Множества —Каталог задач по ЕГЭ - Информатика БУ

Тема 15. Алгебра логики – преобразование логических выражений

15.02 Множества

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра логики – преобразование логических выражений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#87947

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 5, 8, 10, 14, 15, 20, 25, 26, 30, 32} и Q = {5, 15, 25, 35, 40}. Известно, что выражение

¬(x ∈ A ) → ((x ∈ P ) → ¬(x ∈ Q ))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наибольшую возможную длину элементов множества A.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

(x ∈ A) ∨(x ∕∈ P )∨ (x ∕∈ Q)

Отрицаем известную часть:

(x ∈ P )∧ (x ∈ Q)

Получаем, что множество A = {5, 15, 25}. Наибольшая возможная длина равна 3.

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#87940

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} и Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36}. Известно, что выражение

((x ∈ Q) → (x ∈ A))∧ (¬(x ∈ A ) → (x ∈ P ))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите минимальную возможную сумму элементов множества A.

Показать ответ и решение

Перепишем выражение в виде:

((x ⁄∈ Q )∨(x ∈ A))∧ ((x ∈ A)∨ (x ∈ P))

(x ∈ A )∨ ((x ⁄∈ Q )∧ (x ∈ P))

Отрицаем известную часть:

(x ∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)

Получаем, что $x = {3,9,15,21,27,30,33,36}$ могут принадлежать А. Значит, сумма элементов равна: $3 + 9+ 15+ 21+ 27 + 30 + 33+ 36 = 174$ .

Ответ: 174

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80628

Элементами множеств А, P, R и Q являются натуральные числа, причём P = {1, 3, 7, 9, 11, 14, 18, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 39, 40}, R = {1, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 24, 32, 34, 38} и Q = {8, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 36}. Известно, что выражение

((x ∈ P ) → (x ∈ Q))∨ ((x ∈ R) → (x ∈ A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ⁄∈ P)∨ (x ∈ Q )∨ (x ⁄∈ R)∨ (x ∈ A )

Чтобы выражение было истинно, необходимо, чтобы $(x ⁄∈ P)∨ (x ∈ Q )∨(x ⁄∈ R)$ было ложно. То есть

(x ∈ P )∧(x ⁄∈ Q)∧ (x ∈ R )

Это числа: 1, 7, 18, 24, 32. Они и будут являться элементами множества A. Их количество равно 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80627

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {6, 7, 9, 13, 15, 18, 21, 24, 26, 27, 33, 34, 36, 37} и Q = {3, 4, 7, 13, 14, 20, 26, 27, 28, 29, 30, 32, 35, 37}. Известно, что выражение

((x ∈ P) → (x ∈ A))∨ (x ∈ Q )

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ⁄∈ P )∨(x ∈ A)∨ (x ∈ Q)

Чтобы выражение было истинно, необходимо, чтобы $(x ⁄∈ P )∨(x ∈ Q)$ было ложно. То есть $(x ∈ P)∧ (x ⁄∈ Q )$ Это числа: 6, 9, 15, 18, 21, 24, 33, 34, 36. Они и будут являться элементами множества A. Их количество равно 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80626

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {5, 7, 15, 18, 19, 31, 36, 40} и Q = {1, 10, 15, 18, 23, 27, 31, 32}. Известно, что выражение

((x ∈ Q ) ≡ (x ∈ P )) → (x ∈ A )

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное множество A. В ответе запишите количество чисел, которые включены во все три можетсва $A$ , $P$ и $Q$ .

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

¬ ((x ∈ Q ) ≡ (x ∈ P ))∨(x ∈ A)

¬(((x ∈ Q ) ≡ (x ∈ P ))∧(x ⁄∈ A))

Чтобы выражение $¬(((x ∈ Q) ≡ (x ∈ P))∧ (x ⁄∈ A))$ было истинно, необходимо, чтобы $((x ∈ Q) ≡ (x ∈ P))∧ (x ⁄∈ A)$ было ложно. Найдём при каких $x$ истинно выражение

(x ∈ Q ) ≡ (x ∈ P)

Это числа: 15, 18 и 31, а также все числа которые не входят ни в множетсво $Q$ ни в множество $P$ одновременно. Они и будут являться элементами множества A.

