Для любого набора из чисел на доске рассмотрим следующую величину сумму всех чисел, уменьшенную на Проверим, что это — инвариант. В наборе из условия имеем:

Пусть через некоторое количество ходов на доске осталось чисел, при этом их сумма равна Тогда получаем

Если мы заменим какие-то два числа и на число то сумма оставшихся на доске числа станет равна

Тогда имеем:

Значит, после 19 операций, когда на доске останется одно число мы получим

Таким образом, на доске останется число