Рассмотрим, как изменяется число, при переходе слева направо на одного человека. Если рядом стоящие дети разного пола, то число не изменяется. Если переходим от девочки к девочке, то число увеличивается на , а если от мальчика к мальчику, то уменьшается на . Таким образом, самое маленькое число в ряду могло увеличиться не более, чем на , а значит, различных чисел не более .

Приведём пример на различных чисел: поставим последовательно слева направо сначала всех мальчиков, затем всех девочек. Тогда числа в ряду будут:

— всего различных.

Пусть всего было крыс, где по условию. Тогда в первую ночь каждая крыса съела головок сыра. Во вторую ночь каждая крыса съела вдвое меньше, то есть головок сыра. Так как во вторую ночь крыс доедали сыр, суммарно они съели головок сыра. Эта дробь — целое число, а единственный делитель числа , превышающий , это само число , поэтому . И тогда всего сыра было съедено

Из условия следует, что зелёные дарили кактусы фиолетовым, а фиолетовые — зелёным. Так как общее количество человечков нечетно, то какого-то вида больше, чем другого. Допустим, что зелёных больше, тогда какому-то зелёному человечку кактуса не досталось.

Каждый участник выбывает, потерпев ровно два поражения. В ситуации, когда остались двое “финалистов”, общее количество поражений равно .

Если из турнира выбыло человек, то они суммарно потерпели поражений, а на счету “финалистов” поражений могло быть (у обоих “финалистов” не было поражений), (у одно из “финалистов” было поражение) или (у обоих “финалистов” было по одному поражению).

Учитывая, что и — чётные числа, уравнения и не имеют решений.

Приходим к уравнению , откуда , а общее количество участников равно

Пусть у Дениса изначально было коричневых хамелеонов. Тогда красных хамелеонов было . Из условия задачи получаем уравнение . Откуда получаем . Всего хамелеонов , то есть

Предположим, что такого месяца не найдется, тогда в каждом месяце дни рождения не более чем у трех ребят. Но тогда в классе не более чем учеников. Полученное противоречие доказывает, что найдется месяц в котором отмечают свой день рождения не меньше чем ученика.

Максимум сумма цифр года рождения может равняться минимум — Поэтому Е.А. родился самое раннее в а самое позднее — в Заметим, что если менять только последнюю цифру года рождения, то сумма цифр будет увеличиваться, а возраст — уменьшаться (и наоборот) на одну и ту же величину. Поэтому в каждом десятилетии не более одного подходящего года. Остаётся проверить возможные десятилетия. Если год рождения попадает на нулевые, получаем уравнение То есть что не имеет решения в целых числах. Если год рождения попадает на восьмидесятые, то получаем уравнение или что тоже не имеет решения в целых числах. Наконец, для девяностых получаем уравнение Решая его, получаем, единственный ответ: Поэтому Е.А. родился в году. Значит, в году ему исполнилось года.

Раз нам нужно место, а каждое число до этого места точно содержит в себе цифры, поделим нацело на Получим число — это примерное количество полных четырёхзначных чисел до -ого места. Тогда у нас замыкает место() число Значит, далее будет число а на месте цифра

Обозначим число По условию значит, одна из этих цифр равняется а две другие равны Поскольку и не делятся на Число поэтому получаем два трёхзначных числа и Число откуда получаем два трёхзначных числа и Окончательно получаем числа.

Понятно, что если число делится на то делится и на Тогда нам нужна делимость чисел на а это значит, что число должно делиться на и на Тогда и сумма цифр нашего числа должна делиться на Какой может быть сумма цифр числа, используя и Возможны варианты

Получаем, что подходящие нам четырёхзначные числа могут быть только из всех или со всеми кроме одной. И того, несложно перебрав, получаем чисел().

Первая цифра не может быть нулём, поэтому вторая цифра не меньше а первая — не меньше Если третья цифра больше то четвёртая не меньше и получается, что сумма цифр числа не меньше, чем — противоречие. Поэтому третья и четвёртая цифры — нули, а первая и вторая должны в сумме давать Значит, вторая цифра равна а первая равна

Так как среди цифр данного числа только одно (нечетное количество) нечётное, то при любой расстановке знаков “” или “” будем получать нечетную сумму. Нуль – четное число.

Фальшивых монет может быть две или одна. Занумеруем монеты числами от 1 до 6 в порядке их расположения. Первым взвешиванием на левую чашку кладём 1, 2, 3, на правую 4, 5, 6. Если наступит равновесие, то фальшивых монет две. Если нет, то фальшивая монета одна и лежит на более тяжёлой чашке. Сравним две монеты с этой чашки. Если равновесие, то фальшивая третья, иначе фальшивая на перетянувшей чашке. В случае равновесия в первом взвешивании найдём за второе взвешивание фальшивую среди 1, 2, 3, а вторая фальшивая лежит напротив.

Сначала четырежды обменяем черные шарики с белыми:

ЧЧЧЧББББ ЧЧЧБЧБББ ЧЧБЧЧБББ ЧЧБЧБЧББ ЧЧББЧЧББ.

Это обошлось нам в 2 руб. 40 коп. Теперь перекрасим два левых черных шарика в белый цвет, а два правых белых — в черный. На это мы потратим еще 4 руб., итого ровно 6 руб. 40 коп.

16 — это степень двойки. Решим эту задачу сначала для четырех чашек, потом для 8, потом для 16.

Разделим чашки на пары: 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-10, 11-12, 13-14, 15-16 и уравняем количества чая в каждой паре чашек. Теперь у нас две совершенно одинаковые восьмерки: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 и 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Уравняем количество чая в чашках первой восьмерки и точно таким же способом в чашках второй. Разделим эти чашки по парам (для первой восьмерки) 1-3, 5-7, 9-11, 13-15, получим 2 одинаковые четверки: 1, 5, 9, 13 и 3, 7, 11, 15. В каждой четверке разделим четыре чашки по парам и, уравняв количества воды в этих парах, сведем задачу к случаю двух чашек. Но в двух чашках количество воды можно уравнять по условию. Со второй восьмеркой чашек делаем точно так же.

Покажем, как надо действовать. Сначала 48 электриков меняют по одному плафону в 48 люстрах, на это уходит 5 минут, и у 48 люстр один плафон заменен, у 12 — ни один не заменен. Затем 12 электриков меняют плафоны у тех люстр, у которых еще не меняли, остальные 36 электриков меняют в 36 люстрах вторые плафоны. На это опять уходит 5 минут, получаем 36 люстр с двумя новыми плафонами и 24 — с одним. Теперь 24 электрика меняют вторые плафоны, и 24 — третьи. Теперь 24 люстры с тремя новыми плафонами и 36 — с двумя. Теперь 36 электриков меняют 36 третьих плафонов и 12 электриков — 12 четвёртых плафонов. Теперь 48 люстр с тремя новыми плафонами и с четырьмя. Последний этап 48 электриков меняют последние плафоны на 48 люстрах. Итак, за 5 этапов, т.е. за 25 минут, все плафоны в люстрах заменены. Покажем, что меньше чем за 25 минут это сделать нельзя. Нужно заменить плафонов. На каждый плафон нужно 5 минут, значит, всего не меньше, чем минут. Но у нас есть 48 электриков, значит, это можно сделать за 25 минут, но никак не меньше.

Обозначим 15-литровую бочку через А, 9-литровую — В, 5-литровую — С.Перельем из А в В 9л, затем из В в С 5л. Тогда в В останется 4л. Перельем из С в А 5л, из В в С 4л. Наконец, перельем из А в В 9л и дольем в С 1л.

Равенство в разряде сотен могло быть только в двух случаях: , то есть , такое могло быть только если не было переносов из десятков в сотни; а также если (в случае переноса единицы из десятков в сотни). Но сумма заканчивается на , поэтому четная цифра, значит и тогда

Далее, ни в К + К, ни в Р + Р, ни в В + В нет перехода через десяток (слагаемые и сумма - шестизначные и нет соответствующих переносов), значит, все эти цифры не больше 4 (и ненулевые: ). При этом , так как . Отсюда . Осталось два варианта для цифры Р, и оба подходят.

Так как числа состоят из одинаковых цифр, они дают одинаковые остатки при делении на . Значит, их разность должна делиться на . Однако на не делится, противоречие.

Предположим, что такое возможно. Так как всего чисел , то разобьем их все на троек подряд идущих чисел. В каждой тройке произведение чисел положительно, поэтому произведение всех чисел также положительно. Но произведение чисел и числа равно , то есть отрицательно.