Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, модули, корни) —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, модули, корни)

Тема АЛГЕБРА

Смешанные уравнения и неравенства (тригонометрия, логарифмы, модули, корни)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88250

Решите неравенство

x+3 3 x 3 2 − x ⋅2 ≤16− 2x

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x3 = a, 2x =b$

b(8− a)≤2(8− a)

(a− 8)(b− 2)≥ 0

(x3− 8)(2x − 2)≥ 0

Функции в скобках монотонные, поэтому знак неравенства совпадает со знаком $(x− 2)(x− 1)≥0$ , что равносильно $(−∞,1]∪ [2,+∞).$

Ответ:

$(−∞;1]∪ [2;+∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85555

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

x 2 |2[tga]− 1| =[tga]+ 2

имеет рациональное решение $x$ . Здесь, $[t]$ - целая часть числа $t$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.6 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Положим $b= [tga]$ . Тогда уравнение принимает вид $(|2b− 1|)x =b2+ 2,b∈ ℤ$ . Нужно найти все целочисленные значения $b$ , при которых существует рациональное решение $x$ .

При $b= 0$ решений нет. Рассмотрим вначале случай $b> 0$ , т.е. $b∈ℕ$ . Тогда поскольку при любом натуральном $b$

2 b + 2> 2b− 1 ≥1,

то можем считать, что в представлении $x= d∕q$ числа $d$ и $q$ натуральные. Значит, числа $b2+ 2$ и $2b − 1$ имеют одни и те же простые делители.

Пусть $p$ - общий простой делитель этих чисел, тогда

{ b2+ 2= pN, 2b− 1= pM,

где $N$ и $M$ - натуральные. Исключая $b$ из левых частей уравнений этой системы, получаем

9= 4(b2 +2)− (2b− 1)(2b+1)= (4N − (2b+ 1)M )p.

Значит $(4N − (2b+1)M )$ - натуральное, а $p$ -делитель 9 , т.е. $p= 3$ . Поэтому

{ b2+ 2= pm, 2b− 1= pk,

где $m$ и $k$ - натуральные и $m > k$ . Так как

( ) ( ) 9= 4(b2+ 2)− (2b− 1)(2b+ 1)= 4⋅3m − 3k+2 ⋅3k =3k 4⋅3m−k − 3k− 2 ,

a $4⋅3m−k− 3k− 2$ не делится на 3 , то $k =2$ и $m = 3,b= 5,x= 32$ .

Для отрицательных $b$ решение проводится почти аналогично. Положим $c= −b$ . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:

(2c+ 1)x =c2+ 2, c∈ ℕ.

Случай $c=1$ очевиден, поскольку решение $x= 1$ . Пусть $c∈ℕ,c≥ 2$ . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении $x= d∕q$ числа $d$ и $q$ натуральные. Опять предположив, что $p$ - общий простой делитель этих чисел, получим

{ c2+ 2= pN, 2c+ 1= pM,

и также сделаем вывод, что $p= 3$ . Поэтому

{ c2+ 2= 3m, 2c+ 1= 3k,

где $m$ и $k$ - натуральные и $m > k$ . Так как

( ) ( ) 9= 4(c2+ 2)− (2c− 1)(2c+ 1)= 4⋅3m − 3k− 2 ⋅3k =3k 4⋅3m−k − 3k+ 2 ,

а $4⋅3m−k− 3k+ 2$ не делится на 3 , то $k= 2$ и $4⋅3m−2− 32+2 =1$ или $4⋅3m−2 = 8$ , но последнее уравнение не имеет натуральных решений.

Поэтому все решения описываются уравнениями: $[tga]= −1$ и $[tga]=5$ , решив которые приходим к ответу.

Ответ:

$a ∈[−π∕4+πn;πn)∪[arctg5+ πn;arctg6+ πn),n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83306

Решить уравнение

x x 4cosπx =[lg(100 ⋅3 )]− [lg[3]]

Здесь $[a]$ – целая часть числа $a$ – наибольшее целое число, не превосходящее $a$ .

Источники: Росатом - 2024, вариант регионов, 11.2 (по мотивам ММО - 2020, 11.2 второго дня)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу, как мы видим логарифмы, надо записывать ОДЗ. ОДЗ здесь будет x >= 0. Дальше, давайте сделаем тождественные преобразования. У нас выходит, что 4cos(pi * x) - 2 = [lg(3^x)] - [lg[3^x]]. Попробуйте посмотреть чему вообще может равняться правая часть. Как нам оценить 3^x (по сути из этой оценки и вытекает значение правой части)?

Подсказка 2

Для любого x можно найти такое k, что 10^(k + 1) > 3^x >= 10^k, k - целое. При этом эта оценка работает и на [3^x] с тем же k. Значит, правая часть всегда 0. Что теперь остаётся сделать?

Подсказка 3

Верно, решить уравнение 4cos(pi * x) = 2 с учетом ОДЗ. После понятных преобразований, нужно получить две серии решений, каждая из которых зависит от периода, и понять для каких периодов x >= 0.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

x x [3 ]≥1 =⇒ 3 ≥ 1 =⇒ x ≥0

Сделаем преобразования:

x x 4cosπx = [lg(100 ⋅3 )]− [lg[3 ]]

4cosπx= 2+ [lg(3x)]− [lg[3x]]

Докажем, что $[lg(3x)]− [lg[3x]]= 0.$ Пусть $[lg(3x)]= k,$ тогда $10k+1 > 3x ≥ 10k.$ Если взять целую часть, то получим $10k+1 > [3x]≥10k.$ То есть "перескочить"через целое невозможно, то есть в действительности $[lg(3x)]− [lg[3x]]= 0.$

Тогда получаем

4cosπx= 2 =⇒ cosπx= 1 2

⌊ ⌊ πx = π+ 2πk | x= 1 +2k ||⌈ 3 ⇐⇒ || 3 πx =− π+ 2πn ⌈ x= − 1+ 2n 3 3

С учетом ОДЗ получаем

⌊ x= 1 +2k, k ∈ℤ, k ≥0, || 3 |⌈ 1 x= − 3 + 2n, n∈ ℤ, n≥ 1

Ответ:

$1 +2k, k ∈ℤ, k≥ 0, 3$ $− 1+ 2n, n∈ ℤ, n≥ 1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76654

Докажите, что для любого $x∈ [0;2]$ верно

x ∘ ------- 2 +1 − 10,5x+ 4≤0

Источники: ЮМШ-2023, 11 класс, отборочный тур (см. yumsh.ru) | ЮМШ-23/24, 11 класс, 1 отборочный тур (см. yumsh.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Немного преобразуем неравенство так, чтобы нам приходилось сравнивать показательную функцию с функцией с корнем. Как они выглядит на графике? Что у них общего и чем они различаются?

Подсказка 2

Одна из них - выпуклая, другая - вогнутая. Ка кто можно использовать, сравнивая значения в некоторых точках? Какие точки стоит рассмотреть, чтобы применить эти свойства?

Подсказка 3

Рассмотрите точки, в которых графики пересекаются.

Показать доказательство

Решение 1.

Перепишем неравенство, данное в условии:

x ∘------- 2 ≤ 10,5x+ 4− 1.

Посмотрим на график степенной функции. Если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит выше графика.

С графиком функции $y =√10,5x-$ наоборот: если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит ниже графика. График функции $√------- 10,5x+ 4− 1$ это сдвинутый по осям абсцисс и ординат график функции $√---- y = 10,5x.$ Значит, и для графика функции $√ ------- 10,5x+ 4− 1$ верно: если соединить две точки, принадлежащие графику, отрезок их соединяющий лежит ниже графика.

Подставим значения $x =0, и x= 2$ в левую и правую части неравенства. Получаем, что графики функций $x √------- 2 и 10,5x+ 4− 1$ проходят через точки $(0;1) и (2;4).$ Тогда все значения функции $x 2$ лежат ниже отрезка, соединяющего точки $(0;1) и (2;4),$ а все значения $√------- 10,5x+ 4− 1$ выше.

То есть в каждой точке отрезка $[0;2]$ все значения функции $x 2$ не меньше чем значения $√ ------- 10,5x +4− 1.$

∘------- 2x ≤ 10,5x +4− 1

x ∘ ------- 2 +1− 10,5x +4 ≤0.

Решение 2.

Обозначим

x ∘ ------- f(x)= 2 +1− 10,5x+4.

Докажем, что на отрезке $[0;2]$ верно $f(x)≤ 0.$

Производная $f(x)$ на отрезке $[0;2]$

f′(x)= ln(2)⋅2x− -√--1---- 2 10,5x+ 4

Приравняем $′ f (x)$ к $0$ :

1 ln(2)⋅2x− 2√10,5x+-4 = 0

ln(2)⋅2x =-√--1---- 2 10,5x +4

x∘------- --1-- 2 10,5x+ 4= 2ln(2)

Функции $2x и √10,5x+-4$ – возрастающие на отрезке $[0;2].$ Тогда $2x√10,5x+-4$ тоже возрастающая. Значит производная имеет не более одного корня на отрезке $[0;2].$ То есть $f(x)$ имеет не более одной точки экстремума на отрезке $[0;2].$

На концах $f(0)= f(2)= 0.$

Тогда если на отрезке $[0;2]$ нет точек экстремума и монотонность не меняется, то $f(x)=0$ на всем отрезке. Если точка экстремума лежит на отрезке $[0;2],$ о возможны два варианта:

1. Это точка минимума. Тогда функция убывает от 0 до точки минимума, а затем возрастает до 2.

2. Это точка максимума. Тогда функция возрастает от 0 до точки максимума, а затем убывает до 2.

Отметим, что $f(1)<0$

∘ -------- ∘--- f(1)= 21+ 1− 10,5⋅1+ 4= 3− 14,5 <0

Значит, возможен только первый вариант. Тогда $f(x)≤ 0$ на всём отрезке $[0;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75111

Решите уравнение

logsinxsin2x+ logsin2x sin3x+ logsin3x sinx=

=logsin2xsinx +logsin3xsin 2x +logsinxsin3x

Источники: Росатом-2023, 11.2, региональный (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что первым делом нужно написать в уравнении с логарифмами?

Подсказка 2

Конечно, ОДЗ! Само уравнение выглядит довольно страшно, но не видите ли вы в нём много похожего?

Подсказка 3

Подумайте, как можно выразить все логарифмы из правой части через логарифмы в левой части. Тогда можно будет ввести замену: заменяем первый логарифм, второй... а третий ведь можно выразить через первые два!

Подсказка 4

Получили красивое уравнение, но, правда, с двумя переменными... Не спешите пугаться! Его можно разложить на скобочки :) Останется только решить получившуюся совокупность, не забыв учесть ОДЗ и ограничение на знаменатель

Показать ответ и решение

Областью определения функций, входящих в исходное уравнение, являются значения $x$ , при которых $sinx ∈(0;1),sin2x∈ (0;1),sin3x∈$ $(0;1).$

Положим $u =logsinx sin2x$ и $v = logsin2x sin3x$ . Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем

logsinxsinx 1 1 logsin2xsinx = logsinxsin2x = logsinx-sin2x = u,

logsin3xsinx = logsin2xsinx-= -1. logsin2x sin3x uv

Далее, аналогично, $log sin2x= 1 sin3x v$ и $log sin3x= uv sinx$ . После этого исходное уравнение запишется так:

1- 1 1 u+ v+ uv = u + v + uv.

Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем

v+-u+-u2v2-− u2v−-uv2− 1 (u-+v)−-uv(u+-v)+(u2v2−-1)- uv = uv = = (u+-v)(1−-uv)+-(uv− 1)(uv-+1)= (uv−-1)(uv−-u− v-+1)= uv uv = (uv−-1)(u(v− 1)−-(v-− 1))= (uv− 1)(1-− u)(v-− 1)= 0. uv uv

Поэтому решениями преобразованного уравнения являются все значения $u$ и $v$ , удовлетворяющие хотя бы одному из равенств $u= 1$ , или $v =1$ , или $uv = 1$ при условии (это относится только к первым двум равенствам) $uv ⁄= 0$ .

Возвращаясь к исходному уравнению отсюда следует, что с учётом области определения, его решениями являются решения совокупности

u= logsinxsin2x =1,v = logsin2xsin3x= 1,uv =logsinx sin3x= 1.

Эта совокупность на области определения эквивалентна совокупности уравнений

sinx =sin2x,sin2x =sin 3x,sinx =sin 3x.

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

sinx= sin2x⇔ sin x− sin2x= 0⇔ sinx− 2sinxcosx= 0⇔ sinx(1− 2cosx)= 0.

Это уравнение на области определения решений не имеет.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

sin2x= sin3x⇔ sin 3x − sin 2x =0 ⇔ 3x − 2x 3x+ 2x x 5x sin --2--cos--2---= sin2 cos 2-= 0.

Решения уравнения $sin x2 = 0$ в область определения не входят. Решениями уравнения $cos5x2-= 0$ являются $52x= π2 + πk,k$ — целое, т.е. $x = π5 + 2π5-k$ . При $k$ кратном $5$ такие $x$ принадлежат области определения, при остальных значениях $k$ - нет.

Рассмотрим третье уравнение совокупности:

sinx= sin3x⇔ sin 3x − sin x= 0⇔ sin 3x−-xcos 3x-+x-= sinxcos2x =0. 2 2

Решения уравнения $sinx =0$ в область определения не входят. Если $cos2x= 0$ , то $sin 2x =±1$ , поэтому решения уравнения $cos2x= 0$ в область определения также не входят.

Ответ:

$π + 2πn,n∈ Z 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71667

Найдите все решения системы

({ ysinx =log ||ysinx||; ( 2 )2(|s1in+23xy| cos2x) 2 ( 6y + 2y 4 + 4 = 25y + 6y+ 1

такие, что $|y|≤ 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на второе уравнение - не очень удобно, когда с одной стороны у нас и скобки с sin x и cos x в степенях, и обычные многочлены от y... Может, попробовать собрать с одной стороны все выражения, содержащие y, а с другой - все, содержащие x? Главное - не забыть проверить, когда это возможно

Подсказка 2

Да, так как справа положительное выражение, то обе скобки ненулевые. Тогда можем поделить уравнение на 6y²+2y. Заменим cos² по основному тригонометрическому тождеству. Кажется, теперь левую часть получившегося выражения можно неплохо оценить.

Подсказка 3

Конечно, из неравенства о взаимно обратных левая часть не меньше 4, а также из ограничений для синуса она будет не больше 5. Но ведь тогда эти же ограничения действуют и для правой части выражения! Остаётся только записать систему неравенств, найти подходящие y и подставить их в первое уравнение!

Показать ответ и решение

Правая часть второго уравнения всегда положительна, поэтому и в левой части $6y2 +2y > 0.$

Тогда поделим второе уравнение на $2 6y +2y ⁄= 0$

25y2+ 6y +1 sin2x 4 --6y2+-2y-- =4 + 4sin2x ∈ [4;5]

Так как в силу неравенства на сумму взаимно обратных чисел

( 2 ) 2 4sinx-+ --2-- ≥ 4 2 4sin2x

А также

2 4 4sin x+ 4sin2x-≤5 ⇐ ⇒

⇐⇒ 1≤ 4sin2x ≤4 —верно всегда

Из оценки на правую часть, получаем для левой части

( 2 ||{ 25y-+-6y+-1≤ 5 | 25y6y22++62yy+ 1 |( --6y2+-2y--≥ 4

Домножим оба неравенства на $6y2+2y > 0$

( [ ) ⌊ { y ∈ (− ∞;−1]∪ 1;+∞ y =[−1 ] ( 5 ⇐⇒ ⌈ y ∈ 1 ;1 y ∈ [− 1;1] 5

Подставляя $y = −1$ в первое уравнение, получим

1− sinx =log2 sinx

sinx= --2-≥ 1 ,но sin x≤ 1 2sinx

Значит, в этом случае $(π ) 2 + 2πk, −1$ — единственная серия решений.

Преобразуем неравенство:

1 ≤y ≤1 5

1≤ 1 ≤5 y

1 --1-- 1 8 ≤3 + 1 ≤ 4 y

Тогда из первого уравнения системы

||ysinx|| 1 2ysinx = ||1+3y||≤ 4 =2−2

ysin x≤ −2

Противоречие, так как $|ysinx|≤1.$ В этом случае решений нет.

Ответ:

$(π+ 2πk, −1),k∈ ℤ 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#68093

Найдите количество целых решений уравнения

sin(π⋅log2x)+ cos(π⋅log2x)= 1

на отрезке $[1;90].$

Источники: Межвед-2023, 11.1 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Классическое уравнение на сумму синуса и косинуса, причём справа константа, сразу хочется как-то преобразовать обе части уравнения) Как?

Подсказка 2

Поделить обе части на √2, тогда сможем слева собрать в синус суммы, а справа останется константа! Остаётся лишь разобрать пару случаев)

Показать ответ и решение

Разделим обе части уравнения на $√2 :$

π π -1- sin(π ⋅log2 x)⋅cos4 + sin 4 ⋅cos(π⋅log2x)= √2

( ) sin π ⋅log2x+ π = √1- 4 2

[ π ⋅log2x+ π4 = π4 +2πn,n∈ ℤ π ⋅log2x+ π4 = 3π4 + 2πk,k ∈ℤ

[ π⋅log2x= 2πn π⋅log2x= π2 +2πk

Отсюда получаем, что $x= 22n$ или $1 x =22+2k.$ Поскольку число $1 22+2k$ не является целым, остается найти количество целых значений $n$ таких, что

1≤ 22n ≤90.

Решениями неравенства являются целые числа $0,1,2,3.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#68077

Решить уравнение

∘ --2---- ∘ --2-------- (log2x + log2x+ 1)(log2(x− 2)+ log2(x− 2)+1)=1

Источники: Росатом-2023, 11.4, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на две наши скобки. Там похожие логарифмы под корнями и без них. На что тогда можно попробовать умножить обе части нашего уравнение? Конечно, учитывая ОДЗ.

Подсказка 2

Верно, давайте по очереди умножим обе части уравнения сначала на сопряжённое число одной скобки, а потом на другое. Получатся два новых уравнения. Что с ними можно сделать, чтобы совсем избавиться от корней?

Подсказка 3

Да, давайте просто вычтем одно из другого и получим уравнение только с основанием 2. Далее применяя свойства логарифмов, дорешать задачу несложно. Не забудьте про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x> 2$ . Заметим, что на ОДЗ выполнено, что $∘--2---- log2x± log2x +1⁄= 0$ , $∘ --2-------- log2(x− 2)± log2(x − 2)+ 1⁄= 0$ .

Умножая правую и левую части исходного уравнения на $∘ ------- log22x+ 1− log2x$ и учитывая, что $( ∘ -------)(∘ ------- ) log2x + log22x+ 1 log22x+ 1− log2x =1$ , получим равносильное уравнение

∘ ----------- ∘ ------- log2(x− 2)+ log22(x− 2)+1 = log22x+ 1− log2x

(1)

Далее, умножая правую и левую части исходного уравнения на $∘log2(x-− 2)+-1− log(x− 2) 2 2$ , получим также равносильное уравнение (ниже поменяли местами левую и правую части)

∘ --2-------- ∘ --2---- log2(x − 2)+ 1− log2(x− 2)=log2x + log2x+ 1

(2)

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), получаем:

log2x +log2(x− 2)=− (log2x +log2(x− 2))

log2x+ log2(x− 2)= 0

( ( ( {log2(x(x− 2))= 0 {x2− 2x= 1 { x= 1± √2 √ - ( ⇔ ( ⇔ ( ⇔ x = 1+ 2 x > 2 x >2 x> 2

Ответ:

$1+ √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#67932

Решите уравнение

2 3 ∘--4---2--- ∘ -4----2--- log2(|x − 2|+ 1)+ 4x − 3x +5= 2x +5x − 3

Источники: Ломоносов-2023, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит страшно: и корни, и логарифм по отдельности..может, тут есть какие-то оценочки?)

Подсказка 2

Например, можно обратить внимание, что раз |x-2|³ ≥ 0, то аргумент логарифма ≥ 1, и сам логарифм ≥ 0. А еще в подкоренном выражении слева у старшего члена коэффициент больше, чем в подкоренном выражении справа. Что это может значить?

Подсказка 3

То, что левая часть почти всегда больше правой) А еще сами корни положительные. Поэтому, чтобы решение существовало, нужно чтобы левый корень был не больше, чем правый корень (т.к. логарифм и так ≥ 0). При каких иксах это так?

Подсказка 4

Если написать неравенство на подкоренные выражения, то после нехитрых преобразований, получится, что (x²-2)² ≤ 0! Т.е. x = ±√2. Проверьте, подходят ли они как решение)

Показать ответ и решение

Так как

2 3 2 3 2 3 |x − 2| ≥ 0⇒ |x − 2| +1 ≥1⇒ log2(|x − 2| +1)≥ 0

∘ --4---2--- 4x − 3x + 5≥ 0

∘2x4-+5x2−-3≥ 0

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялось неравенство

4x4 − 3x2+ 5≤ 2x4+ 5x2− 3

(x2− 2)2 ≤0

x2 = 2

Проверка показывает, что $√- x= ± 2$ — решение.

Ответ:

$±√2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#67083

Решите уравнение

(x 11π) ( ( 7π )) tg 2 − 16 ⋅log2 sin 2x + 4 = 0

Источники: Газпром - 2022

Показать ответ и решение

Из данного уравнения следует:

[ tg(x− 11π-)=0 log 2(sin1(62x+ 7π)) =0. 2 4

Решим первое уравнение:

x − 11π =πn,n ∈ℤ 2 16

11π x= -8-+ 2πn.

Тогда:

( 7π) ( 18π ) (9π ) π sin 2x+ 4- = sin -4-+ 4πn = sin -2 +4πn = sin2 =1.

Значит такие $x$ нам подходят. Решим второе уравнение:

( ) sin 2x+ 7π =1 4

2x+ 7π= π + 2πk,k∈ ℤ 4 2

5π- x= − 8 + πk.

Тогда:

(x 11π) ( 5π πk 11π) ( πk) tg 2 −-16 = tg − 16 +-2 − 16- = tg −π+ -2 .

Что определено только при четных $k$ , значит такие значения $x$ при четных $k$ нам подходят. Но заметим, что решения, полученные из первого уравнения такие же, как от второго уравнения.

Ответ:

$x = 11π+ 2πn,n∈ℤ. 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#66208

Решите неравенство

(∘ -2---- ) (--------2--------) log2 x − 4x +3 > log12 √x2-− 4x+ √x+-1+ 1 + 1

Показать ответ и решение

Для начала выпишем ограничения на $x:$

{ x2− 4x≥ 0; x+ 1≥0.

Значит, $x∈ [−1;0]∪ [4;+∞ ).$ Воспользуемся тем, что $1= log11, 22$ тогда преобразуем правую часть с помощью формулы суммы логарифмов:

(∘ -2---- ) (--------1--------) log2 x − 4x +3 > log12 √x2 − 4x+ √x+-1+ 1 .

Так как

1 1 ∘ ------ √---- 2 = 2− 1,√x2-− 4x+-√x-+1+-1 =( x2 − 4x+ x +1+ 1)−1,

то получим:

log2(∘x2−-4x+ 3)> log2(∘x2−-4x+ √x+-1+ 1).

Так как логарифм по основанию $2$ возрастает на своей области определения, то при ограничении на $x$ имеем:

∘------ ∘------ x2 − 4x+ 3> x2 − 4x+ √x+-1+ 1;

√ ---- 2 > x+1;

4> x+ 1;

3 >x.

Таким образом, $x∈ [−1;0].$

Ответ:

$[−1;0]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80058

Решите неравенство

( )log9( 12−6+9x2) 1 x ≥ 1 3 x

Показать ответ и решение

Условие существования логарфма:

1 2 x2-− 6+ 9x > 0

(1 )2 x − 3x >0

( ||{ x ⁄= 0 | x ⁄= 1√3 |( x ⁄= − 1√3

(1)log9x12−6+9x2 ( 1- 2)log9 13 3 = x2 − 6+ 9x

( )−0,5 (1− 3x)2 =|--1--| x |1x − 3x|

||11--|| ≥ 1x x − 3x

Случай $x< 0$ с исключением ОДЗ нам подходит, так как слева всегда больше $0$ .

Рассмотрим случай $x> 0$

||| 1 ||| |3x −x |≤x

В этом случаем получаем

⌊ 1 1 ⌈ √3 < x≤ √2 12 ≤ x< √13

Ответ:

$(− ∞;− 1√-)∪(− 1√-;0) ∪[1;√1)∪ (√1;√1] 3 3 2 3 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#76461

Найдите все целочисленные решения данного уравнения, если таковые существуют.

[-x-] [x+-1] [x+-2021] lg(2x-+1)−-lg6 2022 + 2022 + ⋅⋅⋅+ 2022 = lg5− lg10

Через $[a]$ здесь обозначена целая часть числа $a.$

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что нужно понять - не стоит бояться задач, которые выглядят громоздко. Они милые внутри. К примеру, в этой задаче, можно взять разные d, разные x, и найти чему будет равна сумма слева, а потом доказать, что так будет всегда. Не могли же нам дать какой-то гроб, где и слева страшная бяка и справа логарифмы, которые вообще мало связаны с нашим «целым» миром.

Подсказка 2

Первое, что надо сделать, чтобы найти эту сумму, это сказать, что x = kd + m. Иначе, не понятно, как можно искать эти самые целые частные от деления на d. Теперь нам надо понять, с какого момента каждая скобка становится равна не k, а k + 1. И посмотреть по сколько у нас значений k и k + 1.

Подсказка 3

Верно, значений k у нас d - m штук, а значений k + 1 ровно m. Значит наша сумма - это k(d - m) + m(k + 1) = kd + m = x. Ого, а теперь задача не такая уж и страшная! Остается преобразовать левую часть по формуле разность логарифмов и получить уравнение вида log_2((2^x + 1)/6) = -x. А это уже крайне понятно решается(квадратно уравнение на 2^x).

Показать ответ и решение

Докажем, что если $x$ целое, $d$ натуральное, то

[x] [x-+1] [x+-d−-1] d + d + ⋅⋅⋅+ d = x

Представим $x$ в виде $x= kd+m,$ где $k∈ ℤ$ (неполное частное), $m ∈ {0,1,...,d − 1}$ (остаток). Тогда величины

[ ] [ ] [ ] x , x+-1 ,..., x+-(d−-m-− 1) d d d

будут равны $k.$ Их количество равно $d− m.$

Величины

[ ] [ ] x-+(d−-m) ,..., x+-(d-− 1) d d

будут равны $k +1.$ Их количество равно $m.$

Итого получаем

[ x ] [x +1] [x+ 2021] 2022 + -2022 +⋅⋅⋅+ --2022-- =k ⋅(d− m)+ (k+1)⋅m = kd+m = x

Преобразуем правую часть уравнения

x x lg(2-+1)−-lg6-= lg[(2-+1)∕6]=− log2[(2x+ 1)∕6] lg5− lg 10 lg1∕2

Таким образом, приходим к уравнению

log [(2x+1)∕6]=− x 2

2x+1 =6 ⋅2−x

Обозначая $t= 2x$ и решая полученное квадратное уравнение, находим, что $2x = 2$ (другой корень не подходит по знаку).

Следовательно, единственное решение $x= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#70775

Решите неравенство

log (x2+6x) 2 log 5 2 3 4 + 6x≥ |x + 6x| 4 − x

Источники: Физтех-2022, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь, запишем ОДЗ неравенства и заметим, что тогда мы можем избавиться от модуля. Далее надо хорошо преобразовать наше неравенство. Попробуем сделать так, чтобы в степенях у нас везде были логарифмы с x²+6x. Как можно преобразовать тогда x²+6x? Причём он нам нужен с определённым основанием.

Подсказка 2

Верно, x²+6x мы можем преобразовать по свойству логарифма. А что же делать с оставшейся частью (x²+6x)^log_4(5)? Попробуйте понять, почему a^log_b(c)=c^log_b(a). Это несложно сделать, записав логарифм по-другому. Теперь примените это к (x²+6x)^log_4(5). Что же можно сделать, когда мы получили везде одинаковое "некрасивое" выражение?

Подсказка 3

Конечно, можем сделать замену на y! А далее для удобства поделить на 5^y обе части неравенства. Получим какое-то интересное выражение. Прям по-честному решать его не хочется. Давайте подумаем, как схитрить. А что если рассмотреть выражение слева, как функцию? Какие выводы по этому поводу можно сделать? Попробуйте подставить ещё хорошие значения для y.

Подсказка 4

Верно, слева у нас убывающая функция, как сумма убывающих. И причём значение в 2 равно 1. Значит, можно сделать вывод, что неравенство верно при y ⩽ 2. Осталось только сделать обратную замену, решить исходное неравенство с учётом ОДЗ, и победа!

Показать ответ и решение

Область допустимых значений — это $x∈ (−∞;−6)∪ (0;+∞ ),$ а неравенство эквивалентно следующим:

log (x2+6x) ( 2 ) ( 2 )log45 3 4 + x + 6x ≥ x + 6x

log4(x2+6x) log4(x2+6x) log4(x2+6x) 3 + 4 ≥ 5

( 3)log4(x2+6x) (4)log4(x2+6x) 5 + 5 ≥ 1

Рассмотрим неравенство

( )y ( )y 3 + 4 ≥ 1 5 5

Функция $h(y)= (35)y+(45)y−$ убывающая (как сумма убывающих функций). Несложно заметить, что $h(2) =1$ , поэтому если $y >2$ , то $h(y)< 1$ , а если $y < 2$ , то $h(y)> 1$ . Таким образом, это неравенство даёт $y ≤2$ , а исходное неравенство эквивалентно неравенству

log4(x2+ 6x) ≤2

Отсюда получаем

0< x2+ 6x≤ 16 ⇔ x∈ [−8;−6)∪(0;2]

Ответ:

$[−8;− 6)∪(0;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#51850

Найти область определения функции

∘-----------||---------|| y = log4(1+ 6x)+ |log18(1+7x)|

Показать ответ и решение

Область определения функции задаётся системой неравенств

(| 1+ 6x> 0 |{ 1+ 7x> 0 ||( || || log4(1+ 6x)+ |log18(1 +7x)|≥ 0

равносильной системе (в неравенстве воспользуемся свойством логарифмов и домножим на $6$ ):

{ x >− 1 7 3log2(1+ 6x)+ 2|log2(1+ 7x)|≥ 0

Рассмотрим два случая:

$x≥ 0,$ и $− 1< x <0 7$

а) $B$ этом случае $1+ 6x ≥1,$ $log(1+ 6x)≥0 2$ и неравенство справедливо в силу того, что оба слагаемых в левой части неотрицательны.

б) $1+7x< 1,$ тогда $log (1 +7x)< 0 2$ и неравенство принимает вид

3log(1+ 6x)− 2log(1+ 7x)≥ 0, (1+ 6x)3 ≥ (1 +7x)2 2162x3+ 59x2 +4x2≥ 0, 216x2 +59x+ 4≤ 0 (x< 0) − 4-≤x ≤− 1 27 8

Таким образом, область определения функции задается неравенствами

1 1 x ≥0 и − 7 <x ≤− 8 .

Ответ:

$(− 1;− 1]∪ [0;+∞ ) 7 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#51847

Решить неравенство

x2-− |x|−-12 log13 log2 x +3 > 0.

Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно следующему

x2− |x|− 12 1< ---x+-3---<2

(1)

a) Пусть $x> 0,$ тогда $x2− |x|− 12 =(x− 4)(x+ 3)$ и неравенство (1) примет вид $1 <x − 4< 2,$ откуда $5< x< 6.$

б) Пусть $x< 0,$ тогда неравенство (1) записывается в виде

2 1< x-+-x−-12< 2 x+ 3

(2)

Если $− 3< x< 0,$ то неравенство (1) равносильно неравенству $x+ 3< x2+ x− 12 <2(x+ 3)$ или системе неравенств

{ x2− x− 18 <0, { x1 <x <x2 x2− 15 >0, откуда |x|>√15-

где $√-- √-- x1 = 1−273,x2 = 1+273$ . Система неравенств

{ |x|> √15 −3< x <0

несовместна. Если $x< −3,$ то система (2) равносильна системе

{ (x− x1)(x − x2)> 0 |x|< √15

откуда $√-- − 15 <x <x1,$ так как $√ -- x1 > − 15.$

Ответ:

$(−√15;1−√73)∪(5;6) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32655

Решите неравенство:

-----1---- -----1----- |log27x3|− 2 ≤ |log3(x∕3)|− 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмическое уравнение, поэтому первым делом надо найти ОДЗ! Дальше надо внимательно посмотреть на логарифм в левой части неравенства, что про него можно сказать?

Подсказка 2

Верно, поскольку 27=3³, то этот логарифм превращается в log₃x. А как тогда выразить log₃(x/3)?

Подсказка 3

Да, log₃(x/3) = log₃x - 1! Осталось сделать замену, рассмотреть все случаи раскрытия модулей и пересечь ответ с ОДЗ!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ , $||log x3||⁄= 2 27$ , $|log(x∕3)|⁄= 1. 3$

Понятно, что $3 log27x = log3x$ . Пусть $t= log3x$ . Тогда

1 1 |t|−-2 ≤ |t− 1|−-1

Если $t≥1$ , то неравенство выполнено.

Если $t∈(0,1)$ , то $t1−2 ≤ −1t$ , $1t ≤ 12−t-⇐⇒ 2− t≤ t$ или $1≤ t$ , здесь решений нет.

Если $t<0$ , то $−1t−2-≤ 1−t ⇐⇒ t(2t+2) ≤ 0$ и $t∈(−2,0)$ .

По ОДЗ $t⁄= ±2$ и $t− 1⁄= ±1$ . Значит, в итоге $t=log3x∈(−2,0)∪[1,2)∪(2,+∞)$ и соответственно $x∈ (19,1)∪[3,9)∪ (9,∞)$ .

Ответ:

$(1;1)∪[3;9)∪(9;+ ∞) 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32654

Решите уравнение

1 log125(sin2x− sinx)+3 = log5(−2 sinx)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим логарифм - ищем ОДЗ! Дальше, заметим "магию чисел": 125=5³, а одно из слагаемых равно одной трети! Что нужно сделать, чтобы уравнение приняло более красивый вид?

Подсказка 2

Нужно домножить всё на 3 и представить единицу, как log₅5. Дальше просто воспользуйтесь формулой суммы логарифмов и тем, что множитель перед логарифмом можно занести в его основание или аргумент! При этом подумайте, как это сделать наиболее удачно, чтобы одно из слагаемых появилось как в левой, так и в правой части уравнения!

Подсказка 3

Если всё получилось, то log₅(-sin(x)) появился как в левой, так и в правой части уравнения! Таким образом, осталось лишь решить логарифмическое уравнение, где у каждого слагаемого одинаковое основание! Если основания равны, то что будем приравнивать?

Подсказка 4

Да, приравниваем аргументы!

Показать ответ и решение

Для существования логарифмов нужно $sinx< 0$ и $sin2x − sinx =sinx(2cosx− 1)>0$ , так что $2cosx− 1< 0$ , то есть $1 cosx< 2$ .

Домножим всё на $3$ , тогда по свойствам логарифмов уравнение имеет вид:

2 log5(− sin x)+ log5(5(1− 2cosx))= log5(− sinx)+log5(8sin x)

2 log5(5(1− 2cosx))= log5(8sin x)

2 1 3 5− 10cosx =8− 8cosx ⇔ cosx = −4 или cosx= 2

Тогда $1 x = ±arccos(− 4)+ 2πk,k ∈ℤ$ , но с учётом $sinx <0$ подходит только $1 x= − arccos(− 4)+2πk,k∈ℤ$ .

Ответ:

$− arccos(− 1)+2πk,k∈ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#31835

Решите неравенство

(∘ 2----- ) ( --------2--------) log2 x − 4x+ 3 > log12 √x2−-4x+ √x+-1+ 1 + 1.

Показать ответ и решение

Выражения в знаменателе и под логарифмами заведомо положительны, поэтому ОДЗ достаточно выписать для подкоренных выражений: $[−1,0]∪ [4,+∞)$ .

По свойствам логарифмов

--------2-------- --------2-------- log12√x2-− 4x+ √x-+1+ 1 = − log2√x2−-4x+ √x+-1+ 1 = = −1+ log (∘x2-− 4x-+√x-+1-+1). 2

Тогда исходное неравенство эквивалентно

log (∘x2-− 4x+ 3)> log (∘x2-− 4x-+√x-+1 +1)⇔ ∘ ----2- ∘ ------ √ 2--- √---- ⇔ x2− 4x +3 > x2− 4x + x+ 1+1 → x+ 1< 2⇔ −1 ≤x <3.

Откуда с учётом ОДЗ $x∈ [−1,0]$ .

Ответ:

$[−1;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#33380

Даны числа $log√----(4x+ 1),log (x+ 2)2,logx (5x− 1) 5x−1 4x+1 2 2+2$ . При каких $x$ два из этих чисел равны, а третье меньше их на $1$ ?

Источники: Физтех-2021, номер 5, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Из условия следует, что функции $4x+1,x +2,5x− 1 2$ положительны и не принимают значения $1$ при всех $x$ из области допустимых значений. Пусть $√---- (x )2 a= log 5x−1(4x+ 1),b= log4x+1 2 + 2 ,c=$ $logx2+2(5x− 1)$ . Тогда

abc= log√----(4x +1)⋅log ( x+ 2)2⋅logx (5x− 1)= 2log (4x+1)⋅2log (x +2)⋅ log4x+1(5(x-− 1)) = 4. 5x−1 4x+1 2 2+2 5x−1 4x+1 2 log4x+1 x2 + 2

По условию числа $(a;b;c)$ удовлетворяют одному из трёх условий:

I) a= b a= c+1 II) b= c c= a+1 III)c= a a= b+ 1.

Рассмотрим случай $I$ . Подставляя $b= a$ и $c =a − 1$ в полученное выше уравнение $abc= 4$ , имеем $a⋅a⋅(a − 1)= 4$ , откуда $a3− a2− 4=0,(a− 2)(a2+ a+2)= 0$ . Так как многочлен $a2+a +2$ не имеет корней, то единственным решением уравнения является $a =2$ , поэтому системе удовлетворяет тройка чисел $a =2,b= 2,c= 1$ . Случаи $II$ и $III$ рассматриваются аналогично с точностью до смены обозначений (выражение $abc$ симметрично). Из них получаем, что либо $a =1,b= 2,c= 2$ , либо $a= 2,b =1,c= 2$ . Теперь для каждой из полученных троек чисел $(a;b;c)$ найдём $x$ .

Если $c= 1$ , то $5x − 1 = x +2 2$ , то есть $x= 2 3$ . Поэтому $a= 2log 11⁄= 2 733$ , то есть значений $x$ , при которых $a= b= 2,c= 1$ , не существует.

Если $a= 1$ , то $√ ----- 4x +1 = 5x− 1$ . Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем уравнение $2 16x + 3x+ 2= 0$ , которое не имеет корней, поэтому случай $a =1,b= c= 2$ также не подходит.

Если $b= 1$ , то $(x )2 2 + 2 =4x+ 1$ . Это уравнение эквивалентно уравнению $2 x − 8x+ 12 =0$ , корнями которого являются $x= 2$ и $x =6$ , но $x = 6$ не подходит, так как в этом случае $√-- a= log 2925⁄= 2$ . Значение $x= 2$ подходит: $√- a= log 99 =2,c= log39= 2$ .