Логарифмы —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Логарифмы

Тема АЛГЕБРА

Логарифмы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Логарифмы

Свойства логарифмов и базовые уравнения

Сведение логарифмов к квадратному

Неравенства попроще

Метод рационализации

Неравенства посложнее

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83741

Решите систему

(| log3x⋅log4y 1 ||||| log2(xy) = 3 ||{ log3y⋅log25z 3 || --log5(yz)- = 5 ||||| log z⋅logx |( --l27og16(zx2)- = 1

Источники: Звезда - 2024, 11.2 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, от дробей здесь нет пользы, они только пугают. Может, избавится от них? Только не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Получается как-то очень много одинаковых логарифмов. Когда много одинакового, то на помощь приходит замена.

Подсказка 3

Система из трёх не очень страшных уравнений, можно и подстановкой попробовать решить. Но не забывайте проверять решения на ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x> 0 ||||| y > 0 |||{ | z > 0 ||||| xy ⁄= 1 |||( yz ⁄= 1 zx⁄= 1

Преобразуем систему к виду

(|| 3log x⋅log y = 2log (xy) |{ 3 2 2 ||| 5log3y⋅log5z = 6log5(yz) ( 4log3z⋅log2x= 3log2(zx)

Сделаем замену: $log3x= u,log3y = v,log3z =t.$ После преобразований получаем систему

( |{ 3u⋅v = 2(u+v) |( 5v⋅t= 6(v+ t) 4t⋅u= 3(u +t)

Из первого уравнения системы выразим

-2u-- v = 3u− 2

Из третьего уравнения выразим

3u t= 4u-− 3

Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение

u2− u =0

При $u =0$ получаем $v = t= 0,$ но соответствующие значения $x,y,z$ не удовлетворяют ОДЗ. При $u =1$ получаем $v = 2,t=3,$ следовательно, $x= 3,y =9,z = 27.$

Ответ:

$(3,9,27)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80762

Для целых чисел $x$ , $y$ , $z$ известно, что $x ln16+ yln8 +zln24= ln6$ . Найдите наименьшую возможную сумму $x2+ y2+ z2$ .

Источники: Физтех - 2024, 11.2 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем. У нас есть сумма произведений каких-то констант на х, y, z. При этом, нам надо максимизировать x^2 + y^2 + z^2. Какое неравенство нам это напоминает? Что первым приходит в голову здесь?

Подсказка 2

Конечно же, неравенство КБШ! Тогда, по этому неравенству у нас выходит, что ((ln16)^2 + (ln8)^2 + (ln24)^2)(x^2 + y^2 + z^2) >= (ln6)^2. Тогда, выходит, что мы получили оценку на минимум нашей суммы. Достигается ли в КБШ равенство, если да, то когда?

Показать ответ и решение

xln16+y ln8+ zln24=ln6

4x ln2+ 3yln 2+z(3ln2 +ln3)= ln2+ ln 3

(4x+ 3y+3z− 1)ln2+ (z− 1)ln3= 0

ln(24x+3y+3z−1⋅3z−1)= 0

24x+3y+3z− 1⋅3z−1 = 1

Так $x, y, z ∈ℤ,$ то из последнего уравнения вида $a b 2 ⋅3 = 1; a, b∈ Z$ получаем $a =0,b= 0$ , то есть следующую систему:

{ 4x+ 3y +3z = 1 ⇔ 4x+3y =−2 ⇔ y = −x − x-+2 z = 1 3

Поскольку $x, y ∈ ℤ,$ то $x+2 =k ∈ℤ, =⇒ y =2− 3k− k= −4k+ 2. 3$ С учётом равенств $z = 1, x= 3k− 2, y = 2− 4k$ запишем $2 2 2 x + y + z :$

2 2 2 2 2 2 x + y +z = 1+ 9k +4 − 12k+ 4+16k − 16k =25k − 28k+ 9

2 2 2 2 x + y +z = 25k − 28k+ 9→ min

Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы $25k2− 28k+9,$ ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.