Тогда получается, что во всех 3х множествах находятся числа 15, 18 и 31. Их количество равно 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#80625

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {1, 4, 8, 9, 10, 25, 35, 38} и Q = {2, 5, 6, 9, 10, 25, 37, 39}. Известно, что выражение

((x ∈ P ) → (x ∈ A ))∨(¬(x ∈ A) → (x ∈ Q))∨ ¬(¬(x ∈ P ) → ¬(x ∈ Q ))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ⁄∈ P )∨ (x ∈ A)∨ (x ∈ A )∨ (x ∈ Q)∨ (x ⁄∈ P )∧ (x ∈ Q)

(x ⁄∈ P )∨(x ∈ A)∨ (x ∈ Q)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ⁄∈ P )∨ (x ∈ Q)

То есть

(x ∈ P )∧ (x ⁄∈ Q)

Это числа: 1, 4, 8, 35, 38. Они и будут являться элементами множества A. Их сумма равна 86.

Ответ: 86

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80624

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {6, 8, 20, 25, 27, 30} и Q = {2, 16, 19, 25, 30, 40}. Известно, что выражение

¬(¬(x ∈ A )∧ (x ∈ Q))∨ (¬(x ∈ P) → (x ∈ A ))

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ∈ A)∨ (x ⁄∈ Q )∨ (x ∈ P)∨ (x ∈ A )

(x ∈ A) ∨(x ⁄∈ Q )∨ (x ∈ P)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ∈ P )∨ (x ⁄∈ Q)

То есть

(x ⁄∈ P )∧ (x ∈ Q)

Это числа: 2, 16, 19, 40. Они и будут являться элементами множества A. Их сумма равна 77.

Ответ: 77

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80623

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {1, 3, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28} и Q = {1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 29, 30}. Известно, что выражение

(x ∈ P) → ((¬ (x ∈ Q) ∧(x ∈ P )) → (x ∈ A))

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ⁄∈ P )∨(¬(¬(x ∈ Q)∧ (x ∈ P ))∨ (x ∈ A ))

(x ⁄∈ P)∨ (x ∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)∨ (x ∈ A )

(x ⁄∈ P )∨(x ∈ Q)∨ (x ∈ A)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ⁄∈ P )∨ (x ∈ Q)

То есть

(x ⁄∈ Q )∧ (x ∈ P)

Это числа: 5, 10, 12, 18, 20, 23, 26. Они и будут являться элементами множества A. Их сумма равна 114.

Ответ: 114

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80622

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 24, 27, 28, 29} и Q = {2, 3, 6, 9, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 29}. Известно, что выражение

((x ∈ Q) → ¬(x ∈ P)) → ¬ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

((x ⁄∈ Q)∨ (x ⁄∈ P )) → (x ⁄∈ A )

(x ∈ Q )∧(x ∈ P)∨ (x ⁄∈ A)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ∈ Q )∧ (x ∈ P)

То есть

(x ⁄∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)

Это все числа, которые не входят ни в P ни в Q. Тогда, множество A будет состоять из чисел, которые есть в обоих множествах. Это числа: 2, 6, 13, 16, 19, 21, 24, 29. Значит, ответ – 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80621

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Известно, что выражение

¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ Q )) ∨¬(x ∈ P)

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ∈ A) ∨(x ⁄∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ⁄∈ Q )∨ (x ⁄∈ P)

То есть

(x ∈ Q )∧ (x ∈ P)

Это числа: 6, 12, 18. Они и будут являться элементами множества A. Значит, ответ – 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#80620

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {1, 3, 9, 13, 17, 29, 35, 51, 42} и Q = {2, 3, 13, 35, 36, 39, 42, 51, 67}. Известно, что выражение

¬((x ∈ Q )∧¬ (x ∈ P))∨ (x ∈ A )

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ⁄∈ Q )∨(x ∈ P)∨ (x ∈ A)

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ⁄∈ Q )∨ (x ∈ P)

То есть

(x ∈ Q )∧ (x ⁄∈ P)

Это числа: 2, 36, 39, 67. Они и будут являться элементами множества A. Значит, ответ – 4.

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80619

Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = {2, 7, 14, 28, 34, 102} и Q = {7, 12, 24, 28, 56, 94}. Известно, что выражение

(x ∈ A)∨ (¬(x ∈ P ) → ¬ (x ∈ Q))

Показать ответ и решение

Упростим выражение:

(x ∈ A )∨ ((x ∈ P )∨ (x ⁄∈ Q))

Найдём при каких $x$ ложно выражение

(x ∈ P )∨ (x ⁄∈ Q)

То есть

(x ⁄∈ P )∧ (x ∈ Q)

Это такие числа как: 12, 24, 56 и 94. Они и будут являться элементами множества A. Их сумма 186.

Ответ: 186

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#62998

Элементами множеств $A$ , $P$ , $Q$ являются натуральные числа, причём

$P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}$ , $Q = {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}$ .

Известно, что выражение

((x ∈ P ) → (x ∈ A))∨ ((x ∕∈ A) → (x ∕∈ Q))

истинно (т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной $x$ . Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве $A$ .

Показать ответ и решение

Упростим выражение, раскрыв импликацию:

(x ∕∈ P )∨(x ∈ A)∨ (x ∕∈ Q)

Из этой формулы видно, что множество $A$ должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством $p ∨q$ . Тогда в в множестве $A$ должны находиться элементы, которые содержатся и в множестве $P$ , и в множестве $Q$ . То есть ${6,12,18}$ .

Тогда искомое минимальное множество будет состоять из элементов ${6,12,18}$ . Всего в нем 3 элемента.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#60317

Элементами множества $A$ являются натуральные числа. Известно, что выражение:

(x ∈ A ) → (¬(x ∈ 7,9,11,15,19) ∧(x ∈ 1,3,5,7,9))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$ . Определите наибольшее возможное значение произведения элементов множества $A$ .

Показать ответ и решение

Для краткости записи заменим: $a = (x ∈ A ),b = (x ∈ 7,9,11,15,19),c = (x ∈ 1,3,5,7,9)$ , тогда получается $- a → (b∧ c)$ . Упростим это выражение, раскрыв импликацию: $- a∨ b∧ c$ .

Из этой формулы видно, что множество $A-$ должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством $- b∧ c$ . Тогда максимальное количество элементов в множестве $A$ будет, когда оно состоит из элементов, которых одновременно нет в b, но которые есть в c, то есть { $1,3,5$ }

Тогда, чтобы получить ответ, необходимо перемножить эти элементы: $1⋅3⋅5 = 15$ . Ответ 15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#60316

Элементами множества $A$ являются натуральные числа. Известно, что выражение:

¬ (x ∈ 1,7,9,12,18)∧ ¬(x ∈ 2,10,13,15) ∨(x ∈ A )

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной $x$ . Определите наименьшее возможное количество элементов множества $A$ .

Показать ответ и решение

Для краткости записи заменим: $a = (x ∈ A),b = (x ∈ 1,7,9,12,18),c = (x ∈ 2,10,13,15)$ , тогда получается $- b∧ c∨ a$ .

Из этой формулы видно, что множество $A$ должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством $- - b∧ c$ . Тогда минимальное количество элементов в множестве $A$ будет, когда оно состоит из элементов, которые есть в с и в b, то есть { $1,2,7,9,10,12,13,15,18$ }. Ответ 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#57878

На числовой прямой даны два отрезка: $N = [10,26]$ и $M = [13,27]$ . Отрезок A таков, что формула

$((x ∈ N ) −→ (x ∈ A))∧ ((x ∕∈ M )∨ (x ∈ A))$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х. В ответе укажите наименьшую длину отрезка A.

Показать ответ и решение

n = [i for i in range(10, 26)]
m = [i for i in range(13, 28)]

mn = 10**10
for a1 in range(1, 250):
    for a2 in range(a1+1, 251):
        f = 0
        a = [i for i in range(a1, a2)]
        for x in range(1, 500):
            if (((x in n) <= (x in a)) and ((x not in m) or (x in a))) == False:
                f = 1
                break
        if f == 0:
            # -1, потому что мы считаем длину,
            # т.е. количество "дорог" между точками(целыми числами),
            mn = min(len(a)-1, mn)
print(mn)

Ответ: 17

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#57876

На числовой прямой даны два отрезка: $N = [41,102]$ и $M = [78,156]$ . Укажите наименьшую возможную длину отрезка А для которого выражение

$¬ (¬ (x ∈ A)∧ (x ∈ N ))∨(x ∈ M )$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Показать ответ и решение

n = [i for i in range(41, 103)]
m = [i for i in range(78, 157)]

mn = 10**10
for a1 in range(1, 100):
    for a2 in range(a1+1, 101):
        a = [i for i in range(a1, a2+1)]
        f = 0
        for x in range(1, 300):
            if (not(not(x in a) and (x in n)) or (x in m)) == False:
                f = 1
                break
        if f == 0:
            mn = min(len(a), mn)
print(mn)

Ответ: 37

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#57875

На числовой прямой даны два отрезка: $N = [100,180]$ и $M = [145,200]$ . Укажите наименьшую возможную длину отрезка А для которого выражение

$(x ∈ N ) − → (((x ∈ M )∧ ¬(x ∈ A)) − → ¬(x ∈ N ))$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Показать ответ и решение

n = [i for i in range(100, 181)]
m = [i for i in range(145, 201)]
mn = 10**10
for a1 in range(1, 250):
    for a2 in range(a1, 251):
        f = 0
        a = [i for i in range(a1, a2)]
        for x in range(1, 400):
            if ((x in n) <= (((x in m) and (x not in a)) <= (x not in n))) == False:
                f = 1
                break
        if f == 0:
            # -1, потому что мы считаем длину,
            # т.е. количество "дорог" между точками(целыми числами),
            mn = min(len(a)-1, mn)
print(mn)

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#57874

На числовой прямой даны два отрезка: $N = [30,70]$ и $M = [45,60]$ . Укажите наименьшую возможную длину отрезка А для которого выражение

$((x ∈ N )∧ (x ∈ M )) −→ (x ∈ A)$

тождественно истинно (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Показать ответ и решение

n = [i for i in range(30, 71)]
m = [i for i in range(45, 61)]
mn = 10**10
for a1 in range(1, 100):
    for a2 in range(a1, 101):
        f = 0
        a = [i for i in range(a1, a2)]
        for x in range(1, 300):
            if (((x in n) and (x in m)) <= (x in a)) == False:
                f = 1
                break
        if f == 0:
            # -1, потому что мы считаем длину,
            # т.е. количество "дорог" между точками(целыми числами),
            mn = min(len(a)-1, mn)
print(mn)

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#57873

Пусть на числовой прямой дан отрезок $B = [35;65]$ . Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

$(x ∈ B ) −→ (¬$ ДЕЛ $(x,21)∨$ ДЕЛ $(x,A ))$

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Показать ответ и решение

b = [i for i in range(35, 66)]
for a in range(1, 100):
    f = 0
    for x in range(1, 300):
        if ((x in b) <= (x % 21 != 0 or x % a == 0)) == False:
            f = 1
            break
    if f == 0:
        print(a)

Ответ: 21

Предыдущий раздел

Следующий раздел