Подсказка 1

Чем мы пользуемся, когда хотим доказать какое-то утверждение для произвольного n ∈ ℕ ?

Подсказка 2

Индукцией! Давайте тут её применим. Записываем базу и начинаем работать с шагом индукции. Пусть для n - 1 всё работало, рассматриваем n. И что нужно доказать, чтобы сделать вывод, что f_n(x) > 0 во всех точках х из интервала?

Подсказка 3

Нужно доказать, что минимум f_n(x) > 0! Пусть минимум достигается в точке x₀, тогда как будет вести себя функция в окрестности точки x₀? Что мы можем сказать про f'(x₀)?

Подсказка 4

Конечно, f'(x₀) = 0! Тогда можем посчитать производную в точке x₀ и постараться упростить это выражение (вспомните про телескопы!) Но попробуйте не в лоб складывать косинусы, а ещё на кое-что домножить, чтобы потом воспользоваться другой формулой

Подсказка 5

Предлагается домножить на sin(x₀/2) (≠ 0, что важно!) и ещё на 2, чтобы потом не пришлось писать 1/2, когда пользуемся формулой sinα ⋅ cosβ.

Подсказка 6

Расписываем и сокращаем, получаем короткую формулу для 2 ⋅ sin(x₀/2) ⋅ f'_n(x₀) и это равно 0 ⇒ .... (подумайте, зачем нам надо было sin(x₀/2) ≠ 0). И вот мы знаем, что для n - 1 f(x) было > 0, что тогда нам хотелось бы показать, чтобы для n f(x) тоже было > 0 ?

Подсказка 7

Хотим, чтобы слагаемое, которое добавляем к f_{n-1} для получения f_n, было ≥ 0. У нас было sin((n + 1/2)x₀) = sin(x₀/2), а чему равна разность этих аргументов?

Подсказка 8

Она равна n ⋅ x₀! Тогда мы можем расписать наш "добавочный" sin(nx₀) как синус разности аргументов! А чему это будет равно? Чтобы это понять, подумайте, как соотносятся косинусы тех аргументов, если их синусы равны

Подсказка 9

Косинусы будут равны по модулю! Тогда наш sin(nx₀) будет равен либо 0, либо 1/n ⋅ sin(x₀) > 0! Победа, мы доказали шаг индукции, а значит доказали, что f(x) > 0 для любого х!