Теория чисел на Росатоме —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Теория чисел на Росатоме

Тема Росатом

Теория чисел на Росатоме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83308

Натуральное число $n ≥2023$ имеет простой делитель $p >2$ и другой делитель $q,$ связанный с $p$ соотношением $(p− 1)(q+ 2)=n − 2$ . Найти наименьшее возможное при этих условиях число $n$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки, приведём подобные и посмотрим на выражения слева и справа. Что можно сказать про p и q, исходя из того, что они делители числа n? Ведь слева у нас выражение без свободного коэффициента, зависящее от p и q, а справа n.

Подсказка 2

Верно, можно сказать, что 2p кратно q и q кратно p. Как можно сделать оценки на p и q?

Подсказка 3

Можно сказать, что q = kp. Но тогда 2p кратно kp. Равенства быть не может по условию, остаётся только вариант 2p^2 = n. Отсюда понятно, как искать min n: нужно найти min p при 2p^2 ≥ 2023.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

(p− 1)(q +2)= n− 2 =⇒ pq− q+ 2p − 2 =n − 2

pq− q+2p= n

Раз $p$ и $q$ — это делители $n,$ то выражение в левой части должно делиться на $p$ и $q.$ Следовательно, получаем

(|{ .. q. p |( 2p ... q

То есть $q = kp,$ тогда $2p ... kp,$ откуда следует, что $k =1$ или $k= 2.$ Но так как $q ⁄= p,$ подходит только $q = 2p.$ Подставим:

2 2p − 2p+ 2p= n

2p2 =n

Осталось перебрать чётные $n,$ которые является удвоенным квадратом простого числа. Перебирая $n ≥2023,$ получаем ответ $2⋅372 = 2738.$

Проверка:

(37− 1)(2 ⋅37+ 2)= 2⋅372− 2

(37− 1)(37+ 1)= 372− 1

Ответ: 2738

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83298

Найти сумму максимальных нечётных делителей всех чисел от 61 до 120 включительно.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интересно, что чисел от 61 до 120 ровно столько же, сколько нечётных от 1 до 120.

Подсказка 2

Чем нечётные отличаются от чётных? Наличием степени двойки. Тогда как удобно представить все числа?

Подсказка 3

Из первого замечания про количество нечётных хочется посмотреть, а сколько чисел вида n * 2ᴷ для каждого нечётного n (меньшего 120) лежит в промежутке от 61 до 120.

Подсказка 4

Оказывается, для каждого такого n одно своё n * 2ᴷ в промежутке от 61 до 120. Попробуйте понять, почему это так, и досчитать искомую сумму нечётных n!

Показать ответ и решение

Для каждого нечетного числа $n$ в промежутке 1 до 119 рассмотрим числа вида $n⋅2k$ , где $k∈ ℕ∪ {0}.$ Докажем, что для каждого $n$ найдётся ровно одно число вида $k n⋅2$ на промежутке от 61 до 120.

Пусть на нашем промежутке не нашлось нужного числа. Тогда должна найтись такая пара чисел $k k+1 (n⋅2 ;n ⋅2 )$ , что

k k+1 n⋅2 ≤ 60, n⋅2 ≥121,

что невозможно, поскольку из первого следует, что

k+1 n ⋅2 ≤ 120

Тогда из нашего утверждения следует, что для любого нечётного числа $n$ , меньшего 120, найдётся число от 61 до 120, что его наибольшим нечетным делителем будет $n$ . Причём для каждого $n$ такое число уникально. При этом нечётных чисел от 1 до 120 ровно 60, как и чисел от 61 до 120. Получается, что искомая сумма равна сумме всех нечётных чисел от 1 до 120.

1+-119- 1+3+ ...+ 119= 2 ⋅60= 3600

Ответ: 3600

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76634

Длины ребер $a ,a,a 1 2 3$ и $b,b ,b 1 2 3$ прямоугольных параллелепипедов $P A$ и $P B$ — целые числа. Если в параллелепипеде $P A$ увеличить на $1$ длину одного из ребер $a1,a2$ или $a3,$ то отношение объемов $VA :VB$ изменится на 3, на 5 или на 7 единиц соответственно. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение отношение объемов $VA :VB.$

Источники: Росатом-2022, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, как считать отношение объемов до изменений. Тогда составим уравнения по условию и немного их преобразуем. Что получится и какие выводы можно сделать?

Подсказка 2

Мы можем выразить тройку как разность и понятно, в каком соотношении находятся отношение объемов и одна из сторон. Какие соотношения получатся?

Подсказка 3

Отношение объемов = 3*(a1) = 5*(a2) = 7*(a3). Подумаем, как использовать целочисленность сторон. Получается, что пришли к уравнениям в целых числах?) вспомним, как решать! 3, 5 и 7 даны не зря...

Показать ответ и решение

Обозначим

a1⋅a2⋅a3 C =VA :VB = b1 ⋅b2⋅b3

Из условий получаем

(a1+b-1⋅)b⋅a⋅2b⋅a3-− a1b⋅⋅ab2⋅⋅ab3= 3= 1b-⋅a⋅2b⋅a⋅3b = 1a-⋅C ⇒ C = 3⋅a1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

Аналогично, $C = 5⋅a2$ и $C = 7⋅a3.$

В этом случае, целое число $C$ делится на $3,5$ и $7.$ С учетом взаимной простоты этих чисел, $C = 105k,k∈ ℤ$ и $C ≥105.$

Покажем, что $C = 105$ реализуется как отношение объемов некоторых $PA$ и $PB.$ Например, $a1 =35,a2 =21,a3 = 15,b1 = 3,b2 = 5,b3 = 7.$ Тогда

36⋅21-⋅15-− 35⋅21⋅15= -21⋅15 =3 3⋅5⋅7 3⋅5⋅7 3⋅5⋅7

Аналогично,

35⋅22-⋅15- 35⋅21⋅15- -35⋅15 3⋅5⋅7 − 3⋅5⋅7 = 3⋅5⋅7 =5

35⋅21-⋅16-− 35⋅21⋅15= -35⋅21 =7 3⋅5⋅7 3⋅5⋅7 3⋅5⋅7

Ответ: 105

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80500

Представить число 2021 в виде суммы трех взаимно простых чисел.

Показать ответ и решение

2021 =43⋅47= 43+ 43 ⋅46= 43+ 1+ (43⋅46− 1)

Ответ:

$43+ 1+ (43⋅46− 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#61648

Сколько существует пар натуральных чисел $(a,b)$ , у которых $НО К(a,b)= 23 ⋅32⋅5⋅72 = 17640$ , а $НОД(a,b)= 12$ ? (пары неупорядоченные, то есть $(a,b)$ и ( $b,a)$ считайте одинаковыми)

Среди всех таких пар укажите ту, для которой $a +b$ принимает минимально возможное значение, и найдите это значение.

Источники: Росатом-21, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним основную теорему арифметики - из нее следует, что НОК и НОД это взятие соответственно максимума и минимума по степеням простых множителей в наших двух числах. У наших чисел всего максимум 4 вида простых множителей -2,3,5,7. Попробуйте с этим знанием понять, какие степени этих множителей могут быть в наших числах.

Подсказка 2

Например, в 12 двойка входит во 2 степени, а в 17640 в 3. Тогда получаем min(степень 2 в первом числе, степень 2 во втором числе}= 2,max = 3. Попробуйте применить аналогичное рассуждение к остальным делителям и посчитать количество вариантов!

Подсказка 3

Подумаем о минимальной сумме: Мы знаем, что из основной теоремы арифметики следует, что a⋅b= НОК (a,b)⋅НОД(a,b)= 12⋅17640! Тогда мы знаем произведение чисел. Давайте попробуем понять, когда сумма двух чисел минимальна, если произведение фиксировано!

Подсказка 4

Это происходит, когда числа максимально близки друг к другу! Например, 4*5 = 20 = 10*2, то 4+5 < 2+10. Для того, чтобы строго это доказать, можем обратить к производной этого выражения. Осталось подобрать числа, которые будут максимально близки, при этом давать в произведении 12*17640! И проверку не забыть :)

Показать ответ и решение

Из основной теоремы арифметики следует, что $НО К$ и $НО Д$ двух чисел можно рассматривать как взятие соответственно максимума и минимума по степеням простых множителей в этих двух числах. Пусть $a2,a3,a5,a7$ — степени соответствующих простых в числе $a$ . Пусть $b2,b3,b5,b7$ — степени соответствующих простых в числе $b$ .

Поскольку $2 12= 2 ⋅3$ , то получаем $min{a2,b2}= 2,max{a2,b2}= 3$ , то есть для степеней двоек есть два случая $(a2,b2)= (2,3),(3,2)$ , которые мы считаем одним. Для степеней троек аналогично получаем $(a3,b3)= (1,2),(2,1)$ , для остальных действуем полностью аналогично. В итоге получается $4 2$ случаев. В условии написано, что пары $(a,b)$ неупорядоченные, т.е. $(a,b) =(b,a)$ , поэтому общее число пар должно быть уменьшено вдвое.

Для поиска наименьшей суммы приведём два способа:

Первый способ.

Из основной теоремы арифметики следует, что $a⋅b= НОК (a,b)⋅Н ОД(a,b)= 12⋅17640$ . По неравенству о средних при фиксированном произведении чисел их сумма тем больше, чем больше одно число отличается от другого (сумма вида $x+ 1764x0⋅12$ , производная которой равна $1− 1764x0⋅212$ возрастает при $√------- √---- x> 17640 ⋅12= 12 1470$ ). Поэтому нам нужно найти максимально близкое значение к корню из этого произведения. $12$ это общий НОД, так что остаётся составить из имеющихся множителей ближайшее к $√---- 1470≈ 38$ число.

a′ = 2⋅3⋅5= 30→ b′ =49→ a1+ b1 = 79→ a+ b= 12 ⋅79= 948

Второй способ.

Просто сделаем полный перебор для этих восьми пар, чтобы быстро посчитать и забрать свои баллы за задачу

2 1 0 0 3 2 1 2 22 ⋅31⋅50⋅72+23⋅32⋅51⋅70= 12 +17640 =17652 2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 +2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 = 588+ 360= 948 22 ⋅31⋅51⋅70+23⋅32⋅50⋅72 = 60 +3528= 3588 22 ⋅31⋅51⋅72+23⋅32⋅50⋅70 = 2940+ 72= 3012 22 ⋅32⋅50⋅70+23⋅31⋅51⋅72 = 36 +5880= 5916 22 ⋅32⋅50⋅72+23⋅31⋅51⋅70 = 1764+ 120 =1884 22 ⋅32⋅51⋅70+23⋅31⋅50⋅72 = 180+ 1176 =1356 22 ⋅32⋅51⋅72+23⋅31⋅50⋅70 = 8820+ 24= 8844

Осталось выбрать наименьшую сумму и выписать ответ.

Ответ:

$8$ пар, наименьшее значение суммы равно $948$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#44071

Найдите наибольшее значение выражения

(5n− 18)НОД-(n-+9,n+-2) F = НОК(n+ 9,n +2)

на множестве натуральных чисел. При каком $n$ оно достигается?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Числа n+2 и n+9 это же достаточно близкие числа, при этом их разность равна 7. Что тогда можно сказать про их НОД?

Подсказка 2

Да, их НОД либо равен 1, либо равен 7. Обозначим его за d. Какая замена тогда просится, если у нас есть НОК и НОД одних и тех же чисел?

Подсказка 3

Ну конечно, замена НОК(a,b)=ab/НОД(a,b). Тогда наше выражение принимает понятный вид. Осталось исследовать функцию, которая получается делением нашего выражения на d^2 и понять, где она принимает максимальное значение.

Подсказка 4

Да! В точке 12. А что еще принимает максимальное значение в точке 12? Поймите это и получите ответ!

Показать ответ и решение

Обозначим $d= НОД (n +9,n+ 2).$ Так как $n+ 9$ и $n+ 2$ делятся на $d,$ то их разность $(n +9)− (n +2)= 7$ делится на $d.$ Тогда $d =1$ или $d= 7.$

Как известно, $НОК(a,b)⋅НО Д(a,b)= a⋅b,$ откуда выражение из условия принимает вид

(5n− 18)⋅d2 F (n)= (n+-2)(n+-9)

Поскольку $d$ может принимать значения только $1$ или $7,$ то нам требуется максимизировать функцию

G (x)= ---5x-− 18-, x> 0 (x+ 2)(x+ 9)

Для этого посмотрим на её производную:

G′(x)= 5(x2+11x+-18)− (5x−-8)(2x-+11)= − (x−-12)(5x+24) (x +9)2(x+ 2)2 (x +2)2(x+ 9)2

Производная при $x> 0$ имеет ровно одну точку экстремума $x= 12,$ которая является точкой максимума, потому является глобальным максимумом при $x >0,$ удачным образом при $n =12$ имеем $d =7$ — также принимает максимальное значение, потому при $n =12$ достигает максимума и функция $F.$ Равна она

5⋅12− 18 F(12)= (12+9)(12+-2) ⋅49= 7

Ответ:

$F =F (12)= 7 max$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#44070

При каких целых числах $b$ и $c$ выражение $√4x2-+bx+-c$ целое при любых целых $x?$

Источники: Росатом-21, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва прибегнем к идее, которая часто используется, когда под корнем есть квадратный трёхчлен: выделение полного квадрата. Возможно, это натолкнёт нас на какую-то идею...

Подсказка 2

После выделения полного квадрата под корнем к нему добавляется константа c - (b/4)². По условию корень должен быть целым числом для любого целого x. И тут возникает вопрос: а что будет при достаточно больших x? Не будет ли каких-то проблем с извлечением корня?

Подсказка 3

На самом деле при достаточно больших x эта добавка будет довольно мала по сравнению с полным квадратом. Чем больше полный квадрат, тем дальше от него располагается следующий за ним квадрат. При подстановке всё больших x в конце концов эта добавка станет меньше, чем разница между квадратами соседних чисел, тогда корень не будет целым числом! Что же из этого следует?

Подсказка 4

Это значит, что необходимо равенство добавки нулю. Тогда нетрудно понять, что для достаточности этого условия числу b достаточно быть кратным четвёрке. Попробуем доказать необходимость этого факта. В таких задачах часто помогает подстановка различных "хороших" значений х. Попробуйте поэкспериментировать!

Подсказка 5

Например, обязательно надо подставить x = 0. Тогда получаем, что c = k², k ∈ ℤ. А теперь можно использовать это соотношение и равенство добавки нулю!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Выделим полный квадрат под корнем:

∘--------- ∘ ------------(-)2- s= 4x2+ bx+c = (2x + b)2+ c− b 4 4

Легко понять, что условий $b= 4k,k ∈ℤ$ и $c− (b)2 = 0 4$ будет достаточно. Покажем, что они необходимы.

При $x= 0$ выражение $√c-$ должно быть целым, значит, необходимо $c= k2,k ∈ℤ.$

Если корень $s$ является целым числом, то целым является и $4s− 8x− b =4⋅(s− (2x + b)). 4$ Применим для выражения в скобках формулу $n2−m2 n − m = n+m$ и получим

2 b 2 b2 44√x-+bx+-c−-(2x+-4)b-= 4√-----c−-16-----b 4x2+ bx+ c+2x+ 4 4x2+ bx +c+ 2x+ 4

Но при достаточно больших $x$ правая часть становится по модулю меньше единицы. И при этом должна быть целой. Значит, должна быть равна нулю. Следовательно, $b2 2 2 c= 16 =⇒ b= 16k =⇒ b= 4k, где k∈ ℤ.$

Второе решение.

Пусть $b=4k+ r$ , где $r$ от 0 до 3. Тогда $2 2 2 4x +(4k+r)x+ c= (2x+ k) +rx+ c− k$ .

Если $r⁄= 0$ , то для достаточно большого $x$ верно, что $2 rx+ c− k > 0$ . Значит, $2 2 2 (2x+k) + rx+c− k > (2x +k)$ . С другой стороны, $2 2 2 2 (2x+ k)+ rx+ c− k < (2x+ k+1) = (2x+ k) +2(2x+ k)+ 1$ так же для достаточно большого $x$ . Значит, $2 2 2 2 (2x+ k+1) > (2x +k) +rx+ c− k > (2x+ k)$ и не может быть квадратом?!

Значит, $r= 0$ . Тогда $4x2+ bx+ c=(2x+ k)2+ c− k2$ квадрат и отличается от $(2x +k)2$ на $c− k2$ .

Если $c− k2$ не 0, то для достаточно большого $x$ верно, что $(2x +k− 1)2 <4x2+ bx+c <(2x+ k+ 1)2$ и $4x2+bx+ c⁄= (2x+ k)2$ . Значит, $4x2+ bx+c$ не квадрат?!

Значит, $c= k2$ и $4x2+ bx +c =(2x+ k)2$ .

Ответ:

при $b =4k,c= k2, k∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80503

Сколько существует натуральных чисел $n≤ 2020$ , для которых дробь $6n3+n2−5n+12 6n2+7n+2$ сократимая?

Показать ответ и решение

Пусть $6n3+ n2− 5n +12..6n2+ 7n+ 2 .$ . Тогда

3 2 2 2 .. 2 6n + n − 5n +12− (6n + 7n+ 2)n =− 6n − 7n+ 12.6n +7n+ 2

2 2 .. 2 −6n − 7n+ 12+6n + 7n+ 2= 14.6n +7n+ 2

Тогда $14 ≥6n2+ 7n+ 2≥15$ ?!

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#44068

Докажите, что существует набор натуральных чисел $a ,a,...,a , 1 2 2019$ для которых $2⋅НОК (a ,a,...,a )=a + a + ...+a . 1 2 2019 1 2 2019$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для каких чисел удобно находить НОК?

Подсказка 2

Для наборов, в которых много единичек!

Подсказка 3

Можно сделать все числа, кроме одного, сделать единицами. Попробуем из равенства подобрать оставшееся!

Показать доказательство

Возьмём

a1 = ...= a2018 = 1,a2019 =2018

Тогда

2⋅НОК(a1,a2,...,a2019)= 2⋅2018

a1+ a2+ ...+a2019 =2 ⋅2018

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#44067

Найдите целые числа $x$ и $y$ , для которых

( x- y) -x y log2 17 + 5 = log217 +log2 5

Источники: Росатом-20, 11.1 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая ОДЗ, преобразуем логарифм суммы и напишем уравнение на x и y без логарифмов. Как решить получившееся уравнение и как оно выглядит?

Подсказка 2

5x + 17y = xy. Запишем как x(5-y) + 17y = 0 и попробуем разложить на множители для дальнейшего удобства)

Подсказка 3

(x-17)(y-5) = 17*5. Числа целые, поэтому можно делать выводы о значении скобок. У 85 маленькое количество делителей, поэтому остается лишь перебрать значения x-17 и y - 5!

Показать ответ и решение

Для того, чтобы правая часть была определена, получаем, что $x> 0,y >0.$ Тогда на ОДЗ уравнение эквивалентно

(-x y) xy log2 17 + 5 =log285 ⇐⇒ 5x+ 17y =xy

Попробуем разложить на множители: $x(5− y)+17y = 0 ⇐⇒ x(5− y)− 17(5− y)+ 17⋅5= 0 ⇐⇒ (x − 17)(y− 5)=17⋅5.$

С учётом того, что $y − 5> −5$ и $x − 17> −17,$ по основной теореме арифметики возможны только такие пары: $(y− 5,x − 17)∈{(1,85),(5,17),(17,5),(85,1)}.$ Соответственно $(x,y)∈ {(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)}.$

Ответ:

$(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#82710

Найдите натуральное число, делящееся на 225 и имеющее 15 различных делителей.

Показать ответ и решение

Заметим, что $225 =32⋅52.$ Пусть $n$ — число, которое мы ищем. Тогда $n =32+k⋅52+t⋅s,$ где $k$ и $t$ — неотрицательные целые числа, а $s$ — натуральное, не делящееся на $3$ и $5$ .

Пусть $r$ — число делителей $s,$ Заметим, что число $n$ имеет $(2+ k+ 1)(2+ t+1)r$ делителей. Так как всего делителей у нас $15,$ то получаем уравнение

(3+ k)(3+ t)r= 15

Так как $3+ k≥ 3$ и $3+t≥ 3,$ а также $15 =3⋅5,$ то либо $k= 0$ и $t= 2,$ либо $k= 2$ и $t =0.$ Таким образом, $n = 32⋅54$ или $4 2 n =3 ⋅5 .$

Ответ:

$n =32⋅54$ или $n= 34⋅52.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80455

Для каждой пары целых положительных чисел $(m,n)$ , связанных соотношением

3m + 2n = 19,

найти решение $x$ уравнения

rnx x 2 + rm ⋅2 − 8 =0,

где $rk$ — остаток от деления $k$ на 3.

Показать ответ и решение

Заметим, что $2n ≡ 19 ≡4 (mod 3)$ . Отсюда следует, что $n ≡ 2 (mod 3)$ и отсюда $r =2 n$ . Тогда можно представить $n$ как $3t+2$ и тогда $m =5 − 2t≡ t− 1 (mod 3)$ и такое число может давать любой остаток при делении на 3. Значит, нам нужно решить уравнение

x x 4 + rm2 − 8 =0

Давайте заменим $2x$ на $y$ . Получим

2 y + rmy− 8= 0

Если $t≡0 (mod 3)$ , то $rm = 2$ и уравнения $y2+ 2y− 8$ есть 1 положительный корень $y = 2= 2x$ и $x= 1$ .

Если $t≡1 (mod 3)$ , то $rm = 0$ и уравнения $y2− 8$ нет целых корней.

Если $t≡2 (mod 3)$ , то $rm = 1$ и уравнения $y2+ 2y− 8$ нет целых корней.

Ответ:

для $n = 3t+ 2,m= 3k+ 2 (t,k∈ ℤ) x= 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#46231

Целые, положительные, шестизначные числа $a 1$ и $a 2$ такие, что если к сумме цифр числа $a 1$ прибавить сумму цифр числа $a 2$ , то получится $36.$ Найти наибольшее возможное при этих условиях значение $a1 ⋅a2$ .

Источники: Росатом-17, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Сумма 36 - не так уж много! Давайте попробуем понять, какая максимальная сумма у наших чисел! Каждое из них не больше 990000...

Подсказка 2!

Осталось оценить произведение и не забыть, что нужен пример!

Показать ответ и решение

Посмотрим сначала на сумму этих чисел. Заметим, что она не превосходит $990000+ 990000= 18 ⋅100000 +18⋅10000$ . Действительно, каждая цифра отвечает за то, сколько раз нам взять число $k 10,k∈ {0,...5}$ . Каждая цифра не больше $9$ , потому сумму больше мы получить просто не можем — выгоднее всего брать максимальные степени $10$ , что мы и сделали.

Итак, мы знаем, что $2 a1+ a2 ≤ 2⋅990000 =⇒ a1⋅a2 ≤ 990000$ (по неравенству о средних максимум произведения при фиксированной сумме достигается при равенстве чисел). То есть наша оценка достигается при $a1 = a2 =990000$ , что удовлетворяет условию.

Ответ:

$9900002$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#46229

Целые числа $2a2$ и $3a$ имеют одинаковые остатки при делении на $18$ . Какие ненулевые остатки может иметь число $a> 0$ при делении на $18$ ?

Источники: Росатом-17, 11.3 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Попробуем рассмотреть некоторый модуль, например, 3! Посмотрите, чему равны остатки наших чисел по модулю три.

Подсказка 2!

Да, 0! У 3а точно ноль, а так как его остаток при делении на 18 тоже делится на 3, то и у 2а^2 тоже!

Подсказка 3!

Вспомните, что если число делится на 3, то его квадрат - делится на 9!

Показать ответ и решение

По условию $2a2− 3a$ делится на $18$ , значит, и на $3$ . Так как $3a$ делится на $3$ , то и $2a2$ делится на $3$ . Так как $2$ и $3$ взаимнопросты, то $2 a$ делится на $3$ , значит, и на $9$ , причём $a$ делится на $3$ .

По условию $2 2a − 3a$ делится на $18$ , значит, и на $2$ . Так как $2 2a$ делится на $2$ , то и $3a$ делится на $2$ . Так как $3$ и $2$ взаимнопросты, то $a$ делится на $2$ .

В итоге $a$ должно делиться на $6$ . Ненулевые остатки по модулю $18$ могут быть только $6$ или $12$ .

Если $a ≡186$ , то $2 2a ≡18 0 ≡183a.$

Если $a ≡1812 ≡18−6$ , то аналогично.

Ответ:

$6$ и $12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#44069

Сколько пар $(x;y)$ целых чисел, являющихся решениями уравнения $7x − 5y = 23,$ удовлетворяют неравенству $x2+ y2 ≤37?$ Найти пару $(x;y),$ для которой $x+ y$ наибольшее.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сделать оценку на модули x и y, а так же запишем 7x - 5y = 23 как x = (23+5y) / 7. Что можно сказать об y?

Подсказка 2

y = -6 или y = 1! Проделайте аналогичные действия с x, тогда несложно будет найти наибольшее значение x+y.

Показать ответ и решение

Легко видеть, что $|x|≤ 6,|y|≤6.$ При $y ∈ [−6,6]$ выражение $23+ 5y$ кратно семи только при $y ∈ {− 6,1}.$ Для $x$ имеем соответственно ${−1,4}.$ Наибольшее значение $x+ y$ равно $5.$

Ответ:

$2$ пары, наибольшую сумму имеет пара $(4,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#49158

Положительное целое число $x$ при делении на $7$ имеет остаток $2,$ а его квадрат $x2$ при делении на $49$ имеет в остатке $39.$ Сколько таких чисел находится на отрезке $[100;1000]$ ?

Источники: Росатом-14, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если число дает остаток 2 по модулю 7, то какой остаток оно может давать по модулю 49?

Подсказка 2

Да, только остатки 2,9,16,23,30,37,44. Но при этом у нас есть условие и про квадрат этого числа. Все ли остатки из списка выше подходят под условие?

Подсказка 3

Нет, под условие подходит только остаток 23, а это значит, что чтобы записать ответ, осталось лишь найти все числа х=23(mod49) !

Показать ответ и решение

Числа, дающие по модулю $7$ остаток $2$ , могут давать по модулю $49$ только остатки $2,9,16,23,30,37,44$ . При возведении этого остатка в квадрат должно получиться $39$ по модулю $49$ — этому условию удовлетворяет только остаток $23$ . Отсюда нам подходят те и только те числа, которые дают остаток $23$ по модулю $49$ . Это числа $121,170,...954$ , которых $18$ штук.

Ответ:

$18$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#49161

Найдите натуральные числа $n$ , для которых

( 2 ) ( 2 ) НОК n,n +15 ⋅НОК(n,n+ 3)=5 n + 45 .

Источники: Росатом-12, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте поподстовлять достаточно большие n в это уравнение и что-то заметить. Какая часть уравнения выбивается и почему?

Подсказка 2

Давайте посмотрим на выражение. Видно, что слева что-то очень большое, как минимум потому, что НОК(n,n^2+15)-это что-то (по примерным оценкам) точно большее квадрата(если мы оцениваем в общем виде), да еще, к тому же, НОК(n,n+3)-это тоже что-то большое, так как их максимальный НОД это 3(их разница делится лишь на 1 и 3). Значит, в задаче используется оценка. Подумайте как оценить каждый НОК

Подсказка 3

Любой НОК(a,b)>=max(a,b). Зная это, каждый из НОК-ов оценивается понятно, и произведение НОК-ов - кубическая функция. Но при этом квадратная ее больше или равна. Часто ли такое случается?

Подсказка 4

Ну конечно же, не часто. Потому что рано или поздно кубическая функция станет больше квадратичной. И это происходит только при n<=5. Осталось перебрать и получить ответ.

Показать ответ и решение

Воспользуемся очевидным неравенством $Н ОК(a,b)≥ max{a,b}$ . Отсюда следует

2 2 3 2 5(n +45)≥(n + 15)⋅(n+ 3) ⇐ ⇒ f(n)= n − 2n + 15n− 180 ≤0

Заметим, что $f′(x)= 3x2 − 4x+ 15> 0∀x∈ ℝ$ , то есть функция монотонно возрастает. Поскольку при $n = 6$ имеем $f(n)=54> 0$ , то $n ≤5$ . Заметим также, что один из НОК-ов должен делиться на $5$ , что не выполняется при $n= 1,3,4$ , поэтому остаётся перебрать два случая

$n =2$ . Получаем $38⋅5⁄= 5⋅(1+45)$ .
$n =5$ . Получаем $40⋅40⁄= 5⋅70$ .

Ответ:

решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#49156

Для каких натуральных $y$ уравнение

2 x + НОД (y;4)⋅x − 6Н ОД(y;3)= 0

имеет целые решения?

Источники: Росатом-12, 11.5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути перед нами квадратное уравнение относительно х, но со странными коэффициентами. Подумайте, как можно в явном виде определить эти коэффициенты.

Подсказка 2

Да, мы можем определить эти коэффициенты только по остатку от y при делении на 12. То есть нужно перебрать 12(на самом деле меньше вариантов), получить квадратное уравнение и решить задачу(но главное-правильно записать ответ, ведь мы берем только остаток, и а y может быть и другим)

Показать ответ и решение

Заметим, что $a= НОД(y;4)∈ {1,2,4},b= НО Д(y;3)∈{1,3}$ , обе принадлежности определяются остатком $y$ по модулю $12$ . Разберём случаи

$a =1,b= 1$ . Получаем уравнение $x2+ x− 6= 0$ , которое имеет целые корни $x= −3,2$ . Этому случаю удовлетворяют остатки $1,5,7,11$ .
$a =2,b= 1$ . Получаем уравнение $2 x +2x− 6= 0$ , которое целых корней не имеет.
$a =4,b= 1$ . Получаем уравнение $2 x +4x− 6= 0$ , которое целых корней не имеет.
$a =1,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +x− 18= 0$ , корней нет.
$a =2,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +2x− 18= 0$ , корней нет.
$a =4,b= 3$ . Получаем уравнение $x2 +4x− 18= 0$ , корней нет.

Ответ:

$y ∈{{1,5}+ 6k}, k∈ ℕ∪{0}$

Предыдущий раздел

Следующий раздел