уравнение, связанное с расстояниями: может, именно там и скрывается искомая разность, нужно лишь применить в нём имеющиеся знания про разность времени полётов.

Показать ответ и решение

Решим задачу в общем виде. В условии заданы: $u$ м/с - скорость ветра; модель Альфа продержалась в воздухе на $t$ секунд меньше модели Бета; модель Альфа пролетела на $l$ метров дальше.

Пусть $v1$ и $v2$ - скорости при безветренной погоде моделей Альфа и Бета соответственно (в $M ∕c$ ), $t1$ и $t2$ - время (в секундах), которое первая и вторая модели соответственно продержались в воздухе.

Тогда при встречном ветре $(v1− u)t1$ - дальность полета модели Альфа, $(v2− u)t2−$ дальность полета модели Бета. По условию:

t= t2− t1, l=(v1− u)t1− (v2− u)t2 =v1t1 − v2t2 +ut.

При безветренной погоде разность между дальностью полета первой и второй моделей равна

x= v1t1− v2t2 = l− ut.

Таким образом, $x> 0$ , если $l>ut;x< 0$ , если $l< ut;x =0$ , если $l= ut$ . При $u= 3,t=150$ и $l= 500$ получаем $x =500− 450 =50> 0$ . Значит, модель Альфа пролетит дальше на 50 метров.

Ответ: модель Альфа, на 50 м

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67952

Из пункта $A$ в пункт $B$ по одной дороге с постоянными скоростями выехали велосипедист и мотоциклист. Один из них выехал в 13:00, а другой на час раньше, при этом в пункт $B$ они прибыли одновременно, хотя один из них сделал остановку в пути длительностью 2 часа. В котором часу они прибыли в пункт $B,$ если скорость мотоциклиста в два раза больше скорости велосипедиста?

Источники: ПВГ-2023, 10.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интуитивно кажется, что велосипедист не может останавливаться на 2 часа: ведь он и так медленный, куда ему еще останавливаться....Попробуйте строго доказать это)

Подсказка 2

Если велосипедист останавливался на 2 часа, то уже не важно, раньше он выехал или позже: он будет ехать меньше времени, чем мотоциклист, а т.к. он еще и медленнее, то они точно не приедут в одно время) Осталось разобрать всего два случая: когда он выехал раньше, или когда мотоциклист выехал раньше.

Показать ответ и решение

Можно рассмотреть четыре случая (они соответствуют тому, что кто-то один из двоих стартовал первым, и кто-то один из двоих сделал остановку).

Но можно заметить, что если остановку делал велосипедист, то не важно, выехал он раньше или позже мотоциклиста, в движении он находился меньше времени, чем мотоциклист, и поэтому в В приедет позже. Значит, остановку делал мотоциклист. Тогда, обозначая через $t$ время движения велосипедиста и через $V$ его скорость, получаем два случая:
а) Если велосипедист выехал раньше, то $Vt= 2V(t− 3),$ откуда $t=6.$ Поэтому время финиша равно $12:00+ 6= 18:00.$
б) Если мотоциклист выехал раньше, то $Vt= 2V(t− 1),$ откуда $t= 2.$ Тогда время финиша равно $13:00+ 2= 15:00.$

Ответ:

$15:00$ или $18:00$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#67534

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: физики, химики и биологи. На каждых двоих биологов приходится 5 человек, считающихся физиками или химиками, а на каждых троих физиков приходится 7 человек, считающихся химиками или биологами. Найдите количество химиков, если 11-классников в школе не более 100.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x,y,z$ — количество учеников в категории: биологии, химики, физики. Тогда по условию задачи получим систему уравнений:

({ 5x= 2(y+z) ( 7z = 3(x+y)

( { 5x − 2y = 2z ( 7z =3x+ 3y

( { 5x− 14z3-+2x= 2z|⋅3 ( 7z y = 3 − x|⋅21

({ 21x= 20z ( 21y = 49z− 20z = 29z

({ 21x= 20z ( 21y = 29z.

Это значит, что минимальные значения могут быть только: $x= 20,y = 29,z =21.$

Ответ:

$29$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31286

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: экономисты, историки и филологи. На каждых двоих филологов приходится 3 человека, считающихся экономистами или историками, а на каждых пятерых экономистов приходится 7 человек, считающихся историками или филологами. Найдите количество историков, если 11-классников в школе не более 100.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введем переменные для количеств экономистов (x), историков (y) и филологов (z), и составим уравнения.

Подсказка 2

Уравнения составлены, но у нас три неизвестные и два уравнения - однозначно найти все не получится. Хочется выразить все переменные через одну, например, через z.

Подсказка 3

Все переменные - целые. Значит, мы можем воспользоваться делимостью! Действительно, если 11z = 24y и 25z = 24x, то z должно делиться на 24. Вспомним условие: школьников всего <= 100. Какие ограничения оно накладывает?

Подсказка 4

Из условия следует, что x + y + z <= 100. Осталось доказать, что при слишком больших z (z >= 48) это условие не будет выполняться.

Показать ответ и решение

Пусть экономистов, историков и филологов соответственно $x$ , $y$ и $z$ , тогда:

{ -z-= 2 { 3z = 2x+ 2y { 11z = 24y x+xy 35 =⇒ =⇒ z+y = 7 5z = 7x− 5y 25z = 24x

Все числа натуральные, потому $z$ кратно 24. Если $z ≥48$ , то $y ≥ 22,x ≥50$ , откуда сумма больше 100, а иначе $z = 24,y =11,x= 25$ .

Ответ:

$11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#47044

Однажды два друга вложили деньги в общее дело: каждый вложил свою сумму, а вместе — $1$ млн руб. За ночь один из них вложил в то же дело дополнительную сумму. Сколько всего денег он вложил в итоге, если его новая доля в общем деле оказалась в $7$ раз больше прежней, тогда как доля другого - в $3$ раза меньше прежней?

Источники: ПВГ-2018, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва, конечно же, надо обозначить что-нибудь. Как можно удобно ввести переменные?

Подсказка 2

Поскольку в задаче в основном фигурирует первый друг, то логично обозначить переменными вложенные им суммы. После этого получится система двух уравнений с двумя неизвестными, решая которую, получаем ответ на задачу!

Показать ответ и решение

Пусть изначально первый вложил $x$ миллионов рублей, а второй $1− x$ миллион рублей. После чего первый вложил ещё $y$ миллионов, тогда получим систему

{ 7x= x+y 1−x 1+1y−x =⇒ 7x+ 1−-x= 1 ⇐⇒ 21x+1 − x =3 ⇐ ⇒ x =0.1 3 = 1+y 3

Из второго уравнения $y =2$ миллиона, тогда всего первый вложил $x+ y = 2.1$ миллионов.

Ответ:

$2 100 000$ рублей

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#38867

Коробка с сахаром имеет форму прямоугольного параллелепипеда. В ней находится 280 кусочков сахара, каждый из которых — кубик размером $1× 1×1$ см. Найдите площадь полной поверхности коробки, если известно, что длина каждой из её сторон меньше $10$ см.

Источники: ПВГ-2017, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас 280 - это объем. То есть перемножение длины, высоты и ширины. Давайте посмотрим, как оно раскладывается!

Подсказка 2!

2) Да, осталось выяснить, почему у нас только один вариант для разбиения множителей на длину, ширину и высоту. (Используем, что они меньше 10)

Показать ответ и решение

Объём коробки равен $280 =23⋅5⋅7$ кубических сантиметров. Из разложения легко видеть, что подойдут стороны $5,7,8$ , для которых площадь равна $2⋅(5⋅7+5 ⋅8+ 7⋅8)= 262$ см $2$ . Докажем, что длины именно такие. Одна из них кратна $5$ , но меньше $10$ , то есть должна быть равна $5$ , аналогично вторая равна $7$ , а третья неизбежно равна $8$ .

Ответ:

$262$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#44157

Для бригады маляров-учеников была запланирована окраска $360$ кв.м. стен. Перед началом работы один из учеников заболел, и вместо него работал мастер, производительность которого в $3$ раза больше производительности каждого из учеников. Поэтому каждый из учеников в действительности покрасил на $6$ кв.м. меньше, чем планировалось. Все ученики и мастер работали одинаковое время. Сколько учеников работало?

Источники: 22 Кубок Колмогорова

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Давайте посмотрим, если всего учеников x, а покрасить надо было 360, то каждый должен был покрасить по 360/x, а покрасил 360/x - 6.

Подсказка 2!

2) Как бы нам записать, сколько покрасил мастер? Так как его производительность была в три раза больше, давайте считать, что добавление мастера это то же самое, что добавить трех учеников вместо одного! Попробуйте в таком случае записать уравнение на то, сколько в итоге было покрашено детьми и мастером!

Показать ответ и решение

Мастер работает в три раза быстрее, поэтому в суммарной производительности его можно считать за троих учеников.

Если всего учеников изначально было $n$ , то каждый планировал покрасить $360- n$ , а по факту покрасил $360 n − 6$ . Мастер красил вместе с ними как три ученика, а ещё один ученик заболел, поэтому суммарно они покрасили $(360 ) (n+ 3− 1)⋅ n − 6 =360$ . Осталось решить полученное уравнение

( 60 ) 120 2 (n+ 2) n-− 1 = 60 ⇐ ⇒ 60+ -n-− 2− n= 60 ⇐ ⇒ n +2n− 120= 0 =⇒ n =10

Изначально было $n =10$ учеников, но так как один заболел, то всего работало $9$ .

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#44156

Два мальчика в течение нескольких часов ходили кругами вокруг здания, оба по часовой стрелке, каждый с постоянной скоростью. Более быстрый проходил один круг за $5$ минут, более медленный — за некоторое целое число минут. При этом время между встречами тоже равнялось некоторому целому числу минут, причём оно было не меньше $12$ . За какое время более медленный мальчик проходил полный круг?

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Воспользуемся частой идеей про задачи на круговое движение - выразим скорость их сближения через разность скоростей. Для этого нам понадобится время встречи, а еще время обхода круга каждым из них. Одно из них мы знаем, оставшиеся два неизвестных можем обозначить за t и t'.

Подсказка 2!

2) Итак, мы получим уравнение S/t = S/5 - S/t'. Заметим, что так как t' - целое, мы могли бы найти все подходящие t'!

Подсказка 3!

3) Для этого нужно сократить на S и получить несколько вариантов для t'. Останется только их разобрать!

Показать ответ и решение

Время между их встречами равно $t≥ 12$ , а время обхода круга для второго $t > 5 1$ . Запишем скорость сближения через разность их скоростей ( $S$ — длина круга)

S S S t-= 5 − t1 =⇒ 5t1 = (t1− 5)⋅t

Заметим, что $Н ОД(t1,t1− 5)∈{1,5}$ , потому $t1− 5∈{1,5,25}$ , чтобы $5t1$ было ему кратно. Если $t1− 5= 1,t1 = 6$ , то имеем $t= 30$ . Иначе $t1 ≥10$ . В этом случае первый хотя бы в два раза быстрее и время между встречами будет не более $10$ минут, поскольку за это время первый пройдёт два круга, а второй не более одного. Отсюда наш ответ единственный возможный.

Ответ:

$6$ минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#34644

На соревнования по лёгкой атлетике ученики школы приехали на автобусе, вмещающем не более 40 человек. Каждый из них участвовал в одном из видов соревнований. При этом $1∕7$ часть учеников завоевали золотые медали, $1∕4$ часть — серебряные и ещё $1∕4$ — бронзовые. На обратном пути медалисты решили собрать деньги и купить по одному торту каждому из спортсменов, оставшемуся без медалей. Сколько тортов им придётся покупать?

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметьте, что информация про автобус говорит нам о том, что человек может быть от 1 до 40... Просто рассмотрите 40 вариантов! Но, конечно же, задача не об этом. Подумайте, как информация про завоеванные медали поможет этот перебор сократить

Подсказка 2

Если нам говорят о том, что 1/n часть учеников что-то там получила, то, выходит, количество учеников мы смогли поделить на n, то есть это количество было кратно n. А условия на кратности уже сильно сокращают варианты для общего количества человек в автобусе!

Показать ответ и решение

Из условия следует, что число учеников должно быть кратно $4$ и $7.$ В силу взаимной простоты этих чисел количество учеников должно быть кратно $28.$ Но раз оно не больше $40,$ то учеников ровно $28.$ Отсюда медали завоевали $28- 28- 7 +2⋅ 4 =18.$ Соответственно без медалей остались $10$ человек, столько и надо купить тортов.

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#68088

В контейнере находятся изделия нескольких типов из пяти возможных: весом 1 кг, 2 кг, 3 кг, 5 кг и 10 кг. Суммарный вес изделий в контейнере равен 100 кг. Известно, что если выбрать из контейнера по одному изделию каждого из имеющихся в нём типов, то их суммарный вес будет равен 15 кг. Количество самых тяжёлых из находящихся в контейнере изделий на 5 больше, чем количество всех остальных изделий в нём. Определите, какие типы изделий и в каком количестве находятся в контейнере.

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, давайте подумаем про второе условие, а именно, что суммарный вес различных изделий равен 15! А какое условие должно выполняться, чтобы при сложении некоторых из чисел 1, 2, 3, 5, 10 получить 15?

Подсказка 2

Верно, 10 точно есть в нашей сумме! Иначе сумма будет не больше чем 11. Если одно из чисел равно 10, то чему могут равняться другие в нашем наборе?

Подсказка 3

Да, это либо число 5, либо числа 2 и 3! Но может ли выполняться первое условие, что сумма всех наших чисел равна 100, если числа в наборе только 10 и 5? А если 2, 3, и 10?

Подсказка 4

Поскольку десяток на 5 больше, чем других чисел в наборе, то можно явно составить уравнения. Для первого случая: 5x + 10(x+5) = 100; для второго случая: 2x + 3y + 10(x+y+5)=100. Могут ли оба случая выполняться?

Подсказка 5

Первый случай выполняться не может в силу натуральности x, а второй случай может выполняться, нужно лишь найти нужные x и y, а также показать, что других нет!

Показать ответ и решение

Набор по одному изделию каждого вида общим весом $15$ кг можно составить из этих предметов только двумя способами:

10 кг и 5 кг. Пусть $x$ — количество изделий массой 5 кг, по условию самых тяжелых изделий (массой 10 кг) — на 5 штук больше, т.е. $x +5$ . Получим:
$5x+ 10(x +5)= 100$
$15x= 50$ — не имеет целочисленных решений. Значит этот случай невозможен.
10 кг, 2 кг и 3 кг. Пусть $x$ — количество изделий массой 2 кг, $y$ — количество изделий массой 3 кг. Тогда по условию $x +y+ 5$ — количество изделий массой 10 кг. Получим:
$10(x+y +5)+ 2x +3y =100$
$12x+ 13y =50$
$13y = 50− 12x$ справа разность двух четных чисел, следовательно $y$ может быть только четным и натуральным.
При $y = 2$ имеем:
$26= 50− 12x =⇒ x= 2$ (изделий по 2 кг)
$x +y+ 5= 9$ (изделий по 10 кг).
При $y = 4,6,8$ и т.д. получается $13y >50$ , т.е. решение $y = 2$ — единственное.

Ответ:

$2$ изделия по $2$ кг, $2$ изделия по $3$ кг, $9$ изделий по $10$ кг

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#44158

Для перевозки $60$ тонн песка автомобилю потребовалось сделать некоторое количество рейсов, а для перевозки $120$ тонн песка оказалось необходимо на $5$ рейсов больше. На всех рейсах, кроме, может быть, последнего в каждой из этих двух перевозок, автомобиль загружается полностью. Определите все возможные значения грузоподъёмности этого автомобиля (то есть наибольшей массы груза, которую автомобиль может перевезти за один раз).

Источники: ПВГ-2015, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Начнем составлять уравнение! Пусть у нас грузоподъемность это t, а рейсов в первом случае (перевозка 60 тонн) будет k. Запишите тогда, что мы исходя из этого можем понять про t и k?

Подсказка 2!

2) Вот что: t(k-1) < 60 <= t(k), так как у нас не хватило k-1 рейса, а k рейсов хватило! Попробуйте теперь записать аналогичное условие для второго случая перевозки 120 тонн.

Подсказка 3!

3) Теперь давайте разделим оба уравнения на t! И попробуем понять, каким может быть в таком случае).

Показать ответ и решение

Пусть грузоподъёмность равна $t$ (тонн/рейсов), а для перевозки $60$ тонн понадобилось сделать $k$ рейсов, тогда в тоннах имеем

{ t(k − 1)< 60≤ tk { 2(k− 1) <2⋅ 60 ≤2k ⇐⇒ 120 t t(k +4)< 120 ≤t(k+5) k +4 < t ≤ k+ 5

Отсюда также выполнены неравенства

{ 2(k− 1)< 120≤ k+5 { 2(k− 1)<k +5 k+ 4< 120t≤ 2k =⇒ k +4 <2k ⇐ ⇒ 4 <k <7 t

При $k= 5$

{ 4t<60≤ 5t [ 40) 9t<120≤ 10t ⇐ ⇒ t∈ 12, 3

При $k= 6$

{ [ ) 5t< 60 ≤6t ⇐ ⇒ t∈ 120,12 10t<120≤ 11t 11

Ответ:

$[120;40) 11 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#44155

Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу выехали одновременно два автобуса, которые встретились $2$ февраля в $12:00.$ Найдите дату и время начала движения автобусов, если их скорости на всём пути постоянные, и один из них прибыл $3$ февраля в $04:00$ в пункт $B$ , а другой прибыл $3$ февраля в $13 :00$ в пункт $A$ .

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Задачи с датами и временем часто пытаются запутать, давайте попробуем достать из условия то, что мы знаем. После встречи один из автобусов ехал 16 часов, а второй - 25. А время, которое они ехали до встречи мы не знаем, но оно одинаковое! Попробуйте составить уравнение.

Подсказка 2!

2) Верно, мы можем сказать, что 16/t = t/25. (так как каждый из автобусов либо от А до встречи либо от В до стречи проехал за t, а оставшуюся часть за 16 или 25).

Показать ответ и решение

Первый после встречи ехал ещё $16$ часов, а второй — $25$ . Пусть до встречи они ехали $t$ часов, тогда $25= -t t 16$ , как отношение их скоростей (для каждого из двух участков, время езды каждого по которым мы знаем), отсюда $t= 20$ часам и выехали автобусы $1$ февраля в $16:00.$

Ответ:

$1$ февраля, $16:00$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#48588

Два брата родились в один день, но в разные годы. Оказалось, что в $2014$ году каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Определите год рождения каждого из братьев.

Источники: ПВГ-2014, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие два основных случая стоит рассмотреть в этой задаче? Как можно свести ее к перебору, зная что-то про возраст на 2014 год? Как можно оценить возраст, если он равен сумме цифр?

Подсказка 2

Да, можно рассмотреть два случая-если человек родился в 20 веке, и если родился в 21. Что осталось неизвестным? Только последние две цифры рождения. Составьте и решите уравнение, и задача будет решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если какой-то из братьев родился в $---- 19xy$ году, то по условию получаем уравнение $1900+ 10x+ y+ (1 +9+ x+ y)= 2014⇔ 11x+ 2y = 104$ . Поскольку $x$ и $y−$ цифры, то решение этого уравнения единственное: $x= 8,y =8$ .

Если же кто-то из братьев родился в $---- 20xy$ году, то аналогично получаем уравнение $11x +2y = 12$ , откуда $x =0,y = 6$ .

Второе решение.

Начнём с $2000,...2013$ годов. Сопоставим год и сумму цифр вручную


Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013

Сумма цифр	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	3	4	5	6

Возраст к 2014	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

И подходит только $2006$ год рождения. Рассмотрим оставшиеся

Пусть брат родился в $197∗$ или ранее в $20$ -м веке (рассматривать $19$ не имеет смысла, поскольку сумма цифр точно не больше $36$ ). Тогда сумма цифр не больше $26$ , хотя возраст к $2014$ будет больше $30$ .
Брат родился в $198∗$ . Тогда сумма цифр возрастает от $18$ до $27$ , а возраст к $2014$ убывает от $34$ до $25$ . Равенство будет в единственном $1988$ .
Брат родился в $199∗$ год. Аналогично сумма цифр растёт от $19$ до $28$ , а возраст к $2014$ убывает от $24$ до $15$ , в силу разной чётности общих точек не будет.

У нас получилось только два подходящих под описание года, значит, в них братья и родились.

Ответ:

$1988,2006$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#44154

Общий вес рюкзаков двух туристов за время похода уменьшился на $121% 3$ . При этом вес рюкзака первого туриста уменьшился на $15%$ , а вес рюкзака второго — на $10%$ . Известно также, что в конце похода рюкзак второго туриста весил на 1,2 кг больше, чем рюкзак первого туриста в начале похода. Определите первоначальный вес рюкзаков каждого из туристов.

Источники: ПВГ-2014, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас очень много условий, завязанных на весах двух рюкзаков, давайте составим с ними уравнения! Обозначим веса рюкзаков за х и у...

Подсказка 2!

2) Запишем веса рюкзаков в конце похода? Это 85x/100 и 90y/100. А вот теперь попробуйте записать первое условие о том, что их суммарный вес уменьшился!

Подсказка 3!

3) Да, мы получим, что суммарный вес стал (x+y)*(300-37)/300! Таким образом мы с двух сторон подсчитали, как изменился вес двух рюкзаков суммарный. Осталось только дорешать!

Показать ответ и решение

Пусть изначально веса рюкзаков были $x,y$ для первого и второго соответственно. Тогда после уменьшения они стали $x⋅0.85,y ⋅0.9$ , откуда выполнено

300− 37 85 90 8 7 7 (x+ y)⋅-300--= 100x+ 100y ⇐⇒ x⋅300 = y⋅300 ⇐⇒ 8x= 7y ⇐ ⇒ x = 8y

Также мы знаем, что

9 6 6 7 6 10y = 5 + x= 5 + 8y ⇐ ⇒ y = 5 ⋅40= 48,x= 42

Ответ:

$42,48$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#47041

Для детского сада закупили наборы конфет трех разных типов, потратив $2200$ рублей. Первый набор стоит $50$ рублей и содержит $25$ конфет. Второй набор стоит $180$ рублей и содержит $95$ конфет, третий набор стоит $150$ рублей и содержит $80$ конфет. Сколько каких наборов купили, если общее количество конфет в них максимально?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача на максимизацию суммы, поэтому первое, что хочется сделать - как-то ее записать) Составим систему уравнению по количеству конфет и по тому, что нам нужно максимизировать

Подсказка 2

Немного преобразований и приходим к тому, что 5a + 18b + 15c = 220, 5a + 19b + 15c мы хотим максимизировать) Посмотрев внимательно на два уравнения, можем заметить, что максимизировать достаточно лишь...что? Так же в условии следует попробовать найти какие-то варианты "замены" подарков, чтобы вручную как-то увеличивать количество конфет при той же цене.

Подсказка 3

Из подсказки 2 замечаем, что достаточно максимизировать b+c, а так же, что 3 подарка первого типа выгодно менять на подарок третьего типа. Значит, у нас нет трех подарков вида a. Остается лишь рассмотреть три оставшихся случая на a!

Показать ответ и решение

Пусть взяли $a,b,c$ наборов конфет каждого вида соответственно. Запишем уравнение на общую сумму денег и условие про максимальное количество конфет:

{ 50a +180b+150b= 2200 { 5a+ 18b+15c= 220 ⇐⇒ 25a +95b+ 80c→ max 5a+ 19b+16c→ max

Второе эквивалентно $b+c → max.$ Заметим, что три подарка первого вида можно за ту же стоимость заметить на один подарок третьего вида, где конфет будет больше, потому $a< 3.$ Рассмотрим случаи

$a =2.$ Получаем уравнение $18b+15c= 210 ⇐⇒ 6b+ 5c =70,$ откуда $b$ кратно пяти, то есть $b∈{0,5,10}.$ Имеем решения $(0,14),(5,8),(10,2).$ Максимум достигается на первом, потому получаем набор $(2,0,14).$
$a =1.$ Имеем уравнение $18b+ 15c=215,$ у которого нет решений в целых числах.
$a =0.$ Аналогично нет решений для $18b+ 15c=220.$

Ответ:

$(2,0,14)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#83955

Бабушка читает незнакомую ей книгу из 970 страниц. Незнакомый текст она читает со скоростью 10 страниц в час, а прочитанный ранее — со скоростью 20 страниц в час. Пока книга не прочитана, бабушка читает её ежедневно по 5 часов с того места, где лежит закладка, и оставляет закладку там, где закончила чтение. В какой день недели бабушка прочтёт книгу до конца, если первые страницы она прочла в понедельник, а каждую ночь её внук переносит закладку на 20 страниц назад?

Источники: ПВГ - 2010, Омск, 10-11 классы, №1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько времени каждый день бабушка тратит на чтение незнакомых страниц? (Понятно, что если мы хотим получить число всех страниц в книге, важны только незнакомые страницы)

Подсказка 2

Каждый день, кроме первого, час тратится на чтение знакомого текста, а 4 часа — на чтение незнакомого.

Подсказка 3

Осталось ввести переменную — количество дней — и с помощью неё записать уравнение, определяющее общее число страниц в книге (не забывая про первый день).

Показать ответ и решение

В первый бабушка прочитала $5⋅10= 50$ страниц. Каждый следующий день бабушка тратила $20 :20 =1$ час на чтение знакомого текста. Значит, у нее остается $4$ часа на новый текст.

Пусть $n$ — число дней, которые бабушка читала книгу. Тогда за все дни, кроме первого, она читает $4⋅10 ⋅(n− 1)= 40(n− 1)$ страниц. Получаем уравнение

50+ 40(n− 1)=970

Таким образом, $n= 24.$ Так как бабушка начала читать в понедельник, то закончила она в среду, так как $n≡ 3 (mod 7).$

Ответ: в среду

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#37481

После вырубки нескольких деревьев в парке оказалось, что число оставшихся деревьев равно числу процентов, на которое число деревьев в парке уменьшилось за время вырубки. Какое наименьшее число деревьев могло остаться в парке?

Источники: ПВГ-2010, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) У нас есть несколько величин, которые друг с другом связаны, что-то такое было, может быть, нужно использовать уравнение? Обозначим процент вырубленных деревьев за х, а изначально пусть их было n. Тогда сколько осталось вырубленных деревьев?

Подсказка 2!

2) Так-так-так, уравнение нашли, осталось только решить - половина задачи сделана. Домножим уравнение на 100, чтобы было легче, а теперь посмотрим, 100х должно делиться на 100-х. Как бы использовать это, чтобы получить оценку на х...

Подсказка 3!

3) Верно! Нужно написать выражение, чтобы х сократился. Например, 100(100-х) делится на 100х. Тогда мы знаем, что еще делится на х. Попробуем вычислить отсюда минимальный х, а там и до n недалеко..

Показать ответ и решение

Пусть вырублено $x%$ деревьев, а изначально их было $n$ . Тогда осталось $n ⋅(1− -x-)= x 100$ деревьев, то есть $n⋅(100− x)= 100x$ . Левая часть делится на $100− x$ , значит, правая часть $100x$ делится на $100− x$ , следовательно, сумма правой части и $100$ левых частей, то есть $100⋅(100− x)+100x= 10000$ тоже делится на $100− x$ . Итак, $4 4 10000= 2 ⋅5$ кратно $100− x$ . Легко видеть, что минимальное $x >0$ равно $20$ , поскольку числа из множества ${81,...99}$ не представимы в виде $k m 2 5$ . Подставим его в уравнение $n ⋅80= 100⋅20 =⇒ n =25$ .

Ответ:

$20$

Предыдущий раздел

Следующий раздел