Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написано 2021 число. Оказалось, что сумма любых двух написанных на доске чисел также написана на доске. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может быть написано?
Упорядочим числа по возрастанию
также написано на доске, поэтому
тоже написано на доске, поэтому
Таких чисел всего 2019.
Пример набора из 2021 чисел, где 2019 нулей, а сумма любых двух также написана на доске:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В классе прошло соревнование по перетягиванию каната, в результате все оказались занесены в список по убыванию силы. Максим Олегович задумался: верно ли, что любые трое перетянут любых двоих. За какое наименьшее число перетягиваний он сможет это установить?
Выберем трех самых слабых детей и двух самых сильных детей. Если три слабых проиграли двум сильным, то наше предположение неверно. Если же три слабых победили, то и любые три ребенка победят двух самых сильных. Тогда и любые три ребенка победят любых двух.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На острове живут 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. При встрече два хамелеона разного цвета одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться, что через некоторое время все хамелеоны станут одного цвета?
Предположим, что может, то есть распределение по цветам будет таким в некотором порядке:
Тогда будем следить за разностью между количеством серых и количеством бурых хамелеонов. Изначально она равна -2, то есть не кратна 3, а в конце равна 0, 45 или то есть кратна 3.
Заметим, что за каждую операцию разность либо не меняется (если встретились серый и бурый), либо увеличивается на 3 (если встретились бурый и малиновый), либо уменьшается на 3 (если встретились серый и малиновый). Тогда остаток при делении на 3 нашей разности не меняется и не может стать нулем.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Гарри Поттер дрессирует шоколадную лягушку. Он заставляет прыгать ее вдоль числовой прямой. Первый прыжок лягушка совершает на 1 дециметр, следующий — на 2 дециметра, третий — на 3 дециметра и так далее, 101-й прыжок — на 101 дециметр. При этом прыгать лягушка может в любую из двух сторон. Может ли в итоге лягушка оказаться в той же точке, в которой она начинала путешествие?
Отметим, что за каждые два последовательных прыжка лягушка смещается на нечетное число дециметров.
Разобьем прыжки лягушки на пары: первый и второй, третий и четвертый и так далее. Последний прыжок на 101 дециметр оставим без пары. Тогда мы получим 50 пар прыжков и за каждую пару лягушка смещается на нечетное число дециметр.
Тогда за 50 пар, то есть за четное число пар, лягушка сместится на четное число дециметров. Последним же прыжком лягушка прыгает на нечетное число дециметров, значит, в сумме с предыдущими прыжками лягушка сместится на нечетное число дециметров.
Таким образом, от начального положения лягушка смещается на нечетное число дециметров. Если бы она могла вернуться в начальную точку, то сместилась на 0 дециметров, и это число четное. Значит, лягушка не может оказаться в той же точке, в которой она начала путешествие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Гарри Поттер отложил одну шоколадную лягушку для следующей задачи, а остальные 24 лягушки собирается съесть. Гермиона, узнав намерения Гарри, запретила тому просто так есть лягушки и дала задание написать несколько сочинений по зельеварению и трансфигурации. За каждое написанное сочинение по трансфигурации Гарри съедает одну лягушку, а за сочинение по зельеварению — целых три лягушки. Через некоторое время он сообщил Гермионе, что написал 11 сочинений и съел всех лягушек. Может ли Гермиона верить Гарри?
За одно написанное сочинение Гарри съедает нечетное число лягушек. Поэтому чтобы посчитать, сколько всего лягушек съест Гарри за 11 сочинений, нужно сложить 11 нечетных чисел. Их сумма будет нечетна, так как это 5 пар нечетных чисел, дающих в сумме четное число, и еще одно нечетное число без пары. Но число 24 четное, поэтому Гарри не мог съесть в точности 24 лягушки за 11 написанных сочинений.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Гарри, Рон и Гермиона учили новые заклинания. Перед этим они купили шоколадных лягушек и договорились, что тот, кто первым учится заклинанию, получает 5 лягушек, второй — 3 лягушки, а третий — две лягушки. После некоторого числа выученных ребятами заклинаний оказалось, что у всех ребят по 25 лягушек, при этом никто не учил заклинания одновременно. Докажите, что ребята ошиблись при выдаче лягушек.
За одно разученное заклинание ребята получают лягушек. Поэтому общее число лягушек, которые они получат, должно делиться на 10. Но в итоге оказалось, что у ребят лягушек, а это число не делится на 10. Значит, при выдаче лягушек они ошиблись.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждый из учеников класса в течение дня один раз посидел в компьютерном классе. Известно, что там каждый встретился с каждым. Докажите, что в некоторый момент все ученики были в компьютерном классе.
Рассмотрим ученика , который ушел раньше всех, и ученика , который пришел позже всех, они должны были встретиться, значит, любой другой ученик присутствовал все время между приходом и уходом . Выбрав произвольный момент на этом временном промежутке, получаем требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Шахматная доска разбита на домино. Докажите, что какая-то пара домино образует квадратик
Рассмотрим самую правую верхнюю клетку. Не умаляя общности, скажем, что она принадлежит горизонтальной доминошке. Тогда под этой клеткой должна быть обязательно вертикальная доминошка (иначе мы нашли квадратик ). Следовательно, правее этой доминошки стоит обязательно горизонтальная (как на рисунке). Продолжая рассуждать дальше, получаем такую ”лесенку”, в конце которой обязательно найдется квадратик .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Круг разделен на 6 секторов, в которых по часовой стрелке стоят числа 1, 0, 1, 0, 0, 0. Разрешается прибавлять по единице к любым числам, стоящим в двух соседних секторах. Можно ли сделать все числа равными?
Занумеруем сектора числами от 1 до 6. Допустим, что единицы стоят в первом и третьем секторах, при этом общность решения не теряется.
Сумма чисел, стоящих в нечетных секторах, вначале равна 2, а в четных секторах равна 0. Так как мы добавляем по единице одновременно в сектора с четным и нечетным номерами, то разность между этими суммами по-прежнему будет равна 2, и, следовательно, числа нельзя сделать равными.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Гермиона выучила еще несколько заклинаний, и теперь у нее целых 64 шоколадные лягушки. При этом одна из них сделана из белого шоколада, а остальные 63 — из черного. Гермиона рассадила всех лягушек в клетки шахматной доски по одной лягушке в каждую клетку. Выбирая строку или столбец доски и произнося заклинание «Шоколадус перекратус», Гермиона перекрашивает всех белых лягушек этой линии в черный цвет, а всех черных — в белый. Может ли Гермиона, произнося заклинание несколько раз, сделать все 64 лягушки черными?
Докажем, что количество белых лягушек всегда нечетно. Рассмотрим ход Гермионы, пусть она указала на линию, в которой было четное число белых лягушек. Тогда черных лягушек в этой линии также было четное число, так как в сумме белых и черных лягушек там . Поэтому после перекрашивания белых лягушек снова станет четное число, значит, четность количества белых лягушек на всей доске не изменится. Аналогично если Гермиона указывает на линию, в которой было нечетное число белых лягушек, то и черных лягушек в этой линии нечетное число. Значит, после перекрашивания белых лягушек в этой линии останется нечетное количество, поэтому и на всей доске четность количества белых лягушек не изменится.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Как вы могли заметить, у Гарри, Рона и Гермионы на троих осталась 51 шоколадная лягушка. Лягушки поделились на три кучи: в первой куче 6 лягушек, во второй — 15 лягушек, а в третьей — 30 лягушек. Друзья могут отдавать лягушкам следующие приказы.
1) Лягушкам, оказавшимся в кучке с четным числом лягушек, поделиться на две равные кучи.
2) Объединиться двум кучкам лягушек.
Отдавать какие-то другие приказы лягушкам бесполезно: те все равно ребят не послушают. Могут ли ребята такими приказами поделить лягушек на три равные кучи?
Обратим внимание, что изначально количество лягушек во всех кучах делится на 3. Покажем, что это свойство сохранится.
Когда мы делим пополам кучу, в которой количество лягушек было четным и делилось на 3, мы получим две кучи, в которых также количество лягушек делится на 3. Когда мы объединяем две кучи, причем в обеих количество лягушек делилось на 3, то и суммарное число лягушек в новой куче будет делиться на 3.
Значит, ни при каком действии свойство «количество лягушек во всех кучах делится на 3» не пропадает. Поэтому и в конце это свойство будет выполняться.
С другой стороны, так как всего лягушек 51, а ребят трое, то при делении всех лягушек на три равные кучи должно получить три кучи по лягушек. Но число 17 не делится на 3, значит, добиться такого количества лягушек в кучах не удастся.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рон решил научить 25 шоколадных лягушек, полученных им в прошлой задаче, играть в шахматы. Для этого он взял доску и посадил в каждую клетку по лягушке. По его команде каждая лягушка должна перепрыгнуть в соседнюю по стороне клетку. Докажите, что какие-то две лягушки обязательно окажутся в одной клетке.
Раскрасим доску в шахматном порядке так, чтобы все угловые клетки были черными. Тогда черных клеток , а белых — . При этом каждая лягушка при прыжке меняет цвет клетки, на которой она стоит. Поэтому все лягушки с черных клеток окажутся на белых клетках, то есть лягушек окажутся на клетках. Если при этом никакие две лягушки не окажутся в одной клетке, то лягушек не больше, чем клеток, а их . Поэтому какие-то две лягушки обязательно окажутся в одной клетке.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Перед Роном лежат две кучки камней: в одной 30 камней, а во второй — 70. Заклинание «Добавляйтус» увеличивает количество камней в одной куче на 6, но уменьшает количество камней в другой куче на 1. А заклинание «Забирайтус» уменьшает количество камней в одной куче на 3, а в другой — на 7. Оба заклинания срабатывают только в случае, когда в кучах достаточно камней, чтобы их количество можно было уменьшить. Может ли Рон такими заклинаниями получить в одной куче 71 камень, а в другой — 53?
Посмотрим, как меняется общее число камней. При использовании заклинания “Добавляйтус” количество камней увеличивается на и уменьшается на , значит, в итоге увеличивается на . При использовании заклинания “Забирайтус” количество камней уменьшается на и на , то есть в итоге уменьшается на . Числа и делятся на , как и изначальное количество камней . Поэтому у Рона общее число камней всегда будет делиться на . С другой стороны, спрашивается, может ли стать камней . Так как это число на не делится, то добиться указанного числа камней в кучах не получится.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написаны числа 1, 2, 3, , 19, 20. Разрешается стереть любые два числа и и вместо них написать число Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
Для любого набора из чисел на доске рассмотрим следующую величину сумму всех чисел, уменьшенную на Проверим, что это — инвариант. В наборе из условия имеем:
Пусть через некоторое количество ходов на доске осталось чисел, при этом их сумма равна Тогда получаем
Если мы заменим какие-то два числа и на число то сумма оставшихся на доске числа станет равна
Тогда имеем:
Значит, после 19 операций, когда на доске останется одно число мы получим
Таким образом, на доске останется число
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По кругу стоят натуральные числа от 1 до 6 по порядку. Разрешается к любым трем подряд идущим числам прибавить по 1 или из любых трех, стоящих через одно, вычесть 1. Можно ли с помощью нескольких таких операций сделать все числа равными?
Рассмотрим три суммы — первого и четвертого чисел, второго и пятого чисел, третьего и шестого чисел. Вначале эти суммы были равны соответственно
Заметим, что при выполнении первой операции, описанной в условии, каждая из этих трех сумм возрастает на 1, а при выполнении второй операции — каждая из сумм уменьшается на 1.
Таким образом, эти три суммы никогда не станут равными. Отсюда следует, что все шесть чисел также не могут стать равными.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?
После каждого размена одной монеты число монет увеличивается на 4. Так как не делится на 4, то ответ: нет, нельзя.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но
а) рубашкой вверх;
б) рубашкой вниз и вверх ногами?
а) Чтобы игральная карта оказалась рубашкой вверх, необходимо сделать нечетное число поворотов, а для того, чтобы оказаться на прежнем месте — четное. Ответ: нет.
б) Чтобы игральная карта оказалась рубашкоц вниз и вверх ногами, нужно совершить нечетное число пар поворотов по двум разным ребрам, а количество пар таких поворотов, чтобы карта оказалась на прежнем месте — четно. Ответ: нет.
а) Нет
б) Нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
У Ильи есть табличка заполненная числами от 1 до 9 так, как в таблице слева. За один ход Илья может поменять местами любые две строчки или любые два столбца. Может ли он за несколько ходов получить таблицу справа?
Можно заметить, что при описанных действиях наборы чисел в строках и столбцах не меняются.
Тогда в какой-то строке всегда в некотором порядке будут числа в другой — в третьей —
Во второй таблице это не так, поэтому получить её Илье не удастся.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?
После каждого хода Юры количество плюсов меняется на 1, а количество минусов либо остается прежним, либо уменьшается на 2. Следовательно, останется минус.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Шоколадка имеет размер плиток. За один ход разрешается разломать один из уже имеющихся кусочков на два вдоль прямолинейного разлома. За какое наименьшее число ходов можно разбить всю шоколадку на кусочки размером в одну плитку?
После каждого разлома количество кусочков увеличивается на 1, следовательно, после 1-го разлома их будет 2, после 2-го — 3 и т.д., значит, после 39-го их будет 40 (по одной плитке в каждом).