-28- 14 kверш. = 2⋅25 = 25

Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при $k= 1.$ Тогда искомое значение равняется

x2+ y2+ z2 =1 +4+ 1= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77212

Решите систему уравнений

(| lg x +lgy +lg z = 2; { lg2y+ l4gz +lg4x= 2; |( 3 9 9 lg4z+ lg16x+ lg16y = 2.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x,y,z > 0$

( lgx +lg y+ lg z = 2; ( lg x+ 1lg y+ 1lg z = 2; (1) |{ 2 4 4 ⇔ |{ 2 21 2 21 2 |( lg3y +lg9z+lg9x= 2; |( lg13y+ 2l1g3 z+ 2lg13x= 2; (2) lg4z +lg16x +lg16y =2. 2lg2z +4 lg2x+ 4lg2y = 2. (3)

$(1)− (3):$

1 1 ( 1 1 ) lg2x+ 2lg2y+ 2lg2z − lg3y+ 2lg3z +2 lg3 = 0,

3 1 1 4lg2x + 4lg2y = 0⇒ y = x3. (4)

Запишем уравнения в системе в один логарифм:

( ( √ -- ( √ -- |{ lg2x+ lg4y+ lg4z = 2; |{ lg2(x√ yz)=2; |{ x√ yz-=4; (∗) | lg3y+ lg9z+ lg9x= 2; ⇔ | lg3(y xz)x =2; | y xz =9; (∗∗) ⇔ ( lg4z+ lg16x+lg12 y = 2. ( lg4(z√xy-)=2. ( z√xy =4. (∗∗∗)

Подставляя $(4)$ в $(∗)$ и $(∗∗)$ получаем:

(| ∘-z { x = 4, |( 1-√xz = 9. x3

Поделим первое уравнение на второе и получим:

∘-z ---x--= x3 = 4⇒ x = 2⇒ y = 27,z = 32. 1-√xz x 9 3 8 3 x3

Ответ:

$(2,27,32) 3 8 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68968

а) Может ли для некоторых $a,b$ оказаться, что

log2a ⋅log2b =log2ab?

б) Может ли для некоторых $a,b$ оказаться, что

log2a +log2b =log2(a+ b)?

в) Могут ли при каких-то $a,b$ выполняться оба равенства?

Источники: КФУ-2023, 11.2 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как выглядят свойства логарифма, вас в этой задаче пытаются немного запутать!

Подсказка 2

У нас две неизвестные и одно уравнение (в пунктах а и б по отдельности). Обычно когда переменных больше, чем уравнений, то у нас есть решения и их довольно много.

Подсказка 3

Чтобы придумать пример, можно взять a равным какому-то "хорошему" числу и попытаться решить уравнение относительно b. Таким образом вы найдёте примеры для пунктов а и б.

Подсказка 4

Теперь давайте подумаем про пункт в. У нас уже два уравнения и две неизвестные. Обычно это означает, что если решения и есть, то их мало, а может их и вовсе нет. Поэтому тут метод подбора уже скорее всего не сработает, нужно попытаться решить систему из двух уравнений...

Подсказка 5

У вас вряд ли получится решить эту систему так, как вы обычно решаете логарифмические уравнения, скорее всего, понадобятся оценки и понимание монотонности для доказательства того, что решений нет. Самый топорный способ: выразить a через b, подставить в другое уравнение, получить уравнение относительно b и показать (например, с помощью производной), что у него нет решений. Однако можно решить и более красиво через оценки...

Показать ответ и решение

Ясно, что числа $a$ и $b$ положительны.

a) Условие можно переписать в виде $log2(a)⋅log2(b)= log2(a)+ log2(b)$ . Если $log2(a) ⁄=1$ , то $log2a-- x =log2b = log2a−1$ , $x b= 2$ . Например, при $a = 4$ имеем $log2a =2$ , $2-- x = 2−1 =2$ , $b= 4$ .

