Тождественные преобразования и функции на ПВГ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования и функции на ПВГ

Тема ПВГ (Покори Воробьёвы Горы)

Тождественные преобразования и функции на ПВГ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела пвг (покори воробьёвы горы)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85549

Найдите $f(2024)$ , если

f(x)=|2x− 1|− |2x− 3|+6 при x∈ [0;2]

и, кроме того, при всех целых значениях $x$ выполняются неравенства

f(x+ 3)≤ f(x)+ 6 и f(x+ 2)≥f(x)+ 4

Источники: ПВГ - 2024, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем как-то связать два неравенства из условия. Какие аргументы для этого можно подставить?

Подсказка 2

Нужно подставить такое аргументы, чтобы числа в неравенствах могли получаться как с помощью +4, так и с помощью +6…

Подсказка 3

Попробуем поработать с f(x), f(x+3), f(x+6), а также с f(x+2), f(x+4). К каким неравенствам можно прийти? Какой вывод из этого сделать? Пробуем прийти к определенности, то есть к равенству!

Подсказка 4

f(x+6) <= f(x+3) + 6 <= f(x) + 12. Аналогично попробуем использовать и второе условие, к каким выводам придем?

Подсказка 5

f(x+3) = f(x) + 6, f(x+2) = f(x) + 4, f(x+1)=f(x)+2. А теперь попробуем задать функцию! ;)

Показать ответ и решение

Отметим, что $f(0)= 4,f(1)= 6,f(2)= 8$ . По условию, с одной стороны,

f(x+ 6)≤f(x+ 3)+6 ≤f(x)+12,

а, с другой стороны,

f(x+ 6)≥f(x+ 4)+4≥ f(x+ 2)+ 8≥ f(x)+ 12

Поэтому $f(x+ 6)=f(x)+ 12$ и, более того, все неравенства выше обращаются в равенства.

Поэтому $f(x+ 3)=f(x)+ 6,f(x+ 2)= f(x)+4$ и $f(x+ 1)= f(x)+2$ .

Таким образом, искомая функция - это функция $f(x)= 4+ 2x$ при целых значениях $x$ .

Кроме этого, известны значения функции на отрезке $[0;2]$ .

Значит, $f(2024)=4+ 2024⋅2 =4052$ .

Ответ: 4052

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48745

Что больше: число $3∘5√13-+18− 3∘5-√13−-18-$ или наибольший корень уравнения $x2+$ $2020x− 6069 =0$ ?

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем просто найти второе число! Например, по теореме Виета можно найти наибольший корень этого квадратного уравнения.

Подсказка 2

Давайте обозначим первый страшный корень за а, а второй за б. Тогда заметим, что мы можем найти аб и а³-б³! А нам как раз надо найти а-б, а мы можем попробовать найти (а-б)³!

Подсказка 3

Если обозначить а-б за х, то мы можем получить кубическое уравнение, которое у вас получится решить и сравнить два числа!

Показать ответ и решение

Наибольший корень уравнения $x2+ 2020x− 6069= 0$ равен $3$ ( $− 2023+3 =− 2020,−2023⋅3= −6069 =⇒$ по обратной теореме Виета числа $3$ и $− 2023$ являются корнями уравнения $2 x +2020x − 6069= 0).$

Обозначим $∘3-√------ 3∘ -√------ a = 5 13+ 18,b= 5 13− 18.$

Отметим, что $3 3 3∘--√--2----2 3√------- a − b = 18− (−18)=36,a⋅b= (5 13) − 18 = 325− 324 =1.$ Тогда имеем:

(a− b)3 = a3− 3a2b+ 3ab2− b3 = (a3− b3)− 3ab(a− b)=36− 3(a − b)

Получается, что число $a− b$ является одним из корней уравнения

3 t = 36− 3t

которое равносильно

t3− 3t2+ 3t2− 9t+12t− 36 =0 ⇐ ⇒ (t− 3)(t2+ 3t+12)= 0

Так как $t2+3t+ 12= 0$ не имеет действительных корней, то единственным корнем уравнения является $t= 3.$

В итоге $a− b=3.$

Ответ:

ничего, эти числа равны

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#65353

Найдите все возможные значения величины

-----f(t)−-f(0)----- T = f (t2)+f(t)− 2f(0)+ 2,

если $f(2x+ y)− f(x+ y)= 2x$ для всех действительных значений $x$ и $y.$

Источники: ПВГ-2019, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вначале забудем про T и попробуем решить фуру. Тут есть очень удобная подстановка, которая позволяет избавиться от одной из переменных. Какая?

Подсказка 2

Можно подставить y=-x, и тогда сразу находим функцию f(x)=2x+C.

Подсказка 3

Теперь подставляем в T и получаем выражение, значения которого можно исследовать с помощью производной.

Показать ответ и решение

Если подставить в функциональное равенство $y =− x$ , мы получим, что $f(x)− f(0)= 2x$ . Следовательно, числитель $T$ равен $2t.$

Если подставить $2 2 x= t,y = −t$ , мы получим, что $2 2 f(t )− f(0)=2t$ . Следовательно, знаменатель $T$ равен $2 2t+ 2t+2.$

Таким образом, $--t-- T = t2+t+1.$

С помощью производной или неравенства о средних можно выяснить, что:

при $1 --1-- 1 t> 0 1+ t+ t ≥ 3 =⇒ 0< T = 1+t+1t ≤ 3;$

при $t= 0 T =0;$

при $1 1 t< 0 1+ t+ t ≤ −1 =⇒ − 1≤ T = 1+t+-1t < 0.$

Ответ:

$[−1;1] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75156

Решите уравнение

-----1------- ------1------ --------1-------- √x+-2+ √x+-3 + √x-+3-+√x-+4-+...+ √x+-2017+ √x-+2018 = 42

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, чего хочется при виде такого выражения, это как минимум избавиться от таких знаменателей. Каким самим простым приёмом это можно сделать?

Подсказка 2

Понятно, что от корней в знаменателе ничего хорошего не будет. То есть нужно, чтобы оба корня возвели в квадрат. Какой способ "легально" позволяет это сделать?

Подсказка 3

Да, конечно, нужно умножить на сопряженное число числитель и знаменатель. Тогда в знаменателе вовсе получится единица, а далее вся сумма хорошо сократится, и останется уравнение для корней, которое уже несложно решить. Можно два раза возвести в квадрат, либо же проделать снова умножение на сопряженное и воспользоваться монотонностью. Победа!

Показать ответ и решение

Избавимся от иррациональности в знаменателе каждого из слагаемых, домножив каждое из них на соответственное сопряжённое. Получим:

√x+-3− √x+-2 √x-+4− √x-+3 √x-+-2018− √x-+2017 (x-+3)−-(x+-2) + (x+-4)−-(x+-3)-+...+-(x+-2018)−-(x+2017)

Заметим, что в знаменателе в каждом слагаемом стоит $1,$ а большинство слагаемых в числителях входят с чередующимися знаками плюс и минус. Тогда после приведения подобных слагаемых в левой части наше уравнение превратится в:

√x-+-2018− √x+-2= 42

Снова домножим на сопряжённое к левой части, получим:

√------- √ ---- (x +2018)− (x+ 2)=2016= 42( x +2018+ x+ 2)

√------- √---- 48= x +2018+ x+ 2

В правой части находится монотонная функция, а значит она пересекает горизонтальную прямую $y = 48$ не более, чем в одной точке, заметим, что $x =7$ подходит, а, значит, и является единственным решением.

Ответ:

$7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#47065

Для функции $f(x) =− -x2-- 1+ x2$ найдите сумму

( -1-) (-1--) (1) f 2018 + f 2017 + ...+ f 2 + f(1)+ f(2)+ ...+f(2017)+ f(2018).

Источники: ПВГ-2018, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Попробуем сгруппировать слагаемые, каким образом это можно было бы сделать?

Подсказка 2!

Попробуйте сгруппировать f(x) + f(1/x) и посмотреть, что получится в их сумме!

Показать ответ и решение

Пусть $n ∈ℕ$ , тогда

( 1) n2 -12 n2 1 f(n)+ f n = − 1+n2-− 1n+-1-= −n2+-1 − n2+-1 =−1 n2

Отсюда вся сумма равна

S = (−1)⋅2017+ f(1)= − 4035 2

Ответ:

$− 4035 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#58562

Найдите значение выражения

( --3-- --2-- --1--) --y2--- 2x− y − 2x+ y − 2x− 5y :4x2− y2

при

x= 4,y = 7 3 3

Источники: ПВГ-2016, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не теряемся и приводим к общему знаменателю, объединяем нужное, сокращаем ненужное, а затем в уже красивое выражение подставляем значения!

Показать ответ и решение

Приведём к общему знаменателю в скобках, получим

4x2-− y2-3(2x+-y)(2x− 5y)−-2(2x−-y)(2x−-5y)−-(2x-+y)(2x−-y) y2 ⋅ (4x2− y2)(2x − 5y) =

2 2 2 2 2 2 = 12x-−-24xy− 15y-−28x-+-24xy− 10y-−-4x-+y-=− --24---= −24= 8 y (2x− 5y) 2x− 5y −9 3

Ответ:

$8 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#48743

Сравните $∘|8√3−-16|− ∘8√3-+16$ и наименьший корень уравнения $4x2 +21x+ 17 =0.$

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А давайте найдём корни квадратного уравнения! Меньший из них равен -17/4. Попробуем найти, чему равно выражение слева!

Подсказка 2

Так, очень много корней… А давайте посмотрим на квадрат разности двух корней, что про него можно сказать?

Подсказка 3

Да, квадрат разности корней равен 16, тогда сама разность по модулю равна 4. А чему именно она равна?

Подсказка 4

Поскольку первый корень меньше второго, то само выражение отрицательно! Поэтому оно равно -4. Осталось только сравнить!

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет корни $− 1$ и $− 17 4$ (сумма этих двух чисел равна $− 21 4$ , а произведение $17 4$ , так что это корни по обратной теореме Виета).

Так как $8⋅8⋅3< 16⋅16(3< 2⋅2),$ то $√ - √- |8 3− 16|= 16 − 8 3.$ Это число меньше, чем $√- 16+ 8 3,$ поэтому $∘ -√------ ∘ -√----- √-- c= |8 3 − 16|− 8 3+ 16= − c2.$

Посчитаем квадрат разности корней

√- √- ∘ -----√-------√-- √ ------- c2 =16− 8 3+ 8 3+ 16− 2 (16 − 8 3)(16+ 8 3)= 32− 2 256− 192= 16

В итоге сама разность корней $c =−4$ и она больше, чем наименьший корень уравнения $17 − 4-$ .

Ответ:

$∘ |8√3-− 16|− ∘8-√3+-16$ больше, чем наименьший корень уравнения $4x2+ 21x +17= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#68636

Найдите наименьшее значение выражения

( 1 1)2 (x y) x + y − 3⋅ y + x + (x+ y)2

при условии, что

1+ 1 =3. x y

Источники: ПВГ-2013 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Согласитесь, с дробями такого вида работать не очень удобно, да и вообще не особо понятно, что тут делать. Самый первый и очевидный шаг это привести всё к общему знаменателю.

Подсказка 2

Если всё правильно привести к общему знаменателю, то из условия мы можем найти, что x+y = 3xy. Что теперь хочется сделать с этим равенством?

Подсказка 3

Подставим в наше исследуемое выражение 3xy вместо x+y. Теперь мы получили многочлен, который зависит от переменной xy. Исследуйте его на минимальное значение и получите возможный ответ. Осталось проверить, что такие неизвестные-минимизаторы удовлетворяют заданному условию

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение: $(x+y)2− 3⋅ (x+y)2−2xy+ (x+y)2 xy xy$ .

Из условия следует, что $x+ y = 3xy$ , подставляя, получим

(3xy)2 (3xy)2− 2xy -xy- − 3⋅----xy----+ (3xy)2 =9− 3⋅(9xy − 2)+ 9(xy)2 =9 ⋅(xy)2 − 27xy+ 15

Это квадратный трехчлен относительно $xy$ , принимает минимальное значение $− 5,25$ при $xy = 32$ . Можно показать, что такие $x,y$ существуют, решив соответствующую систему уравнений:

{ { 1x + 1y = 3 x+yx−y3xy = 0 xy = 32 ⇐⇒ xy = 32 ⇐⇒

⌊ { √-- { | x= 9+4√57 ⇐⇒ x+ y = 92 ⇐ ⇒ || { y = 9−4√57 xy = 32 |⌈ x= 9−4√57 y = 9+457

Ответ: -5,25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел