Заметим, что треугольники здесь будут только прямоугольные с углом . Кроме того, их гипотенуза лежит на гипотенузе изначального треугольника, поскольку все остальные отрезки проходят только по линиям сетки. Заметим также, что положением гипотенузы задаётся весь треугольник, потому достаточно посчитать количество различных отрезков с концами в целых точках на отрезке длины (так получится, если уменьшить всю гипотенузу в раз). Длины отрезков будет , длины — ,.. длины — . Итого имеем различных треугольников.

Из условия получаем, что чёрных кусочков граничат суммарно с белыми, соответственно белых кусочков граничат с чёрными. То есть число границ между белыми и чёрными кусочками равно с одной стороны а с другой стороны Отсюда находим, что

Самым старшим может быть или Борис, или Виктор. Но Виктор не мог занять второе место, так как он уступил и Антону, и Григорию. Поэтому Борис — второй. Значит, Григорий — первый, Антон — третий, а Виктор четвертый.

Расставим книги в ряд способами, так как все они различны. Чтобы распределить книги по трем полкам, поставим две перегородки между 7 шарами. Кол-во способов расставить перегородки: , итого

Выдадим каждому пирату по монет, а оставшиеся монет выложим в ряд. Чтобы разделить оставшиеся монеты между пиратами, достаточно расположить на местах между монетами две перегородки. Тем самым, Джо получит монеты левее первой перегородки, Билл монеты между двумя перегородками, а Том - монеты правее второй перегородки. Число способов расположить эти перегородки: .

Выбор каждого вида игроков осуществляется независимо, поэтому количества способов нужно просто перемножить. Покажем, что число способов выбрать человек из подходящих на эту роль равно

Действительно, сначала рассмотрим все перестановки из человек (которых ), будем брать в команду первых из них. Тогда нам не важен порядок этих человек, то есть нужно поделить на , а также не важен порядок следующих за ними человек, то есть нужно поделить ещё на . Что здесь означает не важен порядок? Если мы его изменим, то выбранная нами команда не поменяется.

В итоге мы показали, что способов Используя эту формулу для всех типов игроков и перемножая результаты, получаем

Заметим, что на математике, физике и русском было и «учеников» (прогульщиков) соответственно. Суммарно получается но каждый «ученик» здесь посчитан дважды (потому что каждый из них посетил два предмета), то есть на самом деле их А всего ребят в классе тогда Получается, что на русский язык не пришли человек, зато они присутствовали и на физике, и на математике. Добавляя настоящих учеников (которым удалось не прогулять ни один предмет), получаем ответ.

Заметим, что такая укладка карандашей соответствует таблице куда мы ставим числа от до так, чтобы во всех столбцах и строках числа шли по возрастанию (таблица — это коробка, число — это номер карандаша по возрастанию длины: — самый короткий, — самый длинный). Данная формулировка задачи является одним из определений чисел Каталана и очень легко сопоставляется правильной скобочной последовательности: число - номер скобки, положение числа (в верхней строке или в нижней) - открытая это скобка или закрытая, соответственно .