б) Равенство сводится к соотношению $ab= a+ b$ . Например, при $a = 4$ получаем, что $-a- 4 b= a−1 = 3$

в) Условие вида $xy = x+ y$ можно переписать в виде $(x− 1)(y− 1)= 1$ . Предположим, что пункты а) и б) одновременно выполняются. Заданные неравенства можно переписать в виде

{ (log2(a)− 1)(log2(b)− 1)= 1 ab =a+ b

Из первого равенства следует, что $log a− 1 2$ и $log b− 1 2$ имеют одинаковый знак. То есть либо они оба положительны (тогда $a >2,b> 2$ ), либо оба отрицательны ( $a< 2,b< 2$ ). В силу положительности чисел $a$ и $-a- b= a−1$ имеем $a> 1$ .

Если $a> 2$

1 1 a− 1 >1;a−-1 < 1;b= 1+ a− 1-< 2

Если $1< a< 2$

0< a− 1< 1;a1− 1-> 1;b= 1+ a1−-1 > 2

Пришли к противоречию.

Ответ: а) Да; б) Да; в) Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67081

Решите неравенство

( 1) ( 1) logx2+x12 x− x >logx+x1 x− x

Показать ответ и решение

Для начала докажем следующее неравенство:

2 -1 a +a2 ≥2(a⁄= 0)

1 1 a2− 2a⋅a + a2 ≥ 0

( )2 a − 1 ≥ 0. a

Последнее неравенство, верно, значит, верно требуемое.Теперь выпишем ограничения на $x$ :

(| x2+ 1-> 0 ||||| x2 ||||| x2+ 12-⁄= 1 |||{ x1 | x −x > 0 ||||| 1 ||||| x +x > 0 |||( x + 1 ⁄= 1 x

Первые два уравнения выполнены всегда в силу доказанного. Тогда преобразуем оставшиеся:

(| x2− 1 ||||{ x > 0 x2+1- ||||| x > 0 ( x2− x +1 ⁄=0.

Первое уравнения верно для $x ∈(−1;0)∪ (1;+∞ ),$ второе - для $x ∈(0;+∞ ).$ Третье верно для всех $x,$ так как дискриминант меньше 0. Тогда $x∈ (1;+∞ ).$ Заметим, что если $x− 1∕x =1,$ то тогда неравенство не будет выполнено. Теперь преобразуем исходное неравенство с учетом ограничений:

------1(-----)-> -----1(---1)- logx− 1x x2 +x12 logx− 1x x+ x

-----(1---1-) −-----1(---1) > 0 logx− 1x x2+ x2 logx− 1x x+ x

( ) ( ) logx− 1x-x+-1x-−-logx− 1x-x2-+x12- log 1 (x2+ 1) ⋅log 1(x+ 1) > 0 x−x x2 x− x x

Тогда по методу рационализации:

(x − 1 − 1)(x+ 1 − x2−-12) (--1---)(-x---1---)x(---1--x)(--1---)->0. x −x − 1 x2+ x2 − 1 x− x − 1 x +x − 1

Так как при ограничении $x >1,$ то

1 √- 1 x+ x =( x)2+ (√x)2 ≥ 2,

по доказанному ранее. Тогда мы можем умножить на положительное число $( ) x(x+ 1x − 1)⋅ x2+ 1x2 − 1$

x3+x−xx4−1- (x− 1x − 1) > 0

4 3 −x-+2-x-+x-− 1-> 0 (x − x− 1)

Заметим, что $− x4+ x3+x − 1 =−(x− 1)2(x2+ x+1),$ что всегда меньше нуля при нашем ограничении на $x.$ Тогда имеем:

----1---- (x2− x− 1) < 0

x2− x− 1< 0

(1− √5 1+ √5) x∈ --2--,--2-- .

Тогда с учетом ограничений получим, что $x∈ (1,1+√5). 2$

Ответ:

$(1,1+√5) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64605

Решите неравенство

( 6 5-) ( 7 13) log|x+1| x + x2 > log|x+1| x + x2 .

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

( |x+1|> 0 ||||| { |{ |x+1|⁄= 1 =⇒ x> − 56 ||| x6⁄=x+05 x⁄= 0 |||( 7xx2+1>3 0 x2 > 0

Рассмотрим два случая:

1) $|x+ 1|∈(0,1)⇔ x ∈(−2,−1)∪(−1,0)$ , тогда логарифмическая функция убывает, а условие эквивалентно

6 -5 7 13 x +x2 < x + x2 ⇔ 6x +5< 7x+ 13⇔ x> −8

2) $|x+ 1|>1 ⇔ x∈(−∞, −2)∪(0,+ ∞)$ , в таких условиях получим

6 5 7 13 x +x2 > x + x2 ⇔ 6x +5> 7x+ 13⇔ x< −8

Осталось учесть ОДЗ и записать ответ.

Ответ:

$(− 5;0) 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#64603

Какое из двух чисел больше:

∘ 3- 1 1 2 или 92log3(1+9)?

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство

∘ 3- 10 ∘ 3- 10 3 100 2 ?3log39 ⇔ 2 ? 9-⇔ 2 > 81

Ответ: первое

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#64441

Решите уравнение

1 √--- 2 log3(−x − 16)− log3( − x− 4)= 1

Показать ответ и решение

Из ОДЗ $x≤ 0$ , заменим $t2 = −x$ , тогда $− x− 16 =t2− 16= (t− 4)(t+4)$ , получим

√t2− 16 log3 -t−-4--=log33 ⇐⇒ t2− 16= 9(t− 4)2 ⇐⇒ t∈ {4,5}

Далее $x = −t2 ∈{−16,−25}$ . Мы делали неравносильные переходы, поэтому нужно проверить ОДЗ и подставить для проверки, останется только $x= −25.$

Ответ: -25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64112

Решите неравенство

log1+|7x+17|(|3x+ 8|+ |7x +17|)≤ 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём с ОДЗ: выпишите и решите все ограничения. Также обратите внимание, какие значения может принимать основание логарифма?

Подсказка 2

Какое равносильное преобразование мы можем сделать, чтобы избавиться от логарифма? Сделайте его!

Подсказка 3

Основание логарифма точно больше 1, так что переход к неравенству на аргументы будет равносильным. Осталось решить обычное неравенство с модулем и записать ответ!

Показать ответ и решение

Неравенство эквивалентно

log1+|7x+17|(|3x+ 8|+ |7x+ 17|)≤ log1+|7x+17|(1+ |7x +17|)

Заметим, что основание логарифма на ОДЗ больше единицы, отсюда неравенство равносильно системе

{ 1+ |7x+ 17|⁄=1 0< |3x +8|+ |7x+ 17|≤ 1+ |7x+ 17|

{ 7x+ 17⁄= 0 −1 ≤3x+ 8≤ 1

{ x ⁄=− 177- −3 ≤x ≤− 73

Учтём, что $− 177-<− 73 ⇐⇒ −51< −49,$ и напишем ответ.

Ответ:

$[−3;− 17)∪(− 17;− 7] 7 7 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#75110

Решите неравенство

∘-----4 -1 log3xx ≤ log9xx2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логарифмы в обеих частях, с разными основаниями, x содержится и в аргументе, и в основании обоих логарифмов... Давайте "причешем" наше выражение. Для начала разберёмся с основаниями - попробуем вынести оттуда x и привести логарифмы к одному основанию

Подсказка 2

Перейдём, например, к основанию 3 (используя формулу о делении логарифмов с одним основанием), так как оба основания кратны трём. Кажется, всё ещё ничего не видно. Тогда продолжим причёсывать - теперь, когда у всех логарифмов общие основания, попробуем оставить всем логарифмам одинаковый аргумент.

Подсказка 3

Да, можем вынести степени и коэффициенты из аргумента логарифма, оставив везде только х, после чего заменить log₃ x на t - и получим неравенство без логарифмов, которые мы решать уже умеем!

Показать ответ и решение

Переходя в обоих логарифмах к основанию 3, имеем:

∘----4- log -1 ∘-------- lloog3g-x3x ≤ log3x92x-⇔ 41l+olgo3gxx-≤ −2+2lologg3xx. 3 3 3 3

Обозначаем $log3x =t$ и получаем:

∘ ---- (|| -t-≤ 0, (|| t--≤0, --t-≤ -−t-⇔ { 2+tt≥ 0, ⇔ { 2+tt-≥0, ⇔ 1+ t 2+ t ||( 1+tt≤ -t2-- ||( 1+t(3t+4)t--≤0 1+t (2+t)2 (1+t)(2+t)2

(| t∈(−2;0], ⇔ { t∈(−∞; −1)∪[0;+∞ ), |( t∈(−∞; −2)∪(−2;− 4]∪(−1;0], 3

откуда $t∈ (− 2;− 43]∪ {0}.$

Возвращаясь к переменной $x$ , окончательно получаем:

[ −2< log3x ≤− 43, [ 19 < x≤ √399 , log3x= 0 ⇔ x= 1.

Ответ:

$(1; 3√9]∪{1} 9 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#74946

Решите неравенство:

( (-x-))2020 ( ( -x-))2022 2022 4 1− ln 2021 + 1+ ln 2021 ≥ 2

Источники: САММАТ-2022, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень напрашивается замена страшного логарифма, поэтому давайте будем доверять своим желаниям и сделаем её. Пусть это t. Тогда так как при t = ±1 получается равенство, можно рассмотреть случаи расположения t относительно -1 и 1

Подсказка 2

Можно воспользоваться знанием про равенство при |t| = 1 и оценить левую часть при помощи этого.

Подсказка 3

Сразу сумму скобочек неудобно оценивать, но их можно оценить по отдельности: в каждом из случаев получается, что каждая скобочка больше или меньше 2 в какой-то степени, а в сумме удачно получается 2²⁰²²! А дальше не забываем про обратную замену и выписываем нужные х в ответ

Показать ответ и решение

Пусть $t= ln (-x-) , 2021$ тогда

2020 2022 2022 4(1− t) + (1+t) ≥ 2

Рассмотрим случаи:

$1)$

2020 2022 2022 2022 t≥ 1⇒ 4(1− t) +(1+ t) ≥ (1 +t) ≥2

$2)$

t≤ −1⇒ 4(1− t)2020+(1+ t)2022 ≥ 4(1 − t)2020 ≥22022

$3)$

−1< t< 1

( ( ) ( ) ) 4(1− t)2020+ (1+ t)2022 =22022 1−-t 2020+ 1+-t 2022 < 2 2

( 1− t 1+t) <22022 -2--+ -2-- = 22022

Так как

0< 1−-t<1, 0< 1+-t< 1 2 2

при $− 1< t<1.$

Следовательно, при $− 1< t< 1$ неравенство не выполнятся.

Тогда

⌊ ln(-x-) ≥ 1 |⌈ (2021) ln -x-- ≤ −1 2021

( ] x ∈ 0;2021- ∪[2021e;+ ∞) e

Ответ:

$(0;2021]∪ [2021e;+∞ ) e$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#74570

Вася придумал новую операцию на множестве положительных чисел

lnb a ∗b= a

Найдите логарифм числа $((aab∗a)∗)(a(bb∗)b)$ по основанию $a∗ b.$

Источники: ИТМО-2022, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Новая операция, придуманная Васей, конечно, прекрасна, но работать с ней неудобно, давайте несколько преобразуем её. Если сказать, что a = e^ln(a), тогда Васина операция примет вид a✱b = e^(ln(a)b). Что мы получим, если возьмем натуральный логарифм от данной операции?

Подсказка 2

ln(a✱b) = ln(a)ln(b). Такое обилие натуральных логарифмов явно намекает нам, что удобнее всего будет работать, если мы приведем наше выражение к новому основанию e.

Подсказка 3

Далее несколько раз воспользуемся свойствами логарифма и преобразуем произведения выражений под логарифмом в сумму логарифмов, а отношения - в разность.

Подсказка 4

В итоге должно получится ((ln(a) + ln(b))*(ln(a) + ln(b)) - ln(a)a - ln(b)b) / (ln(a)b). Попробуйте дойти от данного выражения до ответа путем несложных алгебраических преобразований.

Показать ответ и решение

Запишем операцию Васи в более удобном виде:

lnb lnalnb a∗b= a = e

Поэтому

ln(a∗b)= lna⋅lnb

Теперь нужно применить это для вычисления, попутно воспользовавшись свойством логарифмов

loga∗b (ab)∗(ab)-= (a∗ a)(b∗b)

ln-((ab)∗(ab))−-ln-((a∗a)−-ln(b∗b))- = ln(a∗b) =

= ln(ab)⋅ln-(ab)− lna⋅ln-a− lnb⋅ln-b lna⋅ln b

Обозначим $x =lna$ и $y = lnb.$ Тогда в числителе написано

(x+ y)(x+ y)− x2− y2 = 2xy,

а в знаменателе $xy$ . В результате дробь равна 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#70783

Положительные числа $a,b,c,d$ больше $1.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

( 2) (2 3) ( 56) ( 35 36) loga ab + logb bc +logc c d + logd d a

Источники: Курчатов-2022, 11.4 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала распишем нормально сумму с помощью свойств логарифма) Избавимся от степеней, выцепим просто числа и т.д. Что в конце остается?

Подсказка 2

В конце просто будет сумма из каких-то обычных чисел и логарифмов с коэффициентами, причем там логарифмы интересного вида: основание a и аргумент b, основание b и аргумент c, и т.д. Попробуйте придумать, как можно здесь сделать хорошую оценку)

Подсказка 3

Для начала докажите, что произведение таких 4ех логарифмов равно единице с помощью формулы перехода к новому основанию, а после просто примените неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом и получите нужную оценку! Только не забудьте привести пример, когда она достигается)

Показать ответ и решение

По формуле перехода к новому основанию $log b⋅log c⋅log d⋅log a= 1. a b c d$ Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа $a,b,c,d$ больше $1.$

Преобразуем и оценим имеющееся выражение

( 2) (23) ( 56) (35 36) S =logaab +logbb c + logc cd + logd d a =

( 2) ( 2 3) ( 5 6) ( 35 36) = logaa +logab + logbb + logbc + logcc + logcd + logdd +logda =

= (1+ 2logab)+ (2+ 3logbc)+ (5+ 6logcd)+ (35+ 36logda)≥

≥ (1+2 +5+ 35)+4∘42-log-b⋅3log-c⋅6log-d⋅36log-a-=43+ 4⋅6= 67 a b c d

здесь в последнем переходе использовалось неравенство между арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел $2logab,3logbc,6logcd,36logda.$

Также отметим, что значение $S = 67$ достигается, например, при $a= 2,b=$ $8,c= d= 64,$ поскольку все четыре числа $2loga b,3logbc,6logcd,36logda$ будут равны $6.$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#51849

Решить неравенство

√ ---- √ ---- 2 log2x−12( x+ 1− 9− x) <1.

Показать ответ и решение

ОДЗ определяется условиями:

√---- √ ---- x≥ −1, x≤ 9, x +1 > 9− x, 2x− 12> 0,2x− 12⁄= 1

x∈ (6;6,5)∪ (6,5;9]

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

2log (√x+-1− √9−-x)< log (2x − 12) (∗) 2x−12 2x−12

1) Пусть $x ∈(6,123 ),$ тогда неравенство (*) равносильно каждому из неравенств $(√x-+-1− √9-−-x)2 > 2(x− 6)$ , $11− x > √9+-8x-− x2$ , $121− 22x +x2 > 9+ 8x− x2$ , $x2− 15x+56 =(x− 7)(x− 8)>0,$ откуда следует, что значения $x$ из интервала $(6,123)−$ решения неравенства (*).

2) Пусть $x∈(13,9], 2$ тогда неравенство (*) равносильно неравенству $(x− 7)(x− 8)< 0,$ откуда $7< x< 8$ .

Ответ:

$(6;13)∪ (7;8) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#51848

Решить неравенство

√---(---x−-8--) log x−1 x2− 2x− 3 + 2≤ 0.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x − 8 x− 8 x2−-2x− 3-= (x-+1)(x-− 3) > 0,x> 1,x ⁄=2

x∈ (1;2)∪(2;3)∪(8;+∞ )

Так как $2= log√x−1(x− 1)$ при $x> 1,$ то исходное неравенство ОДЗ равносильно неравенству

(x− 8)(x− 1) log√x−1(x−-3)(x+-1) ≤ 0 (∗)

Рассмотрим два возможных случая: $1< x< 2$ и $x> 2.$

1.

Неравенство (*) равносильно каждой из систем неравенств

({ (x−8)(x−-1) ≥1, ({ --x− 117- ( (x−3)(x+1) ( (x−3)(x+1) ≤ 0 1< x <2; 1< x< 2

откуда следует, что $117-≤x <2$

2.

Неравенство (*) равносильно каждой из систем неравенств

( ( 11- { 0< (x(x−−83))(x(x−+11)) ≤ 1, { (x−x−3)(7x+1) ≥0 ( x> 2; ( x > 8

откуда получаем, что $x> 8.$

Ответ:

$[11;2)∪ (8;+∞ ) 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#46604

Решите неравенство

(1 ) ( 1 ) 1− x log8 3 − x log|2x+ 13| 3 − x > log2-3∘(3-1)2 2x+ 3

Показать ответ и решение

ОДЗ задаётся пересечением условий $x< 1,|2x + 1|⁄∈ {0;1} 3 3$ .

Обозначим $1 1 a = 3 − x,b= |2x+ 3|$ , получим

1 log2a 1 2 3log2a⋅log2-b = 3log2a ⋅logba> log2a− 3log2b ⇐⇒

Далее $u = log2a,v =log2b$ , тогда

-1u2 > u− 2v ⇐ ⇒ v(u− 2v)(u− v)> 0 3v 3

Рассмотрим два случая

Пусть $v >0$ , то есть
$(| log2||2x+ 1||> 0 (| ||2x+ 1||>1 { [ log (13− x) <log ||2x+ 1|| ⇐⇒ { [ 1 −3 x <||2x+ 1|| |( lo2g (31− x) >2l2og||2x+31|| |( 31 − x >(2x+ 31)2 2 3 2 3 3 3$
Заметим, что при $2 x <− 3$ выполнено первое неравенство объединения. Если $2 x≥ −3$ , то из первого неравенства системы верно $1 x> 3$ , что не выполнено из ОДЗ.
Теперь $v < 0$ . Здесь
${ | 1| (|{ ||2x+ 13||< 1 log2|2x| +3|<1|0 (1 ) | 1| ⇐ ⇒ 1− x< ||2x + 1|| 2log2|2x + 3|< log2 3 − x < log2|2x+ 3| |( 31− x> (2x+31)2 3 3$
Решим второе и третье неравенства и получим $x∈ (0, 1-) 12$ , что подходит в первое.

Ответ:

$(−∞;− 2)∪(0; 1) 3 12$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#37806

Решите уравнение

2 1 √-x-+5 1− log9(x+ 1) = 2log 3x +3

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x+-5 x+ 1⁄= 0,x+ 3 > 0

x ∈(−∞;− 5)∪ (− 3;− 1)∪ (− 1;+∞ )

Перепишем равенство

3 x +5 log3|x-+1| = log3x-+3

--3--= x-+5 |x +1| x +3

Пусть $x> −1$ . Тогда

3x+ 9= x2+6x+ 5

x2+ 3x − 4 =0

x= 1 или x= −4

Под условие $x >− 1$ подходит только $x= 1.$

Пусть $x< −1$ . Получим

3x+ 9= −x2− 6x− 5

2 x +9x+ 14= 0

x = −2 или x =− 7

Под условие $x <− 1$ подходят оба корня.

Ответ:

${−7;−2;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#37804

Решите неравенство

( 1) ( 4) log2x 6x+ 7 log5x 3x+ 7 ≤ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на данное неравенство. Слева произведение двух логарифмов, справа 0. О чем может говорить нам структура данного неравенства?

Подсказка 2

Вам пока ничего не говорит структура данного неравенства? А как бы вы его решали, если бы слева было не произведение логарифмов, а просто один логарифм? А разве что-то меняется, если у нас произведение? Какой метод можно применить тогда?

Подсказка 3

Конечно, метод рационализации к каждому логарифму по отдельности. Примените метод рационализации, учтите ОДЗ и получите ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( 2x> 0 ||||| 2x⁄= 1 |{ 1 ||| 6x+ 7 > 0 |||( 5x⁄= 14 3x+ 7 > 0

1 1 x∈ (0;+∞ )∖{2;5}

По методу рационализации на ОДЗ неравенство равносильно:

1 4 (2x− 1)(6x + 7 − 1)(5x − 1)(3x +7 − 1)≤ 0

По методу интервалов

{ } [ ] x∈ 17 ∪ 15;12

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ:

${1}∪ (1;1) 7 5 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#37803

Решите неравенство

( 2 ) log510-− 1 log5 x − 9x+20 ⋅log5−x25≥ log25(5− x)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуйте, с помощью свойств логарифмов правую часть, чтобы слева и справа была одинаковая структура неравенства. Найдите ОДЗ.

Подсказка 2

ОДЗ здесь очень даже простое х<4. Но мы же еще и преобразовали неравенство. Хмм… И слева и справа у нас есть log_(5-x)(25). А может на него можно поделить? А как найти его знаки?

Подсказка 3

Конечно, нужно, зная, что х<4, понять что этот логарифм положительный. Тогда слева и справа у нас остается два логарифма по одному основанию, к которым можно применить…

Подсказка 4

Метод рационализации! Примените, разложите полученное выражение на множители и, учитывая ОДЗ, найдите ответ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 9x+20 >0 { 5− x> 0 |( 5− x⁄= 1

x ∈(−∞;4)

По свойствам логаримов неравенство эквивалентно

log (x2− 9x+ 20)⋅log 25≥ (log 10− 1)⋅log 25 5 5−x 5 5−x

Из ОДЗ получаем $log25(5− x)> log25(5− 4)=0,$ тогда можем домножить на него обе части неравенства без смены знака:

log (x2 − 9x+ 20)≥log10− 1= log 2 5 5 5

x2 − 9x+ 20≥ 2

[ x≤ 3 x≥ 6

Осталось учесть ОДЗ и записать ответ.

Ответ:

$(−∞;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#37802

Решите неравенство

log2x− 12≤ log2x+14

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва замечаем, что основания логарифмов зависят от x, а это не очень приятно. «Перевёрнем» логарифмы со сменой основания и приведём дроби к общему знаменателю. Что же дальше?

Показать ответ и решение

ОДЗ: