Раскроем выражение:

Отрицаем известную часть:

Получаем, что число х должно делится и на 4, и на 6. Это числа 12, 24, 36, 48 и так далее.

Значит, минимальное значение .

for a in range(1, 1000):
    c = 0 #флаг
    for x in range(1, 1000):
        #проверка условия
        if (((x % 4 == 0) <= (not(x % 6 == 0))) or (x % a == 0)) == False:
            c = 1
            break #выход из цикла, если флаг изменился
    if c == 0: print(a) #если флаг не изменился, выводим А

Решение руками:

Раскроем выражение:

Отрицаем известную часть и получаем, что

То есть x делится на 7 и не делится на 3. Это числа: 7, 14, 28, 35, 49...

Получаем, что наименьшее А, при котором выражение верно: , значит, , то есть .

Решение программой:

for a in range(1, 1000):
    c = 0 #флаг
    for x in range(1, 1000):
        #проверка условия
        if (((x % 3 != 0) <= (x % 7 != 0)) or (x + a > 120)) == False:
            c = 1
            break #выход из цикла, если флаг изменился
    if c == 0:
        print(a) #если флаг не изменился, выводим А
        break

for a in range(1, 1001):
    flag = True
    for x in range(1, 10001):
        if ((a % 9 == 0) and ((280 % x == 0 ) <= ((a % x != 0) <= (730 % x != 0)))) == False:
            flag = False
            break
    if flag == True:
        print(a)

cnt = []
for a in range(1, 1001):
    flag = True
    for x in range(1, 10001):
        if ((a % 7) == 0 and ((240 % x) != 0 or ((a % x) == 0 or (780 % x) != 0))) == False:
            flag = False
            break
    if flag == True:
        cnt.append(a)
print(len(cnt))

def f(x, A):
    B = [45, 55]
    return (x % A != 0) <= (inn(x, B) <= (x % 10 != 0))

def inn(x, B):
    return B[0] <= x <= B[1]

maxim = 0
for A in range(1, 300):
    flag = True
    for x in range(1, 500):
        if not(f(x, A)):
            flag = False
            break
    if flag:
        maxim = A
print(maxim)

for a in range(1, 1000):
    f = 0
    for x in range(1, 1001):
        if (((x % 19 != 0) or (x % 13 != 0)) <= (x % a != 0)) == False:
            f = 1
            break
    if f == 0:
        print(a)
        break

for a in range(1, 1000):
    f = 0
    for x in range(1, 1001):
        if (((x % a != 0) and (x % 15 == 0)) <= ((x % 18 != 0) or (x % 15 != 0))) == False:
            f = 1
            break
    if f == 0:
        print(a)
# смотрим на последнее выведенное число. Оно и является ответом

for a in range(1, 1000):
    # Переменная-флаг,
    # которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение выдаёт ложь
    f = 0
    for x in range(1, 1001):
        # Если выражение ложно(нам нужны только истинные),
        # то приостанавливаем цикл
        if ((a % 12 == 0) and ((530 % x == 0) <= ((a % x != 0) <= (170 % x != 0)))) == False:
            f = 1
            break
    # Так как ищем минимальное значение,
    # то сразу же после его нахождения прерываем цикл
    if f == 0:
        print(a)
        break

for a in range(1, 1500):
    # Переменная-флаг,
    # которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение выдаёт ложь
    f = 0
    for x in range(1, 5000):
        # Если выражение ложно(нам нужны только истинные),
        # то приостанавливаем цикл
        if ((a < 500) and ((x % 5 == 0) <= ((x % a == 0) or (x % 25 == 0)))) == False:
            f = 1
            break
    if f == 0:
        print(a)

for a in range(1, 1000):
    # Переменная-флаг,
    # которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение выдаёт ложь
    f = 0
    for x in range(1, 2000):
        # Если выражение ложно(нам нужны только истинные),
        # то приостанавливаем цикл
        if ((x % a == 0) <= ((x % a == 0) <= ((x % 34 == 0) and (x % 51 == 0)))) == False:
            f = 1
            break
    # Когда находим первое подходящее A, то приостанавливаем цикл,
    # так как мы уже нашли минимальное значение
    if f == 0:
        print(a)
        break

Решение:

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение .Упростим это выражение, раскрыв импликацию: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Предположим, что , отсюда , значит, множество ложно, когда число делится и на 45, и на 70. Найдем НОК чисел 45 и 70, оно равно 630. Значит 630 должно делиться на А без остатка, тогда наибольшее возможное А это 630.

 

Решение через питон:

for a in range(1, 1000):
    f = 0
    for x in range(1, 1500):
        if (((x % 45 == 0) and (x % 70 == 0)) <= (x % a == 0)) == False:
            f = 1
            break
    if f == 0:
        print(a)

for a in range(1, 200):
    f = 0
    for x in range(1, 500):
        if (((x % a == 0) and not (x % 22 == 0)) <= \
            ((x % 40 == 0) or (x % 15 == 0))) == False:
            f = 1
            break
    if f == 0:
        print(a)
        break

Решение:

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение . Упростим это выражение, раскрыв импликации: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Предположим, что , отсюда , значит, множество ложно, когда число делится и на 24, и на 77. Найдем НОК чисел 24 и 72, оно равно 72. Значит число 72 должно делиться на А без остатка, тогда наибольшее возможное А это 72.

 

Решение через питон:

for a in range(1, 200):
    f = 0
    for x in range(1, 500):
        if ((x % 24 == 0) <= ((x % 72 == 0) <= (x % a == 0))) == False:
            f = 1
            break
    if f == 0:
        print(a)

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение . Упростим это выражение, раскрыв импликацию: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Множество – это множество всех чисел, которые делятся одновременно на 19 и 15. Поэтому чтобы найти наименьшее необходимо найти наименьшее общее кратное чисел 15 и 19 – это 285.

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение .Упростим это выражение, раскрыв импликацию: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Множество – это множество всех чисел, которые не делятся одновлеменно на 14 и 21. Поэтому чтобы найти наименьшее необходимо найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 21 – это 42.

for a in range(1, 1500):
    # Переменная-флаг,
    # которой присваивается 1, если хотя бы одно выражение выдаёт ложь
    f = 0
    for x in range(1, 5000):
        # Если выражение ложно(нам нужны только истинные),
        # то приостанавливаем цикл
        if ((x % a == 0) <= ((x % 14 == 0) and (x % 21 == 0))) == False:
            f = 1
            break
    # Так как ищем минимальное значение,
    # то сразу же после его нахождения прерываем цикл
    if f == 0:
        print(a)
        break

Введем обозначения:

Таким образом истиным для всех должно быть выражение .Упростим это выражение, раскрыв импликацию: .

Из этой формулы видно, что множество должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством . Множество – это множество всех чисел, которые не делятся либо на 15 либо на 18. Поэтому чтобы найти наименьшее достаточно выбрать наименьшее из чисел 15 и 18 – это 15.

for A in range(1,1000):
    flag = True
    for x in range(1, 10000):
        if ((((x % A == 0) and (x % 36 == 0)) <= (x % 324 == 0)) and (A > 100)) == 0:
            flag = False
    if flag == True:
        print(A)
        break

for a in range(1, 1000):
    flag = True
    for x in range(1, 1000):
        if ((x % a == 0) <= ((x % 21 != 0) or (x % 35 == 0))) == False:
            flag = False
            break
    if flag:
        print(a)
        break

Решение 1 (ручками)

Составим систему для тех случаев, когда выражение тождественно ложно:

Отсюда следует, что обязательно должен делиться на .

Нам требуется взять наибольшее , чтобы система была всегда ложна, то есть при любом множество решений системы пусто. Для этого достаточно взять . Заметим, что если в качестве взять, например, , то система будет истина, если взять .

 

Решение 2 (прогой)

def f(x, A):
    return (x % A != 0) <= ((x % 21 != 0) and (x % 35 != 0))

for A in range(10000, 0, -1):
    met_false = False
    for x in range(1000):
        if not(f(x, A)):
            met_false = True
    if not(met_false):
        print(A)
        break

 

Составим систему для тех случаев, когда выражение тождественно ложно:

 

Отсюда следует, что обязательно должен делиться на НОК.

Нам требуется, чтобы любой , кратный , делится на , то есть — делитель числа . Максимальное равно максимальному делителю числа , то есть .