Тригонометрия —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тригонометрия

Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Оценки в тригонометрии

Вспомогательный аргумент

Аркфункции

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88272

Решите уравнение

4 3 2sin x+ 7cosx =2

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов и основному тригонометрическому тождеству уравнение эквивалентно

3 2 2 7cosx = 2(1+ sin x)cos x

Отсюда $cosx = 0$ или

2 7cosx =2(2− cos x)

2cos2x+ 7cosx− 4 =0

cosx= −7±-9 4

cosx= 1 2

То есть $x= ±π +2πn,n∈ ℤ 2$ или

x= ±π + 2πn,n ∈ℤ 3

Ответ:

$± π + 2πn,± π+ 2πn,n ∈ℤ 2 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88168

Решите уравнение

6− 5sin2-x cos2x = 5tgx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать в задаче это записать условие на косинус. Он должен быть не равен нулю. Дальше какое естественное действие хочется сделать с тангенсом?

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе

{ cosx⁄= 0 2 6− 5sin x= 5sinx cosx

Подставляя $6= 6(sin2x +cos2x)$ во второе уравнение, получаем

2 2 sin x+6 cos x− 5sinxcosx= 0

$cos2x= 0$ не является решением, поэтому поделив обе части неравенства на $cos2x⁄= 0$ , имеем

tg2 x− 5 tgx +6= 0

[ tgx= 2 tgx= 3

[ x = arctg2 +πk, k ∈ℤ x = arctg3 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$arctg2 +πk, arctg3+ πk, k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88167

Решите уравнение

5+ 2sin2x− 5cosx = 4sinx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В формуле у нас почти везде участвует просто синус или косинус. Что тогда можно сделать с синусом двойного угла?

Показать ответ и решение

Применяя формулу двойного угла для синуса, получаем

5 +4sinx cosx− 5cosx − 4sinx= 0

5(1− cosx)− 4sin x(1− cosx)= 0

(1− cosx)(5− 4sinx)= 0

⌊ cosx= 1 ⌈ sinx = 5-нет решений 4

Итого, $x= 2πk, k∈ ℤ$

Ответ:

$2πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88166

Решите уравнение

2 2cos2x+ 4cosx =sin x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что не нравится в этом выражении? От чего хотелось бы избавиться?

Подсказка 2

Косинус двойного угла здесь выбивается из общей картины. Поэтому давайте применим формулу косинуса двойного угла! Получится квадратное уравнение, какие у него корни?

Подсказка 3

Корни этого уравнения не самые приятные. Про один из них точно видно, что он меньше единицы! А вот второй — как раз от -1 до 1. Так что надо воспользоваться обратной тригонометрической функцией.

Показать ответ и решение

По формуле двойного угла $cos2x = 2cos2x− 1$ . Делая замену $cosx= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 5t+ 4t− 3 =0

⌊ −2+-√19- || t= 5√-- ⌈ t= −2−--19-< −2−-3= −1 5 5

−2+-√19- cosx = 5

−2+ √19 x =± arccos---5---+ 2πk, k∈ ℤ

Ответ:

$−2+-√19- ±arccos 5 +2πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88165

Решите уравнение

2 2sin x+cos4x= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

cos(4x) — что-то очень страшное… Как с этим можно бороться?

Подсказка 2

Точно, у нас же есть формула двойного угла, давайте применять!

Подсказка 3

Такс, а у нас теперь уже косинус двойного угла. И нам мешает только синус. А давайте вспомним еще одну формулу для косинуса двойного угла, с помощью которой мы сократим этот синус! Что останется?

Подсказка 4

Останется лишь решить квадратное уравнение: 2t² - t = 0, где t = cos(2x)

Показать ответ и решение

По формуле косинуса двойного угла $cos4x= 2cos22x− 1$ . А также $2 sin2x= 1− cos2x$ . Делая замену $cos2x= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 2t − t= 0

[ t= 0 t= 1 2

⌊ x= π+ πk, k∈ℤ ⌈ 4π 2 x= ±6 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, ± π+ πk, k∈ ℤ 4 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88164

Решите уравнение

2 2cos x+ 5sinx +1 =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим и синус, и косинус в выражении, как-то не очень удобно. Что надо применить, чтобы осталась только одна тригонометрическая функция?

Подсказка 2

Применим основное тригонометрическое тождество, тогда останется функция от синуса. Что делаем дальше?

Подсказка 3

В таких случаях всегда делаем замену переменной и получаем обычное квадратное уравнение, которое мы умеем решать. После этого останется лишь найти его корни и сделать обратную замену.

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству $cos2x= 1− sin2x$ . Делая замену $sinx= t, −1≤ t≤ 1$ , получаем

2 2t− 5t− 3 =0

[ t= 3 не подходит t= − 1 2

sinx= − 1 2

[ x= − π+ 2πk, k∈ ℤ x= 7π6+2πk, k∈ ℤ 6

Ответ:

$− π + 2πk, 7π-+ 2πk, k ∈ℤ 6 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#87410

Найдите угол $α,$ если известно, что $0< α <90∘$ и

(1+-tg2∘)(1+-tg5∘)−-2 tgα= (1− tg2∘)(1− tg5∘)− 2

Источники: СПБГУ - 2024, 11.2 (см. olympiada.spbu.ru)

Показать ответ и решение

Вспомним формулу тангенса суммы:

∘ -tg5∘-+tg2∘ tg7 = 1 − tg5∘tg2∘

Проведём с ней некоторые махинации:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tg7∘+ 1= 1−-tg5-tg2-+∘tg5∘+tg2-= 2-− (1−-tg2-)∘(1−∘tg5) 1− tg5 tg2 1− tg5 tg2

Домножим на знаменатель:

(1 − tg2∘)(1− tg5∘)− 2= −(tg7∘+ 1)(1− tg5∘tg2∘)

Если аналогично рассмотреть выражение $tg7∘− 1$ , то мы получим, что

(1+ tg 2∘)(1 +tg5∘)− 2= (tg7∘− 1)(1− tg5∘tg2∘)

Таким образом,

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ tgα = -(tg7∘−-1)(1− tg5-t∘g2)∘-= 1−-tg7∘ =-tg45-−∘tg7-∘ = tg38∘ −(tg 7 +1)(1− tg5 tg2 ) 1+ tg7 1+ tg 45 tg7

Следовательно, $α= 38∘$ .

Ответ:

$38∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#86471

Найдите все пары чисел $(x;y)$ , удовлетворяющие уравнению

(cosx +cosy)(sinx+ siny)= 2

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формулам суммы косинусов и синусов уравнение равносильно

x+ y x− y x +y x− y 2cos -2--cos -2--⋅2sin--2-cos--2- =2

По формуле синуса двойного угла это превращается в

sin(x+ y)⋅cos2 x−2-y= 1

Так как $0≤ cos2 x−2y ≤1$ и $− 1 ≤sin(x+ y)≤ 1,$ то левая часть уравнения не превосходит 1. А равенство достигается лишь в случае

{ sin(x+ y)=1 cos2 x−2y =1

{ x+ y = π+ 2πn,n ∈ℤ x− y = 22πm, m∈ ℤ

{ y = x+ 2πk,k∈ ℤ 2x = π2 + 2πn,n ∈ℤ

{ x = π4 + πn,n ∈ℤ y = π4 + πn +2πk,n∈ ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки в левой части:

(cosx+ cosy)(sinx +sin y)= (cosxsinx+ cosxsiny +cosysinx+ cosy siny)

Применим неравенство Коши-Буняковского-Шварца для векторов из $4$ чисел:

a= (cosx,siny,sin x,cosy),b= (sin x,cosx,cosy,sin y)

Получим:

(a,b)=(cosxsinx+ cosxsiny+ cosysinx +cosysiny)≤

∘ ----------------------∘ ----------------------- ≤ |a|⋅|b|= cos2x +sin2y +sin2x+ cos2y sin2x+ cos2x+ cos2y+ sin2y = 2

Но левая часть неравенства равна $2$ по условию. Значит, в неравенстве КБШ левая и правая части равны для $x,y,$ удовлетворяющих условию задачи.

Как известно, равенство в КБШ достигается, когда векторы коллинеарны, то есть для некоторого $k$

(|| cosx= ksinx ||{ sinx =k cosy || cosy = ksiny ||( siny =k cosx

Последовательно подставляя, уравнения системы получим:

2 3 4 cosx= ksinx = kcosy = k siny = k cosx

Откуда либо $cosx =0$ , тогда $siny =cosy = cosx =0,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству $0 =sin2x +cos2x ⁄=1.$

Либо $k4 = 1$ , то есть $k =±1$ .

В случае $k= −1$ получится система:

(|| cosx =− sinx ||{ sinx =− cosy || cosy =− siny ||( siny =− cosx

Подставим $cosy = − siny$ во второе уравнение системы и $cosx= − sinx$ в четвёртое

( ||| cosx =− sinx |{ sinx =sin y ||| cosy =− siny |( siny =sin x

Нетрудно проверить, что в таком случае

(cosx+ cosy)(sinx +sin y) =−2

что не подходит под условие задачи.

В случае $k= 1$ получится система:

( |||| cosx =sin x { sinx= cosy |||| cosy = siny ( siny = cosx

Которая имеет решения

(π4 + πn;π4 + πn+ 2πk),k,n ∈ℤ

Ответ:

$(π +πn;π +πn +2πk), k,n∈ℤ 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#86451

Решите уравнение

√- x sinx =− 3cos2

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

x x √ - x 2sin 2 cos2 = − 3cos 2

Ни в коем случае нельзя сокращать на косинус, надо рассмотреть два случая:

[ x cos2x = 0√3 sin 2 = −-2

Решения первого уравнения $x= π+ 2πk,k ∈ℤ$ , а второго — $8π 10π x= 3 + 4πk,k ∈ℤ;x= 3 + 4πk,k∈ ℤ.$

Ответ:

$π +2πk;8π+ 4πk;10π+ 4πk; k∈ ℤ 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85551

Решите уравнение

2 36cos(x+ cosx)cos(x− cosx)+ 9= π

и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку $[π;7π] 3 4$ .

Источники: ПВГ - 2024, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с произведением косинусов неудобно. Какие преобразования можно сделать, чтобы облегчить решение?

Подсказка 2

Воспользуемся формулами преобразования произведения в сумму и сделаем замену. А что если рассмотреть выражение как функцию?

Подсказка 3

Функция слева приобретет вид f(t) = 2t^2-1 + cos(2t). Исследуем же ее!

Подсказка 4

Какой является эта функция и где она монотонна?

Подсказка 5

Функция f возрастает на [0;1] и является четной. Если пристально посмотреть, какие же t нам подходят? А какие из них попадают в наш отрезок?

Показать ответ и решение

Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем

π2 1 cos2x+ cos(2cosx)= 18 − 2

Пусть $t=cosx$ , тогда левая часть уравнения равна $2 f(t)= 2t − 1+ cos2t$ . Функция $f$ возрастает на $[0;1]$ (так как $′ f (t)= 2(2t− sin2t$ ) >0 при $t>0$ ) и является чётной, причём $(π) π2 1 f 6 = 18 − 2$ . Следовательно, корнями уравнения $π2 1 f(t)= 18 − 2$ на отрезке $[−1;1]$ являются числа $π t= ±6$ . Возвращаясь к переменной $x$ , находим

π x= ±arccos6 +πn,n∈ Z

Так как

√ - π = arccos--2< arccosπ< arccos1= π , 4 2 6 2 3

то на указанный отрезок попадают корни $π−$ $arccosπ,π+ arccosπ 6 6$ и $2π− arccos π 6$ . Их сумма равна $4π− arccosπ 6$ .

Ответ:

$x =± arccosπ+ πn,n ∈Z 6$ .

Сумма корней равна $π 4π − arccos6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85346

Решите уравнение

-1-- cosx − cosx= tg x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что в знаменателе стоит косинус х, значит он точно не равен нулю, то есть мы можем домножить на него обе части уравнения. Что в таком случае получится в левой части?

Подсказка 2

Получится (1 - cos²x), что по основному тригонометрическому тождеству равно sin²х. А чтобы преобразовать правую часть, нужно вспомнить, чему по определению равен тангенс.

Подсказка 3

Тангенс равен sinx/cosx ! Получается правая часть равна просто синусу. Теперь в нашем уравнении одна неизвестная - sinх, и мы можем решить его с помощью замены переменной, не забывая, что косинус не равен нулю!

Показать ответ и решение

-1-- -sinx cosx − cosx =cosx

1− sinx -cosx--= cosx

{ 1− sinx= cos2x cosx ⁄=0

1− sinx= 1− sin2x

sin x= 0 или sinx= 1

учитывая, что $cosx ⁄=0 ⇐ ⇒ sin x⁄= ±1$ , подойдет только $sinx =0.$

Ответ:

$πk, k ∈ℤ$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#85345

Решите уравнение

√ - 2 x 2 √ - 2 3sin 2 +2= 2sin x + 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим квадратное уравнение на синус, только вот у него неудобные коэффициенты у аргумента из-за чего не получается сделать замену, но x/2 это половина x, что наталкивает на формулы, которые помогут исправить наше уравнение.

Подсказка 2

Да, можно же понизить степень, вылезет косинус, но так как у нас остался ещё синус в квадрате, то не составит труда и его заменить на косинус, и у нас наконец получится квадратное уравнение на косинус, которое легко решается.

Показать ответ и решение

По формуле двойного угла

2 x cosx= 1− 2sin 2

x 1− cosx sin22 = --2----

Поэтому исходное равенство можно записать в виде

2√3⋅ 1-− cosx+ 2= 2(1− cos2x)+ √3 2

−√3cosx= −2cos2x

cosx(2cosx− √3)= 0

[ cosx =0√- cosx = 23

[ π x = 2 +π πn,n ∈ℤ x =± 6 + 2πk,k ∈ℤ

Ответ:

$π + πk, ±π +2πk,k∈ ℤ 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#85344

Решите уравнение

1+4 cosx= cos2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева cosx, справа cos(2x)... а хочется, чтобы неизвестные были одинаковыми. Как можно выразить cos(2x) через cosx?

Подсказка 2

cos(2x) = 2cos²x - 1. Теперь в уравнении всего одна неизвестная - cosx, и мы может решить его с помощью замены переменной.

Показать ответ и решение

По формуле $cos2x = 2cos2x− 1$ получаем уравнение

2 2cos x− 4cosx− 2 =0

Сделаем замену $t= cosx, t∈ [−1;1]$ и решим получившееся квадратное относительно $t$ уравнение

2 √- t − 2t− 1= 0 ⇐ ⇒ t= 1± 2

Но $t= 1+ √2≥ 1$ следовательно, не является решением.

Сделаем обратную замену: $cosx= 1− √2$

x= ±arccos(1 − √2)+ 2πn, n∈ Z

Ответ:

$±arccos(1− √2)+ 2πn, n∈ Z$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#85343

Решите уравнение

√- ( 8 7 ) 2 2 cos x +x + 1 = 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Аргумент косинуса выглядит страшно, поэтому по началу может быть не понятно, как подступиться к такой задаче. В таких случаях нужно смотреть на всё уравнение: а чему вообще должен быть равен косинус?

Подсказка 2

Поделим обе части уравнения на 2√2 и получится, что косинус равен 3/2√2. Вспомните, что косинус по модулю не превышает единицу, и поймите, может ли он равняться 3/2√2.

Показать ответ и решение

Заметим, что $-3√-≥ 1 2 2$ . Действительно,

√- 3 9 2≤ 2 ⇐ ⇒ 2 ≤4 ⇐⇒ 8≤9

Ответ: решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#85342

Решите уравнение

√- tg(3x+ π∕2)= 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда тангенс равен √3?

Подсказка 2

Весь аргумент под тангенсом должен равняться pi/3 + pi*n при любых целых n

Подсказка 3

Так давайте же это запишем, получим понятное нам уравнение, в котором останется только выразить x!

Показать ответ и решение

π π 3x + 2 = 3 +πn, n ∈ℤ

π πn x= −18 +-3 ,n ∈ℤ

Ответ:

$−-π+ πn, n ∈ℤ 18 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#85341

Решите уравнение

1− sinx= cosx − sin2x

Показать ответ и решение

По формуле синуса двойного угла получаем

1− sinx= cosx − 2sin xcosx

На скобки разложить пока не получается, поэтому распишем $1$ по основному тригонометрическому тождеству и получим

2 2 sin x+ cos x+ 2sinxcosx− sinx− cosx =0

(sinx+ cosx)2− (sinx +cosx)=0

[ sinx +cosx= 0 sinx +cosx= 1

Если $cosx =0$ , то $sinx± 1$ , поэтому эта серия не является решением первого уравнения. Поэтому поделив его на $cosx ⁄= 0$ , получим $tgx =− 1$ , что равносильно $x = 3π4-+πk, k∈ℤ$