Задача №77212: Свойства логарифмов и базовые уравнения — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . Логарифмы

Свойства логарифмов и базовые уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела логарифмы

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77212

Решите систему уравнений

(| lg x +lgy +lg z = 2; { lg2y+ l4gz +lg4x= 2; |( 3 9 9 lg4z+ lg16x+ lg16y = 2.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x,y,z > 0$

( lgx +lg y+ lg z = 2; ( lg x+ 1lg y+ 1lg z = 2; (1) |{ 2 4 4 ⇔ |{ 2 21 2 21 2 |( lg3y +lg9z+lg9x= 2; |( lg13y+ 2l1g3 z+ 2lg13x= 2; (2) lg4z +lg16x +lg16y =2. 2lg2z +4 lg2x+ 4lg2y = 2. (3)

$(1)− (3):$

1 1 ( 1 1 ) lg2x+ 2lg2y+ 2lg2z − lg3y+ 2lg3z +2 lg3 = 0,

3 1 1 4lg2x + 4lg2y = 0⇒ y = x3. (4)

Запишем уравнения в системе в один логарифм:

( ( √ -- ( √ -- |{ lg2x+ lg4y+ lg4z = 2; |{ lg2(x√ yz)=2; |{ x√ yz-=4; (∗) | lg3y+ lg9z+ lg9x= 2; ⇔ | lg3(y xz)x =2; | y xz =9; (∗∗) ⇔ ( lg4z+ lg16x+lg12 y = 2. ( lg4(z√xy-)=2. ( z√xy =4. (∗∗∗)

Подставляя $(4)$ в $(∗)$ и $(∗∗)$ получаем:

(| ∘-z { x = 4, |( 1-√xz = 9. x3

Поделим первое уравнение на второе и получим:

∘-z ---x--= x3 = 4⇒ x = 2⇒ y = 27,z = 32. 1-√xz x 9 3 8 3 x3

Ответ:

$(2,27,32) 3 8 3$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse