Параметры на Росатоме —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Параметры на Росатоме

Тема Росатом

Параметры на Росатоме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83309

Область $G$ на плоскости, ограниченная двумя параболами $y =− 2x2 +3x$ и $y = x2+ px +q,$ имеет площадь 32. Вертикальная прямая $x =1$ разбивает её на две равновеликие части. Найти $p$ и $q$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Площади, графики, да тут всё намекает на определённый интеграл, а чтобы его найти надо посмотреть на модуль разности графиков, именно модуль, потому что площадь должна быть не отрицательной!

Подсказка 2

Нам сказано, что прямая x = 1 разбивает график на 2 равновеликие части, а парабола сама по себе фигура довольно симметричная, не можем ли мы что-то сказать про точку x = 1 для параболы?

Подсказка 3

Верно, это абсцисса вершины параболы, а мы умеем находить её через коэффициенты параболы, остаётся только посчитать определённый интеграл и получить условие на q, и задача будет уничтожена!

Показать ответ и решение

Обозначим данные параболы $y(x)= −2x2+3x 1$ и $y (x)= x2+ px+ q, 2$ пусть они пересекаются в точках с абсциссами $x1 < x2.$

Ограниченная ими площадь (над одним графиком и под другим) равна модулю разности площадей под графиками на отрезке $[x1,x2].$ А это по формуле Ньютона-Лейбница считается как

||∫ x2 ∫ x2 || ||∫ x2( 2 ) || || x1 y1(x)dx− x1 y2(x)dx||= ||x1 3x + (p − 3)x+ qdx||

Заметим, что полученный интеграл равен площади под графиком параболы $3x2+(p− 3)x+ q$ на отрезке $[x1,x2]$ . По условию прямая $x =1$ делит эту площадь на две равновеликие. Значит, $x= 1$ — абсцисса вершины этой параболы. С одной стороны, она равна $3−6p,$ а с другой стороны, $x1+2x2= 1.$ Тогда находим

3−-p =1 =⇒ p= −3 6

Теперь запишем данное в условии значение площади и получим уравнение на оставшийся параметр:

| | 32= ||∫ x2(3x2− 6x+ q)dx||=||(x3− x3− 3(x2 − x2)+q(x − x))||= |x1 | 2 1 2 1 2 1

| | | | = |(x2− x1)(x21 +x22+ x1x2 − 3x1− 3x2 +q)|=|(x2 − x1)((x1+x2)2− x1x2− 3(x1+ x2)+q)|=

|| 2q|| |||∘---4q 2q||| (∘ ---q)3 = ||(x2− x1)(−2+ 3-)||= || 4− -3 (2− 3-)||= 4 1− 3

(∘---q)3 8= 1 −3

q 4= 1− 3

q = −9

Ответ:

$p =−3,q = −9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76643

Найти все числа $C$ , для которых неравенство $|αsin x+β cos2x|≤C$ выполняется при всех $x$ и любых $(α;β)$ таких, что $2 2 α + β ≤ 4.$

Источники: Росатом-2022, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Функции синус и косинус ограничены отрезком [-1;1]. Значит, можно оценить левую часть, избавившись от этих функций.

Подсказка 2

Найдите максимальное значение левой части при фиксированных коэффициентах и покажите, что оно достигается.

Подсказка 3

Используя второе условие, можно нарисовать получившиеся ограничения на C. Из рисунка будет понятно, какие значения подходят под ответ.

Показать ответ и решение

$f(x)= |αsin x+β cos2x|≤|α||sinx|+ |β||cos2x|≤ |α|+ |β|.$ Покажем, что значение $|α|+ |β|$ всегда достижимо для функции $f(x)$ при любых $(α;β):$

1. Если $α$ и $β$ одного знака, то $(3π) f 2 = |− α − β|= |α|+ |β|;$

2. Если $α$ и $β$ разных знаков, то $(π) f 2 =|α− β|=|α|+|β|$

Таким образом, при фиксированных $(α;β)$ максимальное значение $f(x)$ равно $|α|+|β|.$ В круге $2 2 α +β ≤4$ величина $|α|+ |β|$ принимает наибольшее значение $√- 2 2.$

$PIC$

Итак, при любых $(α;β)$ в круге $α2 +β2 ≤4$ и при любых $x$ справедливо неравенство $f(x)= |αsin x+β cos2x|≤2√2,$ так что любое $C < 2√2$ не удовлетворяет условию задачи, а $C ≥2√2$ искомое.

Ответ:

$C ≥ 2√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80456

При каких значениях а точка с координатами $(sina;sin3a)$ симметрична точке с координатами $(cosa;cos3a)$ относительно прямой с уравнением $x +y =0$ .

Показать ответ и решение

Если точки $A(sina;sin3a)$ и $B (cosa;cos3a)$ симметричны относительно прямой, то вектор $AB$ должен быть перпендикулярен прямой и середина $AB$ должна лежать на этой прямой. Тогда скалярное произведение

0=< AB,(1,−1)>= cosa− sina− cos3a +sin3a =0

sina+-cosa sin3a+-cosa- 2 + 2 =0

Тогда $cosa+ cos3a =0$ и $sina+ sin3a= 0$ .

Перепишем эти равенства так:

cosa= cosπ+ 3a

sin a= sinπ+ 3a

Из первого равенства следует, что либо $a= π+ 3a +2πk$ , либо $− a= π+ 3a+ 2πk$ , а из второго равенства следует, что либо $a =π +3a+ 2πk$ , либо $π− a= π+ 3a +2πk$ .