Решим задачу в общем виде. В условии заданы: м/с - скорость ветра; модель Альфа продержалась в воздухе на секунд меньше модели Бета; модель Альфа пролетела на метров дальше.

Пусть и - скорости при безветренной погоде моделей Альфа и Бета соответственно (в ), и - время (в секундах), которое первая и вторая модели соответственно продержались в воздухе.

Тогда при встречном ветре - дальность полета модели Альфа, дальность полета модели Бета. По условию:

При безветренной погоде разность между дальностью полета первой и второй моделей равна

Таким образом, , если , если , если . При и получаем . Значит, модель Альфа пролетит дальше на 50 метров.

Достаточно найти такую точку , что на любой прямой, проходящей через , лежит не более одной рациональной точки. Тогда, проведя из всевозможные лучи во все рациональные точки и удалив у каждого луча начало (от до соответствующей рациональной точки), получим искомый набор непересекающихся непараллельных лучей.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Можно указать точку явно - например, подойдёт точка . Пусть на прямой, проходящей через эту точку, есть две рациональные точки и ( ) (где рациональные). Тогда вектора ( и пропорциональны, откуда

откуда . Возводя в квадрат и перенося заведомо рациональные слагаемые в левую часть, получим, что будет рациональным число , что возможно только при или . Но из равенства (*) видим, что если выполнено хоть одно из равенств , то выполнено и второе, откуда точки и совпадают.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Можно поступить иначе - доказать существование такой точки . Проведём всевозможные прямые через пары рациональных точек. Таких прямых будет счётное количество. Так как всего направлений на плоскости несчётное количество, на ней найдётся прямая , не параллельная ни одной из проведённых прямых. Проведённые прямые высекают на счётное число точек, а всего на точек несчётное количество, поэтому там ещё останутся точки, любая из них подойдёт в качестве .

Сумма логарифмов положительных чисел равна логарифму их произведения, поэтому будем уравнивать произведения двух непересекающихся наборов чисел из множества . Разложим натуральные числа от до на простые множители:

Числа встречаются ровно по одному разу среди делителей, поэтому их следует исключить. Таким образом, на весах будет не более гирь.

Покажем, что можно уравновесить гирь. Приведем один из возможных примеров равенства произведений:

Первое решение.

Пусть в первом банке получаемый процент дохода равен %, а во втором %. Тогда из условия получаем

Обозначим за сколько Николаю сказали положить в первый банк, а за сколько во второй, при этом Если бы Николай вложил так, как ему сказали, то доход был равен

Тогда доход при перепутанном вложении равен

Рассмотри выражение

Следовательно, Николай получит на у.е. меньше через год.

Второе решение.

Вложив деньги “правильно”, Николай получил бы прибыли. Если Николаю дадут ту же сумму, и он положит её “правильно”, то в результате получит от удвоенной суммы, т.е. от исходной суммы. Таким образом, при “неправильном” вложении он получает прибыли. Следовательно, потеряет он от 5000 y.e., т.e. 300 y.e.

Способ 1.

Пусть было девочек и мальчиков.

Пусть мальчики получили по шоколадок, тогда девочки получили по шоколадке.

Пусть девочки получили по мармеладок, тогда мальчики получили по мармеладке.

Тогда из условия имеем систему уравнений:

Сложив уравнения системы, получим

Отсюда количество всех детей равно либо 11, либо 121.

Для исходной системе удовлетворяет пример

Для исходной системе удовлетворяет пример

 

Способ 2.

Заметим, что всего раздали количество сладостей, равное

При этом все дети в итоге получили поровну, поэтому если через обозначить количество детей, а через — количество сладостей на одного ребенка, то мы получим равенство

Так как то это возможно в двух случаях:

1) Например, 3 девочки получили по 5 шоколадок и по 6 мармеладок, 8 мальчиков получили по 4 шоколадки и по 7 мармеладок.

2) Например, 47 девочек получили по 1 шоколадке и по 0 мармеладок, 74 мальчика получили по 0 шоколадок и по 1 мармеладке.

Значит, всего детей могло быть 11 или 121.

Пусть число белых шариков - 1 часть. Пусть число синих, красных и зеленых вместе - 4 части. Всего число шариков - 5 частей. Из этого следует, что их общее количество делится на 5. Примем число синих шариков за 1 часть. Тогда белых, красных и зеленых шариков вместе получится - 6 частей, а всего шариков - 7 частей, поэтому следует вывод, что их общее количество делится на 7. Числа 5 и 7 взаимно просты. Общее число шариков делится на

Пусть длина пути равна 1 условной единице, а скорость бега, полета и плавания утенка равна Тогда скорость бега гусенка по условию равна а скорость его плавания — Пусть скорость полета гусенка равна

По условию утенок и гусенок потратили одинаковое время на весь путь. Кроме того, участок каждого вида движения имеет длину Поэтому время, которое потратил утенок равно

Время, которое потратил гусенок, равно

Таким образом, получаем уравнение на затраченное время

Умножим обе части на получим

Таким образом, Значит, гусенок летел в раза быстрее утенка.

Пусть за час Петя проехал километров. Понятно, что не превосходит расстояния между Мытищами и Москвой, иначе бы Петя вернулся в Москву уже через часа после выезда.

Пусть — точка, которая находится в км от Мытищ, — точка в км от Москвы.

Пусть на дороге от Москвы до Мытищ точка расположена раньше, чем точка

Пете не хватило км, чтобы доехать до Мытищ через час после выезда от Москвы, то есть расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Далее возможны два случая: либо еще через часа он оказался в точке , не доехав до Мытищ; либо Петя доехал до Мытищ и на пути в Москву оказался в точке .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Если Петя еще не доехал до Мытищ, то за часа пути он проехал путь от Москвы до точки то есть удалился на км от Москвы. Тогда

а расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Иначе от Мытищ до точки он успел проехать километров.

Следовательно, за часа Петя проехал километров от точки до Мытищ и километров до точки от Мытищ.

С другой стороны, за каждый час он проезжает километров, поэтому за часа проехал километров. Из полученного уравнения

находим Расстояние от Москвы до Мытищ равно километров.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть теперь на дороге от Москвы до Мытищ точка расположена позже, чем точка .

Тогда за часа Петя доехал от точки до Мытищ и обратно от Мытищ до точки . Расстояние от Мытищ до равно километров. В итоге, снова получаем уравнение

Откуда но это противоречит тому, что точка правее точки по пути от Москвы. Такое расположение невозможно.

Пусть корова съедает в день 1 порцию травы. За 60 – 24 = 36 дней на лугу выросло 30·60 – 70·24 = 120 порций. Значит, помимо съеденных за 60 дней 30 коровами 1800 порций за добавочные 96 – 60 = 36 дней вырастет еще 120 порций. Всего 1920. За 96 дней их съедят 1920 : 96 = 20 коров.

Обозначим сумму возрастов папы, мамы и бабушки через , сумму возрастов детей через , а количество детей через . Тогда справедливы следующие равенства:

Преобразуем равенства:

Видно, что

Пусть движение происходит в направлении против часовой стрелки. Введём обозначения как показано на рисунке:

Петя бежит по большой дорожке из точки , Коля — по малой. Моменты времени, в которые Петя и Коля попадают в точку за минут бега, описываются сериями: . Моменты встречи друзей в точке определяют начало промежутка времени в минуты, в течении которого они бегут вместе. Также необходимо учесть, что в самом начале они вместе пробегают отрезок за минуты.

Найдём, когда серии пересекаются: . Видим, что если чётно, то не найдётся такого , чтобы равенство выполнилось, а если нечётно — найдётся. Значит, и серия, описывающая встречи в точке имеет вид: . Встречи происходят при . Значит, они пробегают вместе минут.

Рассмотрим варианты, которыми находящийся в точке автомобиль может в следующий раз впервые снова оказаться в этой точке.

Во-первых, можно сделать это, не проходя через точку , т. е. путем .

Во-вторых, можно одним из двух способов ( или ) добраться до точки , сделать несколько кругов («несколько» может быть и нулем) и вернуться одним из двух способов ( или ) в точку .

В любом случае мы либо четное число раз проезжаем по 7-минутной дуге, четное число раз по 11-минутной и четное число раз по 17 -минутной, либо наоборот, нечетное число раз по каждому из трех типов дуг.

То же самое можно сказать про неоднократное возвращение в точку .

«Четный» случай нам не подходит, так как по условию на каждую дугу уходит целое число минут, а общее время выражается в минутах нечетным числом. Заметим, что любая тройка нечетных положительных чисел может быть реализована в качестве числа проходов (в любом направлении) дуг , , .

Действительно, выехав из точки и сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , после чего, сделав заданное нечетное число проходов , мы окажемся в точке , а после заданного нечетного числа проходов — снова в точке .

Итак, попробуем найти три таких нечетных положительных числа , , , что

Для возможны варианта: Первый случай отбрасываем, так как для него получаем

Во втором случае имеем . Если , то При число не делится на .

Наконец, при имеем . Для получим , откуда а пройденный путь равен Здесь — длина дуги , которую находим геометрически:

где — радиусы.

Пусть — число людей, не говорящих по-английски, а — число людей, не говорящих по-французски. Тогда из условия людей, не говорящих ни на одном из языков: от , а с другой стороны от .

Откуда , то есть .

Пусть — число шаров, а — число заполненных коробок в первом случае. Тогда коробок всего . По условию получаем

где

Во втором случае получаем

где

И наконец, в третьем случае получаем

так как во втором случае имеем на самом деле коробок — заполненных и одну не полностью заполненную.

Заметим, что делятся на , то есть

где

Из получаем

Из получаем

То есть И тогда

Предположим, что пастух не ошибся. Рассмотрим участки, на которых количество коз увеличилось. Пусть на них до полудня было коз, тогда после полудня на них оказалось коз. Значит, количество коз на этих участках увеличилось на Теперь рассмотрим участки, на которых количество коз уменьшилось. Пусть на них после полудня оказалось коз, тогда до полудня на них было коз и, значит, количество коз на этих участках уменьшилось на Так как общее количество коз не изменилось, число коз на первых участках увеличилось на столько же, на сколько оно уменьшилось на вторых, т. е. откуда Значит, до полудня на первых участках было коз, на вторых а всего коз. Но это невозможно, так как не делится на

Обозначим количество пар мальчик-мальчик через а пар девочка-девочка — через В остальных парах мальчиков и девочек поровну, поэтому разница между количеством девочек и мальчиков равна По условию, эта же разница равна то есть а именно эту разность и требовалось найти.

Пусть — средний доход всех жителей города, а — количество жителей. Тогда суммарный доход всего города равен .

Предположим, что высказанное утверждение верно, то есть средний доход самых богатых жителей равен Но тогда суммарный доход только богатых жителей равен А это уже больше, чем доход ВСЕГО города.

Доля от положительного числа не может быть больше самого числа — получили противоречие. Значит, это выдумки.

Пусть разности равны первое число равно Тогда откуда Разобьем числа на пары соседних, в каждой паре оценим отношение снизу как поскольку при уменьшении до правильная дробь тоже уменьшится. Тогда отношение произведений оценивается снизу как

Заметим, что ко дню мая ромашки, которые распустились с по мая, могут добавить к имеющимся лепесткам либо либо либо лепестков.

Посчитаем максимальное количество лепестков у ромашек: лепестков. Посчитаем максимальное и минимальное количество лепестков, которое может остаться на изначальных ромашках мая.

Чтобы найти минимальное количество лепестков, нужно чтобы у каждой ромашки отлетало по лепестку, что означает, что у изначальных ромашек хотя бы лепестка изначально.Следовательно, каждый день отлетает по лепестков. Тогда минимальное количество лепестков будет равно: Тогда можно оценить, сколько максимум ромашек распустилось: ( потому, что нужно как можно больше новых ромашек). Следовательно, что новых ромашек меньше

Чтобы найти максимальное количество лепестков, нужно найти максимальное количество ромашек, у которых не более лепестков. Т.к. максимальное количество лепестков равно а каждая такая ромашка уменьшает количество лепестков как минимум на то таких ромашек не более т.к. изначальное количество лепестков равно Следовательно, максимальное количество лепестков равно: Тогда можно оценить, сколько минимум ромашек распустилось: ( потому, что нужно как можно меньше новых ромашек). Следовательно, что новых ромашек больше

Тогда единственное число, которое больше и меньше , это

Пример: первая ромашка с лепестком, вторая - с лепестками, остальные - с лепестками.

Пусть прыжков длиной 15 сантиметров вправо было сделано на больше, чем таких же прыжков влево, аналогично введем как разницу между количеством прыжков вправо и влево на 21 сантиметр.

Тогда блоха оказалась в точке с координатой (если это число отрицательно, то левее изначальной точки).

Таким образом, нас интересует, при каких уравнение имеет решение.

Если , то такие и существуют. Наоборот, если не делится на 3, то блоха в такой точке оказаться не может.