Подсказка 1

Работать с произведением косинусов неудобно. Какие преобразования можно сделать, чтобы облегчить решение?

Подсказка 2

Воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и сделаем замену. А что если рассмотреть выражение как функцию?

Подсказка 3

Функция слева приобретет вид f(t) = 2t^2-1 + cos(2t). Исследуем же ее!

Подсказка 4

Какой является эта функция и где она монотонна?

Подсказка 5

Функция f возрастает на [0;1] и является четной. Если пристально посмотреть, какие же t нам подходят? А какие из них попадают в наш отрезок?

Подсказка 1

Попробуем как-то связать два неравенства из условия. Какие аргументы для этого можно подставить?

Подсказка 2

Нужно подставить такое аргументы, чтобы числа в неравенствах могли получаться как с помощью +4, так и с помощью +6…

Подсказка 3

Попробуем поработать с f(x), f(x+3), f(x+6), а также с f(x+2), f(x+4). К каким неравенствам можно прийти? Какой вывод из этого сделать? Пробуем прийти к определенности, то есть к равенству!

Подсказка 4

f(x+6) <= f(x+3) + 6 <= f(x) + 12. Аналогично попробуем использовать и второе условие, к каким выводам придем?

Подсказка 5

f(x+3) = f(x) + 6, f(x+2) = f(x) + 4, f(x+1)=f(x)+2. А теперь попробуем задать функцию! ;)

Подсказка

Давайте подумаем, что нам даст факт того, что относительно какой-то точки график симметричен? Это значит, что если - это точка а, то f(x) - a - нечетная. Давайте тогда, попробуем найти такие а, что f(x) - a + f(-x) - a = 0(условие на нечетность). После того как мы это запишем, то получим то некоторое условие на а.

Пункт а, подсказка 1

Функция может принимать при разных абсциссах одни и те же значения, но бывает ли наоборот? Может ли функция при одной абсциссе иметь два значения?

Пункт а, подсказка 2

Такое сложное выражение внутри функции для абсцисс, может ли оно быть равно одному значению при подстановке разных x?

Пункт а, подсказка 3

Заметим, что в выражении «x - 1/x» есть переменная и обратная к ней, а что если в место переменной подставить сразу обратную, то есть (1/x) - 1/(1/x) = 1/x - x. Получилось, что-то очень похоже на изначальное выражение, может только поменять знак?

Пункт а, подсказка 4

Используя предыдущий факт, внимательно посмотрите на два равенства, получаемых при подстановке в функцию, например, x = 2 и x = -½. Придите к противоречию.

Пункт б, подсказка

Обратите внимание, что положительный x должен быть для f(x), а не для условия на f(x - 1/x).

Подсказка 1

В аргументе функции стоит сложное дробно-линейное выражение от х, из-за этого трудно понять, как выглядит сама функция. Но с другой стороны, мы же понимаем, что можно сделать замену в этом аргументе так, чтобы нам стало удобнее работать с функцией. На руку играет то, что и в аргументе, и в правой части выражения в знаменателе стоит (х+1), то есть эти два выражения довольно сильно похожи.

Подсказка 2

Если получилось воспользоваться предыдущей подсказкой, то функция должна принять вид линейной. А многократное применение линейной функции — совсем не проблема:)

Подсказка 3

Понятно, что тангенс угла наклона касательной — это значение производной в соответствующей точке. А когда мы берем производную от функции, слагаемое-константа исчезает, поэтому в процессе многократного применения нашей функции за константой можно даже не следить.

Подсказка 1

Давайте подумаем. Обычно мы хотим, когда видим функциональные уравнения, подставить что-то удобное вместо y. Что здесь можно такое подставить, чтобы у нас получилось удобное уравнение? В каком бы виде мы бы хотели видеть это уравнение?

Подсказка 2

Если подставить y = 4x, то слева и справа будет f(x). Тогда мы сможем разбить наше уравнение на совокупность двух простых. Что либо f(x) = 0, либо f(4x) = 1. Значит ли это, что мы решили задачу?

Подсказка 3

А вот и нет! Ведь если у нас для любого x верно, что либо f(x) = 1, либо f(x) = 0, то не значит, что у нас возможны только такие функции. Это значит лишь то, что множество значений f равно 0 и 1. Поэтому для полного решения требуется доказать, что если f(x) = 0 в какой-то точке, то f(x) = 0 тождественно. Тогда переход, о котором говорилось выше, корректен.

Подсказка 1

В явном виде из неравенства в условии x + 2y никак не выразить. Тогда давайте считать, что x + 2y принимает какое-то параметрическое значение a. Что в таком случае должно выполняться для системы из выражений x + 2y = a и 3x²-2xy+4y²≤5?

Подсказка 2

Данная система должна иметь решения, чтобы a существовало. Тогда как мы можем получить ограничения на a?

Подсказка 3

Если из уравнения x + 2y = a выразить 2y и подставить в наше неравенство из условия, то мы получим квадратное неравенство от x, которое должно иметь решения. Подумайте, какие в таком случае возникают ограничения на a.

Подсказка 1

Чем мы пользуемся, когда хотим доказать какое-то утверждение для произвольного n ∈ ℕ ?

Подсказка 2

Индукцией! Давайте тут её применим. Записываем базу и начинаем работать с шагом индукции. Пусть для n - 1 всё работало, рассматриваем n. И что нужно доказать, чтобы сделать вывод, что f_n(x) > 0 во всех точках х из интервала?

Подсказка 3

Нужно доказать, что минимум f_n(x) > 0! Пусть минимум достигается в точке x₀, тогда как будет вести себя функция в окрестности точки x₀? Что мы можем сказать про f'(x₀)?

Подсказка 4

Конечно, f'(x₀) = 0! Тогда можем посчитать производную в точке x₀ и постараться упростить это выражение (вспомните про телескопы!) Но попробуйте не в лоб складывать косинусы, а ещё на кое-что домножить, чтобы потом воспользоваться другой формулой

Подсказка 5

Предлагается домножить на sin(x₀/2) (≠ 0, что важно!) и ещё на 2, чтобы потом не пришлось писать 1/2, когда пользуемся формулой sinα ⋅ cosβ.

Подсказка 6

Расписываем и сокращаем, получаем короткую формулу для 2 ⋅ sin(x₀/2) ⋅ f'_n(x₀) и это равно 0 ⇒ .... (подумайте, зачем нам надо было sin(x₀/2) ≠ 0). И вот мы знаем, что для n - 1 f(x) было > 0, что тогда нам хотелось бы показать, чтобы для n f(x) тоже было > 0 ?

Подсказка 7

Хотим, чтобы слагаемое, которое добавляем к f_{n-1} для получения f_n, было ≥ 0. У нас было sin((n + 1/2)x₀) = sin(x₀/2), а чему равна разность этих аргументов?

Подсказка 8

Она равна n ⋅ x₀! Тогда мы можем расписать наш "добавочный" sin(nx₀) как синус разности аргументов! А чему это будет равно? Чтобы это понять, подумайте, как соотносятся косинусы тех аргументов, если их синусы равны

Подсказка 9

Косинусы будут равны по модулю! Тогда наш sin(nx₀) будет равен либо 0, либо 1/n ⋅ sin(x₀) > 0! Победа, мы доказали шаг индукции, а значит доказали, что f(x) > 0 для любого х!

Подсказка 1

Да уж, ну и задачка… Интегралы мы пока брать не умеем. В таком случае используем тот способ исследования функции, который нам доступен на школьном уровне. Давайте возьмем производную.

Подсказка 2

Посмотрите чему равна производная при x > 1.

Подсказка 3

Если вы правильно всё посчитали, то при x > 1 производная равная нулю. Зная данную особенность, с лёгкостью нарисуйте график функции и найдите площадь под графиком!

Пункт а), Подсказка 1

Понятно, что если изначальное выражение обозначить за f(x), то теперь у нас выражение f(x³). Изменится ли минимум и максимум такой функции?)

Пункт б), Подсказка 1

Теперь попробуйте рассмотреть выражение f(-x). Оно будет почти таким же, как наше выражение, и задача решится)

Подсказка 1

Для начала заметим, что в левой части функции f и g принимают в себя переменную x, а правая часть от икса не зависит. Это значит, что можно выбрать любой икс (например, x = 0) и рассматривать новые функции (F(y) и G(z)) уже от одной переменной

Подсказка 2

Не всегда функции, которые принимают в себя переменную, зависят от неё. Подумайте, могут ли наши новые функции быть константами?

Подсказка 3

Хотя бы одна из функций уж точно не является константой! Не умаляя общности, можно считать что это G(z). Тогда существуют такие различные z1 и z2, что G(z1) != G(z2). Подставив z1 и z2, получим, что F(y) = G(z1) + |y-z1| и F(y) = G(z2) + |y-z2|. Может ли это быть правдой?

Подсказка 4

Мы получаем, что |y-z1| - |y-z2| = G(z2)- G(z1). Но ведь правая часть это просто некая константа. Выполняется ли это равенство ДЛЯ ЛЮБОГО y?

Подсказка 1

Смотрим на условие задачи внимательно и ищем, за что зацепиться: "функция строго возрастающая", "числа целые неотрицательные", ещё и равенство для функции без всяких степеней, ещё и единичка прибавляется с одной стороны... Мы видим, что правая часть равенства из условия при увеличении m на 1 увеличивается ровно на 1 (эта идея возникает из возрастания функции и целых значений), тогда имеет смысл посмотреть, а как в таком случае меняется левая часть?

Подсказка 2

Если мы оставим n таким же, а m увеличим на 1, то видим, что левая часть изменилась ровно на 1, а, значит, f(n + f(m+1)) = f(n + f(m)) + 1. То есть слева аргумент функции "почти" увеличился на 1 (на самом деле увеличился на 1 аргумент функции внутри аргумента нашей функции:)), а справа увеличилась на 1 сама часть, вне функции... А вспомним-ка про возрастание функции и применим f(m+1) >= 1 + f(m).

Подсказка 3

Теперь мы должны прийти к тому, что вместо неравенства должно выполняться равенство f(m + 1) = f(m) + 1 для любого целого неотрицательного m.

Подсказка 4

Мы уже связали f(m) и f(m+1), остаётся лишь найти f(0), чтобы стартовать от этого значения. Попробуйте подставить в условие самые базовые значения переменных - нули - и найдите f(0).

Подсказка 5

Теперь окончательно получается f(m) = m + 1. Остаётся найти f(2023) и написать ответ!