Неравенства без логарифмов и тригонометрии —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Тема АЛГЕБРА

Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Сравнение чисел

Неравенства с модулем

Иррациональные неравенства с радикалами

Неравенства с модулями И корнями

Показательные неравенства

Использование монотонности в неравенствах без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с целой и дробной частями

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88273

Решите неравенство

x 2x+1- 2x+7 2x−1 9 − 2 2 <2 2 − 3

Показать доказательство

Разделим левую и правую части на $2x$ ( $2x > 0,$ поэтому знак неравенства сохранится). Получаем:

9x 1 7 32x−1- 2x − 22 <22 − 2x

9x 32x−1 7 1 2x +--2x--< 22 + 22

x 2x √- √- 9x + 1 ⋅ 3x-< 8 2+ 2 2 3 2

( ) 1+ 1 9x < 9√2- 3 2x

√ - 9x < 27-2 2x 4

(9)x ( 9)32 2 < 2

Поскольку $( ) f(x)= 92 x$ — возрастающая функция (т.к. $92 > 1$ ), то решением неравенства $f(x)< f(32)$ будет:

x < 3 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88259

Решите неравенство

∘ ---1- 7x − 1 5 1− x > -x---

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

∘ x-− 1 x− 1 5 --x- > -x--+ 6

Введем замену:

∘ ----- t= x−-1 x

Тогда неравенство сведется к

5t> t2+ 6

t2− 5t+ 6< 0

(t− 2)(t− 3)< 0

Решением будут $t∈ (2;3).$ Сделаем обратную замену.

∘ ----- { −3x−1 2 < x-− 1 <3 ⇔ 4< x−-1< 9⇔ --x--> 0 x x −8x−x1-< 0

Применим метод интервалов для первого неравенства системы:

$PIC$

То есть решение первого неравенства $x ∈(− 13;0).$

Для второго неравенства:

$PIC$

Его решением будет $x∈(−∞; − 18)∪ (0;+∞ ).$

Тогда общее решение:

x∈(− 1;− 1) 3 8

Ответ:

$x ∈(− 1;− 1) 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88257

Решите неравенство

√16−-x2 -3−-x--≤ 1

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88256

Решите неравенство

√x6−-64 -x−-3--≥ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По ОДЗ: x⁶ - 64 ≥ 0 и x≠3. А что мы знаем про корень? Какие значения он принимает?

Подсказка 2

Корень не может быть отрицательным. Значит, числитель дроби всегда неотрицательный. Что можно сказать про x = 2, а про x = -2?

Подсказка 3

Если x = 2 или x = -2, то вся левая часть обращается в ноль! А это нам подходит. Теперь отбросим эти значения. Каким тогда должен быть знаменатель?

Подсказка 4

Получается, что и знаменатель тоже больше нуля! А когда он больше нуля?

Подсказка 5

При всех x > 3

Показать ответ и решение

Заметим, что корень неотрицателен, поэтому рассмотрим два случая:

1) Числитель левой части неравенства равен 0, тогда знак знаменателя не важен.

6 x − 64= 0

[ x =− 2 x =2

При этом знаменатель не обращается в 0, поэтому эти значения подходят.

2) $x6 − 64> 0,$ тогда числитель в левой части исходного неравенства больше 0, следовательно, исходное неравенство выполняется, если знаменатель больше 0:

x− 3> 0

x> 3

Видно, что при всех этих значениях выполняется условие $6 x − 64> 0,$ значит, все они подходят

В итоге ответ: $x∈ {− 2;2}∪ (3;+∞ ).$

Ответ:

${−2;2}∪(3;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88253

Решите неравенство

√5-(x− 5) 1< √x2-− 10x+-26

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88252

Решите неравенство

∘ --7-----3 5x-−-332x-≤ x3 5x− x − 4

Показать ответ и решение

Решение скрыто

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88249

Решите неравенство

---1-- 2-− 3⋅51−x 5−x− 1 ≥ 5x− 1

Показать ответ и решение

Сделаем замену $5x = t, t> 0$ . Тогда

1 -1--≥ 2-− 15⋅t 1− 1 t− 1 t

Домножив числители и знаменатели дробей на $t$ , получаем

-t--≥ 2t− 15 1− t t2− t

t 2t− 15 1− t + t(1− t) ≤ 0

(t+-5)(t− 3)≤ 0 t(1− t)

И так как $t+ 5 и t> 0$ , имеем

t−-3≤ 0 1 − t

Методом интервалов получаем $t∈ (1;3]$ , а значит $x∈ (0,log53]$

Ответ:

$(0;log 3] 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88248

Решите неравенство

--1-- ---1--- 2x− 1 > 1− 2x−1

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x−1 =t, t> 0$

1 1 2t−-1 > 1−-t

(1(−2t t−)−1)((21t−−t)1)->0

---2−-3t---->0 (2t− 1)(1− t)

Методом интервалов получаем $(1 2) t∈ 2;3 ∪(1;+ ∞)$

1 x− 1 3 x−1 2 < 2 < 2, 2 > 1

( ) x ∈ 0;1+ log2 2 ∪ (1;+∞ ) 3

Ответ:

$(0;2 − log 3)∪ (1,+∞ ) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#85173

Решите неравенство

∘-2------- x − 3x+ 2≤ x− 1

Показать ответ и решение

Разложим подкоренное выражение на множители:

∘---------- (x− 1)(x− 2)≤x − 1

Если правая часть отрицательна, то решений нет, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Если правая часть неотрицательна, то можем возвести в квадрат, не забыв про ОДЗ:

2 0≤ (x− 1)(x− 2)≤ (x− 1)

{ (x− 1)(x− 2)≥0 (x− 1)((x− 2)− (x− 1))≥ 0

{ x ∈(−∞;1]∪[2;+ ∞) x ≥1

x ∈{1}∪[2;+ ∞)

Ответ:

${1}∪[2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85030

Решите неравенство

∘--2------- 1− 2x 3x − 8x− 3 > 3

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 3x − 8x− 3≥ 0

(x − 3)(3x+ 1)≥0

( ] x ∈ − ∞;− 1 ∪[3,+∞ ) 3

Теперь заметим, что если правая часть исходного неравенства отрицательна, то оно верно, т.к. левая часть неотрицательна.

1−-2x- 3 < 0

x > 1 2

Учтём ОДЗ и получим, $x∈[3,+ ∞).$

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≤ 1, 2$ т.е. правая часть исходного неравенства неотрицательна. Возведём его в квадрат.

3x2− 8x − 3 > 1− 4x+-4x2 9

2 23x − 68x− 28> 0

( 34−-30√2-) (34+-30√2 ) x∈ − ∞; 23 ∪ 23 ;+∞

Учтём ОДЗ и $x ≤ 1, 2$ получим, $( √ -) x∈ −∞; 34−-30--2 . 23$

В итоге ответом будет

( √-) x ∈ −∞;34−-30-2 ∪[3;+∞ ) 23

Ответ:

$( 34 − 30√2) −∞; ---23---- ∪[3;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85029

Решите неравенство

-----3x+3----- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x2− 2x+10≥ 0 √---------- ( 3− x2− 2x+ 10 ⁄=0

( { (x− 1)2+ 9≥ 0 ( (x− 1)2+ 9⁄= 9

x⁄= 1

Теперь преобразуем исходное неравенство

( √ ---------) 3x+-3−--3−--x2−-2x-+10- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 0

√---------- 3x+√-x2−-2x+10-≤0 3 − x2− 2x+ 10

Докажем, что знаменатель всегда отрицательного знака

∘ -2-------- 3− x − 2x+ 10< 0

9 <x2 − 2x+ 10

0< (x− 1)2

Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘-2-------- 3x+ x − 2x+ 10 ≥0

∘x2−-2x+-10-≥− 3x

Заметим, что если $− 3x < 0,$ т.е. $x >0,$ то неравенство верно, т.к. левая часть неотрицательна. Теперь рассмотрим случай $x ≤0,$ возведём неравенство в квадрат.

x2− 2x+ 10≥ 9x2

8x2+ 2x − 10≤ 0

(x − 1)(4x+ 5)≤0

[ ] x ∈ − 5;1 4

Но т.к. $x ≤0,$ то

x ∈[− 5;0] 4

Объединим все случаи и учтём ОДЗ, в итоге получим

[ 5 ) x ∈ −4 ;1 ∪(1;+∞ )

Ответ:

$[− 5;1) ∪(1;+∞) 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85027

Решите неравенство

√---- ∘--2------- 2− x< 3x − 2x− 2

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 2− x≥ 0 3x2− 2x − 2 ≥0

(|{ x ≤2 ( √-] [ √- ) |( x ∈ −∞; 1−3-7 ∪ 1+37;+∞

( √-] [ √- ] x∈ − ∞;1−--7 ∪ 1+--7;2 3 3

Теперь исходное неравенство возведём в квадрат

2− x< 3x2− 2x− 2

3x2− x − 4 >0

(x +1)(3x− 4)> 0

(4 ) x∈ (−∞;−1)∪ 3;+∞

Пересекаем с ОДЗ и получаем в итоге

( ] x ∈(−∞;− 1)∪ 4;2 3

Ответ:

$(−∞; −1)∪( 4;2] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#85026

Решите неравенство

∘-------2 2 − x − x > −1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 2 − x− x ≥ 0

(x− 1)(x+ 2)≤ 0

x∈ [−2;1]

Заметим, что левая часть всегда принимает неотрицательные значения, следовательно, неравенство верно на всей ОДЗ.

Ответ:

$[−2;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#85025

Решите неравенство

13− 6x+√4x2-− 2x−-6 -------5−-2x-------> 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При решении подобного вида задач часто помогало занесение всех выражений под один знаменатель, затем нахождение нулей у числителя и знаменателя, а затем грамотное объединение всех подходящих интервалов с учётом ОДЗ.

Подсказка 2

Чтобы найти нули у числителя нужно решить уравнение sqrt(4x^2-2x-6) = 4x-8, при условии, что 4x-8 >= 0, иначе левая часть не отрицательна, а правая отрицательна. Не забывайте, что мы рассматриваем такие случаи, потому что возведение в квадрат уравнений равносильно только когда выражения одного знака!

Подсказка 3

Теперь, когда с нулями числителя мы расправились, нужно решить условия на ОДЗ и воспользоваться методом интервалов (подставить в каждый из получившихся промежутков по точке и посмотреть на знак выражения)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0 5− 2x⁄= 0

(| ( 3) |{ 2(x+ 1) x− 2 ≥0 ||( 5 x ⁄= 2

( [3 ) ||{ x∈ (− ∞,−1]∪ 2,+∞ || 5 ( x⁄= 2

[ ) ( ) x∈(−∞, −1]∪ 32,52 ∪ 52,+ ∞

Рассмотрим несколько случаев. Когда

5 5− 2x> 0 ⇐⇒ x< 2

Тогда

∘ ---------- 13− 6x+ 4x2− 2x − 6 >5− 2x

∘--2------- 4x − 2x− 6> 4x − 8

Тут два случая. Первый,

4x− 8< 0 ⇐⇒ x< 2

Пересекаем с ОДЗ, получаем $[ ) x∈ (− ∞,−1]∪ 3,2 . 2$

Второй, при

4x− 8≥ 0 ⇐⇒ x≥ 2

Тогда

4x2− 2x − 6 >16x2− 64x +64

2 12x − 62x+ 70< 0

(x − 7)(x − 5) < 0 2 3

( 5 7) x ∈ 3,2

Учтём $5 x< 2,x≥ 2$ и ОДЗ, получим $[ 5) x∈ 2,2 .$

Теперь

5− 2x< 0 ⇐⇒ x> 5 2

Тогда

13− 6x+∘4x2-−-2x-− 6-<5− 2x

∘---------- 4x2− 2x− 6< 4x − 8

Заметим, что при $5 x > 2$ правая часть положительна, тогда

4x2− 2x − 6 <16x2− 64x +64

12x2− 62x+ 70> 0

( 7)( 5) x− 2 x −3 > 0

( ) ( ) x∈ −∞, 5 ∪ 7,+∞ 3 2

Учтём $x> 5 2$ и ОДЗ, получим $( ) x∈ 7,+∞ . 2$

В итоге, объединив все случаи, $[ ) ( ) x ∈(−∞,− 1]∪ 3,5 ∪ 7,+∞ . 2 2 2$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в прошлом решении, запишем ОДЗ неравенства:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0 5− 2x⁄= 0

( ( ) ||{ 2(x+ 1) x− 3 ≥0 2 ||( x ⁄= 5 2

[ ) (|| x∈ (− ∞,−1]∪ 3,+∞ { 2 ||( x⁄= 5 2

[3 5) ( 5 ) x∈(−∞, −1]∪ 2,2 ∪ 2,+ ∞

Теперь перенесём $1$ влево и приведём всё к общему знаменателю, преобразуем.

√--2------- 8− 4x+-4x-−-2x−-6> 0 5− 2x

Давайте рассмотрим левую часть, как уравнение, и найдём его корни, то есть когда левая часть зануляется, вместе с выколотой точкой. Понятно, что левая часть равна нулю, когда числитель равен нулю. Решим уравнение на ОДЗ, которое равно $4x− 8> 0,$

∘---------- 4x2− 2x− 6= 4x − 8

Возведём уравнение в квадрат. Преобразуя, получим:

12x2− 62x+ 70= 0

Откуда находим корни $7 x = 2$ и $5 x= 3,$ где последний корень не подходит под ОДЗ уравнения.

Теперь можем воспользоваться методом интервалов, подставляя какие-то удобные точки из промежутка.

На промежутке $[−∞, −1]$ можно выбрать $x= −2,$ откуда получим положительный знак.

На промежутке $[3 5) 2,2 ,$ взяв точку $x =2,$ знак положительный.

На промежутке $(5 7) 2,2 ,$ взяв точку $x =3,$ знак отрицательный, так числитель положительный, а знаменатель отрицательный.

И на промежутке $(7 ) 2,+∞$ взяв точку $x= 4,$ знак положительный, так как и числитель, и знаменатель меньше $0.$

Итого, совмещая все интервалы и не забывая не выколотые точки — здесь это $x = −1$ и $3 x= 2,$ получаем, что $[ ) ( ) x ∈(−∞,− 1]∪ 3,5 ∪ 7,+∞ . 2 2 2$

Ответ:

$(−∞; −1]∪[3;5) ∪( 7;+ ∞) 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#85023

Решите неравенство

∘ √---------- 16x+ 36+ 6≥ x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Столько корней, значит, стоит сразу посчитать ОДЗ. При каких х из ОДЗ неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

При x < 0. Значит, теперь мы рассматриваем только х ≥ 0. Больше ничего не поделать, поэтому придётся возводить обе части неравенства в квадрат. Перенесём 6 в правую часть и опять получим неравенства вида «корень ≥ выражение через х». И вновь можно сказать, что когда правая часть отрицательная, то неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Подсказка 3

И вот мы рассматриваем х, такие что х ≥ 0 и x² - 6 ≥ 0, и опять возводим в квадрат наше неравенство, которое после приведения подобных и разложения на множители можно решить методом интервалов.

Показать ответ и решение

∘ √---------- 16x+ 36+ 6≥ x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ОДЗ:

9 16x +36≥ 0 ⇐⇒ x≥ −4

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При $9 − 4 ≤x < 0$ видно, что правая часть отрицательна, а левая положительна, неравенство выполняется, значит, эти значения подходят.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≥0.$ Возведём наше выражение в квадрат

√ ------- 16x +36+ 6≥ x2

√ ------- 16x +36≥ x2− 6

Рассмотрим несколько случаев. Во-первых,

( ) x2− 6 <0 ⇐ ⇒ x ∈ −√6,√6-

С учётом условия $x ≥0$ получим $[ -) x∈ 0,√6 .$

Во-вторых,

( { x2− 6 ≥0 ( (2 )2 16x+ 36≥ x − 6

(|{ x∈ (− ∞,−√6] ∪[√6,+∞ ) |( 16x +36≥ x4− 12x2+ 36

Учтём, что у нас $x≥ 0$

( [√ - ) |{ x∈ 6,+∞ |( 3 x(x − 12x − 16)≤ 0

( [√ - ) |{ x∈ 6,+ ∞ |( 2 x(x − 4)(x +2) ≤ 0

Решим второе неравенство методом интервалов

(| [√- ) { x ∈ 6,+∞ |( x ∈{−2}∪ [0,4]

[ ] x ∈ √6,4

_____________________________________________________________________________________

В итоге, объединив все случаи получим, что $[ ] x ∈ − 9 ,4 . 4$

Ответ:

$[− 9;4] 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#85022

Решите неравенство

∘-2---- x − 25⋅(x− 3)≤ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не спешите возводить в квадрат, как только увидели корень. Обратите внимание на знак неравенства и вспомните, какие значения принимает корень.

Подсказка 2

Когда смотришь на это неравенство, так и хочется сократить на корень, хорошо, что он по определению неотрицательный. Значит, нужно рассмотреть только случай, когда он 0, а потом уже можно и сокращать!

Подсказка 3

Если корень равен нулю, то неравенство выполнено всегда! осталось решить такое уравнение, когда же корень равен нулю.

Показать ответ и решение

∘-2---- x − 25⋅(x− 3)≤ 0

⌊ x2− 25 =0 || ( |⌈ { x2− 25> 0 ( x − 3 ≤0

⌊ [ x =5 ||| x =− 5 || ({ |⌈ x∈ (− ∞,−5)∪(5,+∞ ) ( x≤ 3

⌊ [ x= 5 || x= −5 |⌈ x∈ (−∞,−5)

x∈(−∞, −5]∪{5}

Ответ:

$(−∞,− 5]∪ {5}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#77199

Сравните числа:

10 10 (10!) и (10 )!

Напомним, что через $n!$ обозначается произведение $1⋅2⋅3 ⋅...⋅n$ .

Показать ответ и решение

Левая часть это $10!$ десять раз. А правая часть это:

10 10 10 10 10 10 (10 )!= 10 ⋅(10 − 1)⋅(10 − 2)⋅(10 − 3)⋅...(10 − 9)⋅...⋅1

Тогда сравним $1010 − 9 и 10!$ .

9 10 10!= 1⋅2⋅3⋅...⋅10< 10⋅10⋅10⋅...⋅10= 10 < 10 − 9.

(Заменили каждый множитель $10!$ на $10$ )

Тогда можно сказать, что правая часть больше левой.

Ответ:

$(10!)10 <(1010)!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#67699

Решите неравенство

∘ --------2- √---- 15− 2x − x + x − 3> 2x− 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные корни — это нехорошо... Возводить в квадрат тут не вариант, так как, во-первых, ничего не сократится, и появятся ещё корни. А во-вторых, при возведении в квадрат обе части должны быть положительными, то есть нужно будет рассматривать дополнительные случаи. Но у нас есть корень с квадратным трёхчленом. Что напрашивается сделать с ним в первую очередь?

Подсказка 2

Верно, давайте разложим его на множители. А дальше ещё раз обратим внимание на выражение под корнями. Видим, что под одним корнем у нас 3-x, а под другим x-3. А что вообще хорошо бы сделать, когда в выражении участвуют корни?

Подсказка 3

Точно, давайте запишем ограничение на них, ведь они должны быть больше нуля. Что же у нас получается? В одном случае x≥3, а в другом x≤3. Но тогда решение найдено, победа!

Показать ответ и решение

Выпишем условия ОДЗ

{ 15− 2x − x2 ≥0 x− 3≥ 0

{ (3− x)(x+ 5)≥ 0 x≥ 3

{ −5 ≤x ≤3 x≥ 3

x= 3

Получаем единственное возможное решение. После подстановки убеждаемся, что оно подходит.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#67556

Существует ли целое $n > 1$ , удовлетворяющее неравенству

[√---- √----] [√ ----] n − 2+ 2 n+ 2 < 9n+ 6?

(Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ , то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$ .)

Источники: Тургор-2023, 11.2 (см. www.turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первая мысль, которая возникает при виде этого неравенства, — это избавиться от целых частей, с ними неудобно работать. В конце концов, тут есть корни, если бы можно было в исходном неравенстве убрать целые части, то дальше можно и в квадрат возводить спокойно. Что ж, можно попытаться доказать, что целые части действительно можно убрать...

Подсказка 2

Для этого примените неравенства, возникающие из определения целой части числа. Что ж, дальше попробуем пользоваться возведением в квадрат. И... в итоге получается тривиальное неравенство, не содержащее n :( Что это может значить? Вероятно, надо как-то ещё преобразовать исходное неравенство, чтобы такой способ сработал. Если и пытаться это делать, то для правой части, она выглядит получше. Не поможет ли возведение её в квадрат?

Подсказка 3

Хм, можно оценить, что квадрат правой части (к слову, целой) не больше, чем 9n + 6. Подумаем, а когда в таком неравенстве достигается равенство?

Подсказка 4

Вообще, при равенстве получится, что квадрат целого числа даёт остаток 6 по модулю 9. Стоп, а такое вообще возможно?

Подсказка 5

Нет, квадраты чисел по модулю 9 не дают остаток 6! Более того, остаток 5 они тоже не дают, а вот остаток 4 уже может получиться. А тогда можно оценить правую часть более строго!

Подсказка 6

Действительно, получается, что квадрат правой части на самом деле не больше, чем 9n + 4, давайте преобразуем исходное неравенство, а дальше опять будем возводить в квадрат, остаётся надеяться, что в результате получится более содержательное неравенство

Показать ответ и решение

Предположим целое $n> 1$ удовлетворяет этому неравенству. Имеем