Уравнения без логарифмов и тригонометрии —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения с радикалами

Уравнения с радикалами И модулями

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Однородные уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88247

Решите уравнение

2⋅6x-− 4x−-15 6x− 9x − 5 = 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $6x− 9x− 5⁄= 0.$ Домножив исходное равенство на знаменатель, получаем

x x x x 2 ⋅6 − 4 − 15= 3⋅6 − 3⋅9 − 15

3 ⋅9x − 6x− 4x = 0

3 ⋅32x− 3x⋅2x − 22x = 0

Поделив на $22x$ , получим

( )2x ( )x 3⋅ 3 − 3 − 1 =0 2 2

Сделаем замену $( ) 3 x = t, t> 0 2$ . Тогда

3t2− t− 1= 0

√-- t= 1±--13 6

И так как $t>0$ , подходит только $√-- t= 1+--13 6$ . Тогда $√-- x= log 31+--13 2 6$

Проверим, что такое решение удовлетворяет ОДЗ. Заметим, что $log3(√13-+ 1)<0 2 6$ , так как $√13-+ 1< 1 6$ . Поэтому $6x < 1$ , а значит $6x− 9x− 5< 0.$

Ответ:

$log (1+√13) 32 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88245

Решите уравнение

( 1)x−2 5x+1 = 5

Показать ответ и решение

x+1 2−x 5 = 5

В силу монотонности показательной функции получаем

x+ 1= 2− x

x = 1 2

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85024

Решите неравенство

√6-+-x−-x2- √6+-x−-x2 ---2x-+5-- ≥ --x-+4---

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и корни и дроби, поэтому сразу же считаем ОДЗ!

Подсказка 3

Неравенство 1/(2x + 5) ≥ 1/(x+4) нетрудно решается, но оно будет ещё легче, если посмотреть какие по знаку (положительные или отрицательные) будут знаменатели на ОДЗ. А мы знаем, что умножение на положительное выражение будет равносильным переходом.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

( ( (x− 3)(x +2)≤ 0 ( x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 ||||{ ||||{ 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ x⁄= − 5 ⇐⇒ x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] |||( x+ 4⁄= 0 ||||( 2 ||||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Рассмотрим два случая. Во-первых,

∘ -------- [ 6+ x− x2 =0 ⇐⇒ 6+ x− x2 = 0 ⇐⇒ x= 3 x= −2

Во-вторых, $√ ------2- 6+ x− x >0,$ значит, на него можно сокращать. Так же заметим, что на ОДЗ выражения $2x+ 5$ и $x+4$ положительны.

1 1 2x+-5 ≥ x+-4

x +4≥ 2x+ 5

x≤ −1

Пересечём это с ОДЗ и получим в этом случае $x∈ [− 2,−1].$

В итоге, объединив все случаи, получим $x ∈[−2,− 1]∪ {3}.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в первом решении, запишем ОДЗ неравенства:

( (| (x− 3)(x +2)≤ 0 (| x ∈[−2,3] |||{ 6+ x− x2 ≥0 |||{ |||{ | 2x+ 5⁄= 0 ⇐ ⇒ | x⁄= − 5 ⇐⇒ | x ⁄=− 5 ⇐⇒ x∈ [− 2,3] ||( x+ 4⁄= 0 |||( 2 |||( 2 x⁄= −4 x ⁄=− 4

Давайте перенесём теперь всё в одну часть и приведём разность дробей к общему знаменателю. Получится следующая дробь

∘ ----------( − x− 1 ) (3− x)(x+2) (2x+-5)(x+-4) ≥ 0

Умножим на $− 1$ неравенство и поменяем знак:

∘ ----------( ---x+-1----) (3− x)(x+2) (2x+ 5)(x+ 4) ≤ 0

Мы знаем нули этого выражения вместе с выколотыми точками. Поэтому давайте решим это неравенство методом интервалов, подставив значения точек из нужных интервалов. Но выколотые точки в знаменателе не удовлетворяют ОДЗ, поэтому не будем их рассматривать вовсе. Рассматривая промежуток $[−2,− 1]$ и подставляя, например, точку $x =− 32,$ получаем, что значение будет отрицательно(в числителе минус, в знаменателе обе скобки положительны). А рассматривая промежуток $[−1,3],$ можем подставить $x= 0$ и получить, что знак плюс. Итого, решение получается $x∈ [−2,−1]∪{3}$ (не забываем, про не выколотые точки).

Ответ:

$[−2,−1]∪{3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#83069

Решите уравнение

∘ ----2- ∘ ----2---- ∘-----2 4x− x + 4x− x − 3= 3+ 2x − x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала может быть непонятно, что вообще делать с уравнением, у которого сразу три знака корня... не возводить же всё в квадрат( А какой у нас ещё метод есть для решения уравнений, кроме топорной алгебры?

Подсказка 2

Метод оценки! В таких случаях часто бывает полезно оценить, а какие значения может принимать каждая из частей уравнения — найти максимальное и минимальное значение каждой из частей (для этого под корнями можно выделить полные квадраты).

Подсказка 3

Оказывается, наибольшее значение левой части уравнения совпадает с наименьшим значением правой. Равенство достигается, только когда левая часть максимальна, а правая минимальна. То есть когда в соответствующих оценках-неравенствах достигается равенство

Показать ответ и решение

Выделим в левой части уравнения полные квадраты под корнями:

∘-----2 ∘-----2--- ∘--------2 ∘ -------2- 4x − x + 4x − x − 3= 4 − (x− 2)+ 1− (x− 2)

Так как подкоренные выражения не превосходят 4 и 1 соответственно, то сумма корней не больше

√- √- 4+ 1= 3,

а правая часть исходого уравнения не меньше 3. Получаем

∘ ----2- ∘ ----2---- ∘-----2 3≥ 4x− x + 4x− x − 3= 3+ 2x − x ≥ 3

Следовательно,

3= ∘4x-− x2+ ∘4x-− x2−-3= 3+ ∘2x-− x2 = 3

То есть во всех неравенствах должно достигаться равенство:

( ∘--------- |{ ∘4−-(x− 2)2 = 2 | 1−√ (x− 2)2 = 1 ( 3+ 2x − x2 =3

{ (x − 2)2 = 0 2x − x2 =0

x= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#71016

В уравнении

2022 2021 2020 x − 2x − 3x − ...− 2022x− 2023 =0

можно как угодно переставлять коэффициенты при всех степенях $x$ , кроме самой старшей. Можно ли такой перестановкой добиться, чтобы уравнение имело хотя бы два положительных корня?

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, какой в этой задаче может быть ответ: если ответ да, то необходимо предъявить пример. Не очень хочется подбирать коэффициенты и искать корни. Давайте попробуем доказать, что, как бы мы не меняли коэффициенты местами, положительных корней будет не больше 1. На что вас наводит последнее предложение?

Подсказка 2

На монотонность! Вспомните, если функция строго монотонна, то она имеет не более 1 корня. Давайте попробуем найти здесь что-то похожее. Пускай (a₂, a₃, ..., a₂₀₂₃)- произвольная перестановка чисел (2, 3, ..., 2023). Тогда наш многочлен имеет вид: x²⁰²²-a₂x²⁰²¹-...-a₂₀₂₃=0. Нам мешаются минусы, может, перенести их в правую часть?

Подсказка 3

x²⁰²²=a₂x²⁰²¹+...+a₂₀₂₃. Теперь справа у нас монотонная функция, при x>0. Но слева у нас также монотонная функция, поэтому сразу завершить решение не получится. Что можно сделать, чтобы слева у нас стояла константа?

Подсказка 4

Можно поделить обе части на x²⁰²² (т.к. нас интересуют положительные корни, мы можем это сделать). Тогда: 1=a₂/x+a₃/x²+...+a₂₀₂₃/x²⁰²². Что мы можем сказать про функцию, стоящую справа?

Подсказка 5

Она строго убывает. Действительно, при увеличении x знаменатель каждой дроби увеличится, а значит, сами они уменьшатся. ⇒ Справа функция монотонно убывает, а слева константа, равная 1 ⇒ она пересекает ее не более чем в 1 точке. Победа!

Показать ответ и решение

Докажем, что это невозможно.

От исходного уравнения перейдем к уравнению, в котором коэффициенты многочлена образуют произвольную перестановку $(a2,a3,...,a2023)$ из чисел ${2,3,...,2023}:$

2022 2021 2020 x − a2x − a3x − ...− a2022x− a2023 = 0

Заметим, что $x= 0$ не является корнем уравнения, т.к. при его подстановке в уравнение получим:

− a2023 =0,

что неверно.

Перенесём все отрицательные члены направо, а затем поделим уравнение на $x2022$ (при условии $x⁄= 0$ ):

x2022 = a2x2021+a3x2020+ ...+ a2022x +a2023

1= a2+ a32 + ...+ a22020221 + a22002322 x x x x

В правой части уравнения получили строго монотонно убывающую на положительной полуоси функцию:

f(x)= 20∑22ak+1 k=1 xk

Доказательство строгой монотонности: пусть $x1 > 0,x2 > 0,x1 <x2.$ Тогда для любого $k ∈{1,2,...,2022}$ выполнено:

ak+k1< ak+k1⇒ f(x2)< f(x1) x2 x1

Строгое монотонное убывание $f(x)$ на положительной полуоси означает, что она пересекает горизонтальную прямую $y = 1$ в единственной точке, которая и будет единственным положительным корнем исходного уравнения.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#69996

Решите уравнение:

|| ∘ ----2|| √- ∘ ----2- |2x − 1− 4x |= 4 2⋅x⋅ 1− 4x

Источники: Росатом-2023, 10.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем с базовых вещей. Напишите ОДЗ и подумайте, как на этих ограничениях грамотно избавиться от модуля

Подсказка 2

Конечно, необходимо возвести обе части в квадрат и сделать преобразования. Заметим, что выражение 1-4x² встречается в обеих частях уравнения. Хочется сделать замену, однако если заменить t = sqrt(1-4x²), получим уравнение с двумя неизвестными, зависящими друг от друга, что плохо. Какая замена будет более удобной?

Подсказка 3

Замена: t = 4x * sqrt(1-4x²). Осталось дорешать квадратное уравнение на t, затем биквадратное на x и не забыть проверить все ограничения!

Показать ответ и решение

Уравнение эквивалентно системе

(| x≥ 0 |{ 2 ||( 1(− 4x√≥-0--)2 ( √- √-----)2 ⇐ ⇒ 2x − 1− 4x2 = 4 2x 1− 4x2

( |{ x≥ 0[ 1 1] |( x∈2 − 2;√2----2 2 2( 2) 4x − 4x 1− 4x + 1− 4x = 32x 1 − 4x

В итоге получаем

{ x∈[0;1] −4x√12−-4x2-+1= 32x2(1 − 4x2)

Введем переменную $t= 4x√1-− 4x2, t≥ 0$ . Тогда уравнение принимает вид

2 −t+ 1= 2t

2 2t +t− 1= 0

Решая квадратное уравнение, находим $t= −1, t= 1 2$ . С учетом неотрицательности $t$ , выбираем $t= 1 2$ . В итоге получаем уравнение для нахождения $x$

4x∘1-− 4x2 = 1, x ∈[0;1] 2 2

Решим это уравнение

( ) 64x2 1− 4x2 = 1 ⇐⇒ 256x4− 64x2+1 =0 =⇒

32± √322−-256 32 ±16√3 2±√3- =⇒ x2 =-----256----- = --256---= -16--> 0.

Тогда, с учетом неотрицательности $x$ , находим $√--√- x = -2±4-3$ . Осталось проверить условие $x≤ 12 :$

∘---√- -2±--3-≤ 1 4 2

√ - 2± 3≤ 4

± √3≤ 2

Неравенство верно, значит, оба корня подходят.

Ответ:

$√2-±√3 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#68260

Решите уравнение

√ ---- √----x √---- √ ----x √---- ( 2023+ 2022)− ( 2023− 2022) = 8088

Источники: БИБН-2023, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение выглядит как-то пугающе и, наверное, классические методы решения здесь не подойдут. Попробуйте как-то поисследовать функцию в левой части уравнения.

Подсказка 2

Если исследовать функцию в левой части уравнения на монотонность, то можно понять, что она возрастает на всей области определения.

Подсказка 3

Левая часть уравнения возрастает, а правая - константа. Это говорит о единственности корня, который можно попробовать угадать.

Показать ответ и решение

Заметим, что $√8088-=2√2022,$ отсюда нетрудно видеть, что $x= 1$ является решением. Далее покажем, что функция в левой части строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, мы видим разность возрастающей (основание больше 1) и убывающей (основание меньше 1) показательных функций, которая строго возрастает. Отсюда равенство имеет не более одного решения, которое уже было найдено.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#68245

Найдите все вещественные решения следующего уравнения с $4$ неизвестными:

2 2 2 2 x + y +z + t = x(y+ z+ t)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Относительно замен y,z,t - уравнение равноправно. Вот справа у нас 4 слагаемых второй степени, а слева - 3 слагаемых, условно, «второй степени» (то есть ху,xz,xt ). При этом, если мы увеличиваем х, то чаще всего увеличивается сильнее х^2, аналогично с у,z,t. Все это наталкивает нас на мысли о том, что левая часть как будто всегда больше или равна правой. Но если мы пытаемся решить задачу так, как это доказать?

Подсказка 2

Можно доказывать это просто используя какие-то неравенства и оценки. Однако в силу того, что здесь степени не больше 2, можно рассматривать это как квадратное уравнение относительно какой-нибудь переменной, ведь если то, что наш квадратный трехчлен всегда больше или равен 0, то его дискриминант всегда меньше или равен 0, и наоборот. Таким образом, можно доказать, что дискриминант нашего уравнения относительно какой-то переменной неположителен. Вот только относительно какой переменной? Мы, в теории, хотим, чтобы наш дискриминант получился симметричным, относительно переменных, которые в нём есть (с таким удобно работать). Значит, нужно решать относительно х

Подсказка 3

Дискриминант получится равным 2(yz+zt+ty-t^2-z^2-y^2)-(t^2+z^2+y^2). Ого, но ведь первая скобка - это достаточно популярная конструкция, такое выражение всегда отрицательно. Хмм… Вот только мы забыли, почему это так. А может быть, разложить как-то на сумму квадратов?

Подсказка 4

Действительно, это просто (y-t)^2+(z-t)^2+(z-y)^2 ≤ 0. При этом второе слагаемое в дискриминанте тоже неположительно, так как это сумма квадратов. Значит, весь дискриминант неположителен. Ура! Значит, остаётся понять, когда достигается равенство, и записать ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Посмотрим на это как на квадратное уравнение относительно $x.$ Его дискриминант равен

2 2 2 2 2 2 2 (y+ z+ t) − 4(y + z +t )= 2(yz+ zt+ yt)− 3(y +z + t)=

2 2 2 2 2 2 = 2(yz+ zt+yt− y − z − t)− (y +z + t)

Вспомним известное неравенство

y2+z2+ t2 ≥yz+ zt+yt,

которое можно доказать так:

2(y2+ z2+ t2− yz+ zt+ yt)≥ 0 ⇐⇒ (y− z)2+ (z− x)2+(x− y)2 ≥0

Теперь мы видим, что дискриминант состоит из суммы двух неположительных слагаемых

2(yz+ zt+yt− y2− z2− t2)

−(y2+z2+ t2)

Таким образом, решения могут быть лишь когда эти слагаемые равны $0.$ Это возможно лишь при $y = z = t= 0,$ значит и $x =0.$

Второе решение.

Явно докажем, что левая часть не меньше правой, то есть

x2− x(y+z +t)+y2+ z2+ t2 ≥ 0 ⇐⇒

y+ z+t 3 1 (x− --2---)2+ 4 ⋅(y2 +z2+ t2)− 4 ⋅(2ty+ 2yz+ 2zt) ⇐ ⇒

y+-z+-t2 1 2 2 2 2 2 2 (x− 2 )+ 4 ⋅(y − 2yz+ z + t− 2ty +y + t − 2tz+z )≥ 0

Последнее верно в силу неотрицательности каждого из квадратов.

y+ z+ t 4(x− ---2---)2+ (y− z)2+ (z− t)2+ (t− y)2 ≥ 0

Для равенства правой и левой части из условия должно выполняться

( |||| 2x= y+ z+ t { y− z = 0 |||| z− t= 0 ( t− y = 0

Сразу получаем, что решением является четвёрка $x= y = z = t=0.$

Ответ: (0, 0, 0, 0)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#68244

Решите уравнение

2 2 x + 10y − 6xy+ 4y +4= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что здесь есть каждый из квадратов(х и у) и попарное произведение. Плюсом к этому есть часть (y+2)^2 - 4y+4. На какие мысли это может натолкнуть?

Подсказка 2

Да, это может натолкнуть на такую группировку (x-3y)^2+(y+2)^2=0. Так, то есть у нас два слагаемых, которые квадраты, и при этом их сумма равна 0. Какой вывод из этого можно сделать?

Показать ответ и решение

Заметим, что

2 2 2 2 x +10y − 6xy +4y+ 4= (x− 3y) +(y+ 2) =0

откуда $y = −2,x= −6.$

Ответ:

$(−6;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#68179

Найдите сумму всех корней уравнения:

∘--2-------------- ∘--2-------------- ∘--2-------------- 2x − 2024x+ 1023131+ 3x − 2025x+ 1023132+ 4x − 2026x+ 1023133=

=∘x2-−-x+1-+∘2x2-− 2x+-2+ ∘3x2−-3x+-3

Источники: ФЕ-2023, 11.1 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется разбить радикалы по парам. Как связаны подкоренные выражения в одной паре?

Подсказка 2

Они отличаются на x^2-2023x+1023130. Тогда хочется написать какую-то оценку...

Подсказка 3

Если это выражение больше 0, то левая часть больше правой, если же это выражение меньше 0, то левая часть меньше (при условии существования обеих частей). Когда тогда может достигаться равенство?

Подсказка 4

Только если x^2-2023x+1023130=0. Отсюда находим x, и не забываем проверить, что выражения существуют!

Показать ответ и решение

Обозначим

2 1 2 3 f(x)= x − x+ 1= (x −2) + 4 >0

g(x)= x2− 2023x+ 1023130=(x− 1010)(x− 1013)

Тогда уравнение имеет вид

∘ --------- ∘--------- ∘ --------- ∘ ---- ∘---- ∘ ---- f(x)+ g(x)+ 2f(x)+g(x)+ 3f(x)+ g(x)= f(x)+ 2f(x)+ 3f(x)

Если какое-то значение $x$ является решением, то $g(x)= 0,$ ведь иначе левая часть больше (при $g(x)> 0$ ) или меньше (при $g(x) <0$ ) в силу монотонного возрастания функции $√- h(t)= t$ на своей области определения.

При этом легко видеть, что все решения $g(x)=0$ являются и решениями исходного уравнения (будет верное тождество, при этом обе части определены в силу положительности функции $f$ ), то есть это не только необходимое, но и достаточное условие.

Корнями уравнения $g(x)= 0$ являются числа $1010$ и $1013$ . Их сумма равна $2023.$

Ответ: 2023

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67825

Решите уравнение

6 5 4 3 2 x − x +x − x + x − x +1 =0

Показать ответ и решение

При $x= −1$ в левой части получается $1+ 1+ 1+1 +1+ 1+ 1,$ так что $x= −1$ это не корень, поэтому мы можем домножить обе части уравнения на $x+ 1:$

(6 5 4 3 2 ) 6 5 4 3 2 xx − x + x − x +x − x+ 1 +x − x + x − x + x − x+ 1= 0

7 6 5 4 3 2 x − x + x − x +x − x + x +

+ x6− x5+x4− x3+ x2− x +1 =0

x7+1 =0

x7 =− 1

Как мы уже отметили, $x =− 1$ не является корнем, и других решений у уравнения нет.

Ответ: корней нет

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#67536

Решите уравнение

x(x+ 1)(x+ 2)(x+3)= 0,5625

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких случаях, когда мы видим много скобочек, бывает полезно разбить скобочки на группы и выполнить умножение внутри групп, ориентируясь на то, чтобы после умножения пары стали в чём-то похожи.

Подсказка 2

Здесь лучше разбить скобки на две пары, например, чтобы в результате умножения в каждой паре был одинаковый коэффициент при х.

Подсказка 3

Умножьте первую скобочку на последнюю, а вторую на третью. Получатся две очень похожие скобочки. Замените общую часть на временную переменную и решите полученное уравнение. Не забывайте про обратную замену!

Показать ответ и решение

9- x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)= 16

Сгруппируем сомножители:

9 x(x +3)⋅(x+1)(x+2)= 16

(x2+ 3x)⋅(x2+ 3x+ 2)= -9 16

Пусть $t=x2+ 3x.$ Тогда:

t(t+ 2)= 9-|⋅16 16

16t2+ 32t− 9= 0

D 4-= 162+9 ⋅16= 16⋅25.

t= −16±-20= −1± 5 16 4

t∈ {− 9,1} 4 4

Выполним обратную замену:

1.: $t= − 9. 4$ Тогда
$4x2+12x+ 9= 0,x =− 3 2$
2.: $1 t= 4.$ Тогда
$√ -- ∘ -- 4x2+ 12x− 1 =0,x= −-6±-40-= − 3 ± 5. 4 2 2$

Ответ:

$− 3,− 3±∘ 5 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67152

Решите уравнение

( 2 ) x − 5x (x+ 3)(x− 8)+108= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть скобка где стоит что-то квадратное, и две скобки-одночлены. Давайте перемножим скобки-одночлены между собой, вдруг выйдет что-то похожее)

Подсказка 2

Вышло x^2-5x-24, что как раз похоже на первую скобку, но с -24. Тогда давайте сделаем просто замену t = x^2-5x и решим квадратное уравнение, после сделаем обратные замены)

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

( 2 )( 2 ) x − 5x x − 5x − 24 + 108= 0

Пусть $2 x − 5x= t$

t(t− 24)+ 108 =0

2 t − 24t+ 108= 0

[ t=6 t=18

Обратная замена:

[ t =6⇒ x2 − 5x− 6= 0⇔ x =6 x =−1 2 5±-√97 t= 18⇒ x − 5x− 18= 0⇔ x= 2

Ответ:

$5±√97; 6; − 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#67151

Решите уравнение

3 3 (x+ 5)+ (x+ 7) = 8

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим внимательнее на левую часть как на функцию. Это сумма двух кубических функций. А справа у нас стоит константа. Есть ли в этом что-то примечательное?

Подсказка 2

Кубическая функция - монотонная) Т.е. слева стоит монотонная функция как сумма двух монотонных функций! Остается угадать корень и объяснить, что только он один и подойдет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После замены $x +6 =t$ получаем уравнение

3 3 (t− 1)+ (t+1) = 8

3 2t+ 6t− 8 =0

2(t− 1)(t2+ t+4)= 0

t= 1 =⇒ x= −5

Второе решение.

Левая часть является монотонно возрастающей функцией как сумма двух монотонно возрастающих кубических функций. Поэтому значение $8$ она может принимать не более, чем в одной точке. Легко видеть, что это значение достигается при $x= −5,$ потому что $x +5= 0,x+ 7=2 =⇒ (x+ 7)3 = 8.$

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#67150

Решите уравнение

3 2 --8--- x − x − x3− x2 = 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут сразу напрашивается замена x^3-x^2 = t. Тогда если все привести к одному знаменателю, то будет квадратное уравнение относительно t в числителе)

Подсказка 2

После решения квадратного уравнения нужно делать обратную замену, но тут выходит какое-то кубическое уравнение...Постарайтесь угадать корень и поделить это уравнение на соответствующий одночлен)

Показать ответ и решение

Сделав замену $t=x3 − x2$ получаем

8 t2− 2t− 8 { t2− 2t− 8 =0 t− t = 2 ⇐ ⇒ ---t----= 0 ⇐ ⇒ t⁄=0

[ t= −2 t= 4

Обратная замена:

t=4 =⇒ x3− x2− 4 =0

(x − 2)(x2+ x+ 2)=0 ⇐ ⇒ x =2

t= −2 =⇒ x3− x2+ 2= 0

(x +1)(x2− 2x+ 2) =0 ⇐⇒ x =−1

Ответ:

$− 1; 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#66209

Решите систему уравнений:

(| x +[y]+ {z}= 3,9 { y +[z]+ {x}= 3,5 |( z+ [x]+ {y} =2

Показать ответ и решение

Давайте вспомним, что для любого числа $a$ верно: $a =[a]+{a}.$ Тогда сложим все эти три уравнения, применив это тождество, и получим:

2(x+ y+ z)=9,4;

x+ y+z =4,7.

Теперь вычтем из полученного уравнения каждое уравнение системы:

(|{ (y− [y])+(z− {z})= 0,8; (z− [z])+(x− {x})= 1,2; |( (x− [x])+(y− {y})= 2,7.

Теперь воспользуемся следствием из тождества:

( |{ {y}+ [z]= 0,8; | {z}+ [x]= 1,2; ( {x}+ [y]= 2,7.

Так как дробная часть любого числа лежит в полуинтервале $[0;1),$ то получим следующие неравенства:

( |{ 0,8− 1= −0,2 <[z]≤ 0,8; | 1,2 − 1= 0,2< [x]≤ 1,2; ( 2,7 − 1= 1,7< [y]≤2,7;

Тогда получим, что $[z]= 0,[x]=1,[y]= 2.$ Откуда получим, что ${y}= 0,8;{z} =0,2;{x}= 0,7.$ Тогда $x =1,7;y =2,8;z =0,2.$

Ответ:

$(1,7;2,8;0,2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#63594

Решите систему уравнений

{ 23x+1 +2y−2 = 3⋅2y+3x ∘3x2-+1+-xy = √x+-1

Показать ответ и решение

Возводя второе уравнение в квадрат, получим

2 3x + xy = x ⇐⇒ x= 0 или 3x+ y = 1

Если $x= 0$ , то второе уравнение верно, а в первом получаем

y−2 y 2y- y y -8 8- 2 +2 = 3⋅2 ⇐ ⇒ 2+ 4 = 3⋅2 ⇐ ⇒ 2 = 11 ⇐ ⇒ y =log2 11

Иначе $3x +y =1,y = 1− 3x$ . На ОДЗ $x >−1$ , второе уравнение выполнено, поэтому подставим это в первое

3x+1 −1−3x 1 3x 1 2 + 2 = 3⋅2 ⇐ ⇒ [2 =t] ⇐ ⇒ 2t+ 2t − 6= 0 ⇐ ⇒

√-- √- ⇐ ⇒ 4t2− 12t+ 1= 0 ⇐⇒ t= 6±--32= 3±-2-2 4 2

Поскольку $x> −1$ , то $√- 23x > 2−3 = 18 > 3−22-2$ , поэтому остаётся только одно решение $( √-) ( √-) x = 13 log2 3+22-2 ,y = 1− 3x =1− log2 3+22-2 .$

Ответ:

$(0,log -8),(1log (3+2√2),1− log (3+2√2)) 211 3 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#76458

Назовём число $x$ полуцелым, если число $2x$ — целое. Полуцелой частью числа $x$ назовём наибольшее полуцелое число, не превосходящее $x,$ и будем обозначать $]x[.$ Решите уравнение

2 x + 2⋅]x[= 6

Источники: Изумруд-2022, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, даны какие-то полуцелые части. Понятно, что сразу же напрашивается аналогия с целой и дробной частью. Когда мы делим число x на целую —[x], и дробную — {x} части, мы можем записать, что х=[x]+{x}, где [x] — целое число, а {x} лежит на [0,1). Здесь, чтобы облегчить себе жизнь, поступим так же и запишем подобные ограничения на полуцелую часть числа и “остаток”, который получается после ее вычитания.

Подсказка 2

Если обозначить за n/2 полуцелую часть, то можно записать, что x = n/2+r. Получаем уравнение на n и r и имеем соответствующие ограничения на эти величины. Далее нужно будет активно использовать то, в каких пределах лежит r, и вспомнить, какие приемы можно использовать в подобных задачах с целой и дробной частью.

Подсказка 3

Удобнее будет отдельно рассмотреть положительные и отрицательные n. Дальше только аккуратные преобразования, нахождение n, подстановка и нахождение r :)

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая.

1) Число $x$ — полуцелое, тогда $]x[= x$ и исходное уравнение примет вид

2 x + 2x − 6 =0

Корнями данного уравнения являются числа $x1,2 = −1± √7,$ но тогда числа $2x1,2$ не являются целыми, значит решений нет.

2) Имеет место равенство

n x= 2 +r,

где $n ∈ℤ$ и $1 0 <r < 2,$ тогда

[ n ]x = 2

А также исходное уравнение примет вид

(n )2 2 + r + n− 6=0

Выразим из уравнения $r$ и получим

r= − n± √6−-n 2

Решения существуют только при $n≤ 6.$ Найдём все $n,$ удовлетворяющие неравенству

n< ±√6-− n-< n+-1 2 2

Если $n≥ 0$ , то $n+-1> 0 2$ и может иметь решение только лишь неравенство

n √ ---- n+-1 2 < 6− n < 2 ,

которое после возведения в квадрат равносильно

2 2 n < 4(6− n)< (n +1)

{ n2+ 4n− 24 <0 n2+ 6n− 23 >0

(|{ − 2− 2√7-< n< −2+ 2√7 [ n >− 3+ 4√2- |( n <− 3− 4√2-

Поскольку $√- √- 2< −3+ 4 2< 3,3< −2+ 2 7< 4,$ и $√- √- − 3− 4 2< −2− 2 7$ , то $n =3$ — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

x= n + r=√6-−-n= √3 2

Если $− 1< n< 0,$ то решений нет, так как $n$ — целое.

Если $n≤ −1$ , то $n-+1 ≤0 2$ и может иметь решение только лишь неравенство

n2 > 4(6− n)> (n +1)2

{ n2+ 4n− 24 >0 n2+ 6n− 23 <0

[ (|{ n >− 2+ 2√7- n <− 2− 2√7- |( − 3− 4√2-< n< −3+ 4√2

Поскольку $√- √- − 9< −3− 4 2< −8,−8< −2 − 2 7 <− 7,$ и $√ - √- − 3+ 4 2< −2+ 2 7,$ то $n= −8$ — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

x = n+ r= −√6-− n =− √14 2

Ответ:

$√3,− √14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#74949

Решить уравнение

∘-2------- ∘-2--- 3√---- √3----- x + 4x− 2− x + 6= x +3− 3x − 1

Источники: САММАТ-2022, 11.5 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуем равенство так, чтобы получилось равенство сумм, а после - попробуем рассматривать обе части равенства как функции. Что интересного можно заметить?

Подсказка 2

Заметим, что обе части можно выразить как одну и ту же функцию, но от разных переменных: от 3 и 2x - 1. Попробуем тогда исследовать функцию и найти ее корни!

Подсказка 3

Функция оказывается монотонной...подумаем, что же это означает)

Показать ответ и решение

Обозначим функции

∘-2---- 3√---- F (x,y)= x + 2y+ x+ y, g(x) =3, h(x)= 2x − 1,

тогда

∘-2--- 3√---- ∘-2------- 3√----- F (x,g(x))= x + 6+ x +3, F (x,h(x))= x + 4x− 2+ 3x− 1

Поэтому исходное уравнение можно записать в виде

∘x2+-4x−-2− ∘x2+-6= 3√x-+3− √33x-− 1

F(x,g(x))= F(x,h(x))

Пусть $x0$ — корень исходного уравнения, тогда $x0$ также является корнем уравнения

F (x0,g(x))= F(x0,h(x))

Но так как функция

∘------ √----- f(y)=F (x0,y)= x20+ 2y+ 3x0+ y

является строго возрастающей по переменной $y$ при всех $x2 y ≥ −-02 ,$ тогда полученное уравнение равносильно уравнению

F(x0,g(x))= F (x0,h(x))⇔ g(x)= h(x)

2x− 1= 3⇔ x0 = 2

Нетрудно проверить, что $x0 = 2$ попадает в область допустимых значений и является корнем исходного уравнения:

∘ 2--------- ∘-2--- √-- √-- 3√- √3- 3√---- 3√------ 2 +4⋅2− 2− 2 + 6= 10− 10= 0= 5 − 5= 2+ 3− 3 ⋅2 − 1

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#74467

Числа $x,y$ удовлетворяют уравнению

∘ -3--- ∘ -3--- ∘-3--- ∘-3--- x +y + y +x = x + x+ y + y

Можно ли утверждать, что $x= y?$

Источники: БИБН-2022, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как говорится, начнем с ОДЗ. Видно, что нам хватит того, что x,y≥0. Тогда мы можем с чистой совестью возвести обе части в квадрат. Что останется после приведения подобных?

Подсказка 2

Верно, √(x³y³+xy+x⁴+y⁴)=√(x³y³+xy+xy³+x³y)! Можно еще раз возвести в квадрат. Кажется, что после приведения подобных отлично выносится (x-y)...

Подсказка 3

Действительно, x⁴+y⁴-x³y-xy³=(x-y)²(x²+xy+y²). Подумайте, при каких x и y наше выражение обращается в 0 и завершите решение!

Показать ответ и решение

Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку

3 ( 2 ) x + x≥ 0⇔ x x + 1 ≥0,

то $x≥ 0.$ Аналогично, $y ≥0.$ Таким образом, для неотрицательных $x,y$ обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так: