Первое решение.

Пусть — точка, симметричная точке относительно Тогда и — параллелограмм (так как диагонали четырехугольника делят друг друга пополам).

В треугольнике стороны и равны, следовательно, Кроме того, как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей

Треугольники и равны по углу и прилежащим к нему сторонам следовательно, Итого, получили следующую цепочку равенств углов

Тогда в треугольнике углы при вершинах и равны и

 

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Задачу можно решить без удвоения медианы, если обратить внимание на треугольники и

В этих треугольниках углы и равны как дополняющие равные по условию углы и до развернутого угла. Кроме того, и по условию.

Тогда треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда лежащие напротив равных сторон углы и равны и с привлечением равных вертикальных углов и получаем равные углы в треугольнике и требуемое равенство

По условию — равносторонние треугольники. Тогда все их углы равны

Пусть точка — симметричная точке относительно прямой

В силу симметрии Тогда — тоже равносторонний треугольник, у которого все углы по

Заметим, что Значит, точки лежат на одной прямой.

Из неравенства треугольника на строны

В силу симметрии Так как — равносторонние,

Тогда

Объединим полученное выше:

Значит, действительно выполнено неравенство

Первое решение.

В силу параллельности

Отложим от точки отрезок

Тогда — параллелограмм (т. к. а

Значит, как односторонние углы при секущей .

Найдем угол

Получили, что Тогда — равнобедренный, в котором .

В итоге,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отложим на прямой за точку отрезок равный

Т.к. можем получить

Треугольник равнобедренный, т.к. поэтому

Получаем, что

Следовательно, значит, Но мы знаем, что поэтому — параллелограмм. Значит,

Пусть — точка, симметричная , относительно берега речки. Рассмотрим — точку пересечения прямой с берегом. Докажем, что кратчайший маршрут будет ломаной .

Пусть есть точка на берегу, отличная от . В силу симметрии , . Длина ломаной

Применим неравенство треугольника для :

Значит, , то есть маршрут — кратчайший.

Проведем биссектрису угла Так как треугольник равнобедренный, из чего полу чаем, что треугольник тоже является равнобедренным. Пусть тогда Кроме того, откуда В силу данной параллельности и треугольник равнобедренный. Таким образом, в четырехугольнике стороны и равны и параллельны, следовательно, — параллелограмм, но следовательно, — ромб. По свойству ромба является биссектрисой угла т. е. точки и совпадают. Как мы уже знаем, чтд.

Пусть — проекции точек на прямую — проекции на прямую Легко видеть, что точка лежит на луче — на луче поэтому аналогично Кроме того, если точка — проекция на (она лежит на отрезке ), то

Аналогично Осталось заметить, что

Проведём через точку прямую, параллельную Пусть она пересечёт в точке Тогда и поэтому треугольники и равны по двум углам и стороне. Поэтому и — параллелограмм. Но тогда

Удвоим , получим точку .

Рассмотрим треугольник . В нем — высота и медиана одновременно, а значит, по признаку этот треугольник равнобедренный. Тогда по определению.

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, так как по условию, по построению, как вертикальные. Тогда как соответственные.

как противоположные стороны параллелограмма.

.

Докажем, что прямая проходит через — середину стороны Пусть Пусть прямые, параллельные биссектрисе угла проходящие через и пересекают прямую в и Тогда — средняя линия в треугольнике откуда а значит делит ломанную пополам. Значит доказали, что проходит через Следовательно, — биссектрисы в треугольнике

Докажем, что эта точка является точкой касания вписанной окружности треугольника со стороной Пусть — инцентр треугольника, а описанная окружность пересекает сторону в точке и в точке Тогда по лемме о воробьях для треугольников и мы можем сказать следующее про сумму отрезков.

Теперь, вычитая одно из другого получим, что Но это и есть условие для точки касания вписанной окружности со стороной Значит, всё таки точка касания вписанной окружности с которая не зависит от и утверждение задачи доказано.

На продолжении за точку возьмем точку так, что т.е. Т.к. — биссектриса и углы и вертикальные, то и соответственно треугольники и равны по -му признаку. Значит, Получаем

Т.к. по условию то и значит откуда

Из условия треугольник равнобедренный, следовательно,

Проведём среднюю линию где — середина треугольника она будет параллельна

Следовательно, а т.к. то треугольник равнобедренный. Тогда

А т.к. — середина получаем

Удвоим медиану за точку до точки тогда будет параллелограммом, так как точка пересечения диагоналей делит их пополам. Значит, как накрест лежащие.

Следовательно,

Получаем, что треугольник равнобедренный. Значит,

Применим обратный ход. Обозначим пересечение луча с за Пересечение и с обозначим и Теперь нам надо доказать, что вписанный и так как получится, что точки и из условия совпадают с ними.

Тогда получили, что вписанный, так как внутренний угол равен противоположному внешнему. Теперь обратим внимание на то, что треугольники и подобные, а в прямоугольном треугольнике высота и медиана образуют равны углы со сторонами. Поэтому так как высота в треугольнике то является медианой в треугольнике Значит, середина откуда получаем то, что мы хотели в начале.

Заметим, что четырехугольник из условия единственный, ведь его центр лежит на серединном перпендикуляре к и на перпендикуляре к восставленному в

Пусть — высота треугольника, — ее середина, а — точка пересечения с Тогда точки — проекции на прямые соответственно — лежат на одной прямой, следовательно, четырехугольник вписанный и

Так как середина стороны равноудалена от и а , то откуда и следует искомое неравенство.

Продлим медиану на отрезок равный Докажем, что треугольник равен потому что тогда Понятно, что и Так как параллелограмм, то Значит

При этом

Получаем, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ч.т.д.

Достроим треугольник до параллелограмма Его диагональ проходит через точку а, значит, и через точку Так как и прямая будучи параллельной прямой не параллельна прямой — равнобедренная трапеция. Ее диагонали и образуют равные углы с основанием Следовательно, треугольник — равнобедренный с основанием что и требовалось доказать.

Давайте продлим за точку на отрезок равный Теперь нам нужно доказать, что так как У нас получился равнобедренный треугольник откуда из параллельности, а Тогда получаем, что параллельно а параллельно Значит, — параллелограмм, откуда

Проведём через точку прямую, параллельную Отметим на ней точку так, что Заметим, что — параллелограмм. Значит, достаточно доказать, что

Углы и равны (по ) как противолежащие. Значит, треугольник равносторонний. Таким образом, Также нетрудно видеть, что Значит, треугольники и равны по первому признаку ( — общая сторона). Отсюда вытекает равенство и

Пусть — треугольник, образованный проведёнными прямыми и — точка пересечения его медиан. Мы докажем, что является серединой отрезка

Достроим треугольник до параллелограмма Отрезок делит сторону пополам, поэтому лежит на прямой причём Кроме того, и поэтому и — высоты треугольника Значит, — ортоцентр этого треугольника и

Стороны треугольника перпендикулярны сторонам треугольника соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причём соответствующие прямые и содержащие медианы этих треугольников, перпендикулярны. Значит, прямая совпадает с прямой Пусть — точка, симметричная точке относительно Треугольники и симметричны относительно поэтому Отсюда следует, что лежит на прямой Аналогично лежит на прямой то есть совпадает с