Тригонометрия на ДВИ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тригонометрия на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Тригонометрия на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63562

Решите уравнение

2 ctgx− 2ctg 2x = 3cosx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не забываем выписать ОДЗ и смотрим на косинус справа. Он явно не даст нам работать только с тангенсами и котангенсами, значит, приводим все к выражению с косинусами и синусами!

Подсказка 2

Все еще остались двойные углы – самое время от них избавиться! А заодно и дроби собрать в одну, приведя к общему знаменателю. Приводите числитель к красивому итогу и смотрите, что получилось :)

Подсказка 3

А получилось уже совсем несложное тригонометрическое уравнение! Можем ли еще сильнее упростить его, перейдя к одной тригонометрической функции?

Подсказка 4

Если домножить обе части на знаменатель, то получится заменить квадрат косинуса на выражение с квадратом синуса по ОТТ! Остается лишь решить квадратичное уравнение и добить до ответа. Для удобства можно ввести новую переменную t = sin (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Учтём, что $sin 2x ⁄=0$ — это задаёт всю ОДЗ, далее преобразуем выражение слева:

cosx 2cos2x-− 1 1− cos2x sin-x ctgx− 2ctg2x= sin x − sinxcosx = sinxcosx = cosx

В итоге

2 sinx −3 ±5 1 3cosx = cosx-⇐⇒ 2sin2x +3sinx − 2 =0 =⇒ sinx=--4-- =− 2,2

То есть $sinx = 12,x= (−1)nπ6 + πn,n ∈ℤ$ (что удовлетворяет ОДЗ).

Ответ:

$(−1)nπ+ πn,n∈ ℤ 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63561

Решите уравнение

4sin2xcos3x− 2sin5x= tg2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскрывать по формуле синуса суммы и косинуса суммы тройные, а уж тем более “5-рные” углы мы не хотим. А что еще можно сделать с первым слагаемым левой части?

Подсказка 2

Конечно применить формулу произведения синусов! Тогда после преобразований получим выражение только с двойными углами. А с ними уже проще работать! Но не спешите применять формулу к тангенсу, ведь слева останется еще синус, который все портит. Попробуйте сначала перейти к выражению с синусами и косинусами!

Подсказка 3

Чтобы не работать с дробями – домножаем обе части на знаменатель (не забывая выписать ограничение) и теперь уже смело можем раскрывать двойные углы. Что общего у всех слагаемых?

Подсказка 4

Есть общий множитель! Выносим его за скобку, предварительно перенеся все в одну сторону – приговор для него уже подписан. А со скобкой, возможно, еще стоит поработать! Приведите ее к выражению, в котором есть только косинусы и числа. На что похоже полученное выражение?

Подсказка 5

Конечно на квадратный трехчлен! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Ищем нули известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Снова вспомним формулы $2sin2xcos3x= sin5x − sinx$ , тогда получим:

2(sin5x − sinx)− 2sin5x= tg2x=⇒ −2sinxcos2x= sin2x =2sinxcosx

Если $sinx =0$ , то $x =πn,n ∈ℤ$ , иначе

2 −1±-3 1 cosx +cos2x = 0⇐⇒ 2cos x+cosx− 1= 0=⇒ cosx = 4 = −1,2

Тут можно заметить, что для $cosx= −1$ верно $sinx= 0$ , поэтому достаточно добавить в ответ серию для второго решения $π x =± 3 + 2πn,n ∈ℤ.$

Ответ:

$πn,±π + 2πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63998

Решите уравнение

sin xcos3x= sin3xcos5x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть произведения синусов на косинусы. Давайте применим соответствующую формулу!

Подсказка 2

Супер! Теперь уничтожаем одинаковые слагаемые и смотрим, как расправиться с остальными. Обратите внимание на то, что один из полученных углов вдвое больше другого!

Подсказка 3

После того, как воспользуетесь формулой синуса двойного угла, получаем почти что обычное уравнение, которое мы прекрасно умеем решать! Выносим общий множитель за скобки и уничтожаем задачу!

Показать ответ и решение

sinxcos3x= sin3xcos5x⇐⇒ sin4x− sin2x= sin8x− sin2x

sin4x(cos4x − 1∕2)= 0⇐⇒ x =kπ∕4,x= ±π∕12 +kπ∕2,k ∈ℤ

Ответ:

$πk∕4,± π∕12+ πk∕2,k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63999

Решите уравнение

4 4 8sin x +8cos x= 8cos2x+ 9

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами уравнение с двумя триг. функциями. А можем ли как-то перейти всего к одной? С одним неизвестным выражением проще работать.

Подсказка 2

Можем раскрыть косинус двойного угла и применить ОТТ ко всем синусам (или ко всем косинусам), ведь они в удобных степенях! Но пока перед нами все же уравнение 4ой степени. А как можно упростить его внешний вид?

Подсказка 3

Конечно, ввести замену квадрата триг. функции! Получим обычное квадратное уравнение, которое легко решится. Остается только добить до ответа!

Показать ответ и решение

Обозначим $cos2x = t$ и получаем

2 2 8(1− t) + 8t =8(2t− 1)+9

2 2 8(1− 2t+t )+8t − 16t− 1= 0

16t2− 32t+7= 0

√---- t = 16±-16⋅9 =1 ± 3 16 4

Так как $t= cos2x≤ 1,$ то может быть только $t= 1. 4$ Получаем

cosx= ±1 ⇐⇒ x =± π+ πn,n∈ ℤ 2 3

Ответ:

$± π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64398

Решите систему уравнений

(| -----x---- ( 2 2) ∘ π- { cos(x2y− y2) − y⋅tg x( − y )= ∘2; |( cos(x2-− y2) − x⋅tg x2− y2 = π3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В аргументе тригонометрических функций у нас стоит разность квадратов, попробуем получить её не только в аргументах, но и множителем! Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Формула разности квадратов помогает нам: запишите вместо нашей системы равносильную ей, полученную сложением и вычитанием наших исходных уравнений. А затем можно перемножить имеющуюся пару уравнений.

Подсказка 3

Тригонометрическая формула, связывающая квадрат косинуса с квадратом тангенса поможет нам сделать интересный вывод! Таким образом мы узнаём значение x² - y²

Подсказка 4

Остаётся подставить найденное в систему и решить линейные уравнения!

Показать ответ и решение

Будем получать $t= x2 − y2$ не только под тригонометрическими функциями, для этого сначала напишем разность и сумму уравнений, а затем перемножим полученные равенства (активно пользуясь формулой разности квадратов)

({ (-1- ) ∘ π- ∘-π ( ) (x +y)(cos1t − tgt)= ∘ 2π + ∘-3π =⇒ t-12-− tg2t = π − π = π ( (x − y) cost + tgt = 2 − 3 cos t 2 3 6

Как известно, $1 ∀t: cos2t = tg2t+ 1$ , откуда скобка равна единице и $π t =-6$ . Остаётся подставить результат в систему

( 2 1 ∘π- ( ∘--- ( √- √-√- { √3x −√3-y = ∘-2 ⇐ ⇒ { 2x− y = 3π2- ⇐⇒ { x= 2√-33√+2√2√π ( √23y −√13-x= π3 ( 2y− x= √π ( y =-33+√22-2 π

Ответ:

$(2√3√+√2√π,√3+√2√2√π) 32 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63560

Решите уравнение:

√-- √ ------------ 24cosx = 11cosx− cos2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами квадратные корни. Было бы здорово от них избавиться. А всегда ли мы можем это сделать?

Подсказка 2

Обе части должны быть неотрицательными! Так что выписываем такое ограничение (можем воспользоваться тем, что в равенстве мы можем записать ограничение только для одной части равенства) и возводим в квадрат. А на что похоже полученное выражение?

Подсказка 3

Конечно, на квадратное уравнение! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Решаем известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.

Показать ответ и решение

Запомним, что $cosx ≥0$ и возведём в квадрат, тогда:

2 2 2 24cosx = 11cosx− 2cos x+ 1⇐ ⇒ 26 cos x− 11 cosx− 1= 0

Откуда $cosx = 11±15= 1,−-1 52 2 13$ . В силу $cosx ≥0$ имеем $x= ±π +2πn,n∈ ℤ. 3$

Ответ:

$± π + 2πn,n∈ ℤ 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#49146

Решите уравнение

2 2( 5x- 5π) 1 cos x− cosxsin 4 − 12 + 4 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что наше уравнение квадратное относительно косинуса! Давайте попробуем его решить, мы хотим, чтобы дискриминант был >= 0. При каком условии это выполняется?

Подсказка 2!

Дискриминант: sin^4(...) - 1, значит sin^4(...) должен быть равен 1! Осталось только разобраться, чему в таком случае должен быть равен cosx!

Показать ответ и решение

Замечание. Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $cosx:$ потребовать, чтобы его дискриминант $4(5x- 5π) sin 4 − 12 − 1$ был неотрицательным, откуда сразу же вытекает условие, что синус равен $± 1$ . Рассмотрим эквивалентный подход, чтобы показать, почему это справедливо:

Пусть для краткости $2(5x 5π) a= cosx,b= sin 4 − 12$ . Ясно, что $− 1≤a ≤1,0≤ b≤ 1.$ У нас есть уравнение $2 1 b 2 1−b2- a − ab+ 4 = 0 ⇐⇒ (a− 2) + 4 =0.$ Но так как $2 1− b ≥0,$ то оба слагаемых в левой части неотрицательны. А их сумма должна быть равна нулю. Это равносильно условию, когда каждое слагаемое равно нулю:

{ b a −22= 0 1 − b = 0

С учётом $b≥ 0$ получаем $b= 1,a= 1. 2$ Итак, условие задачи эквивалентно системе уравнений:

{ cosx= 1 sin2(5x2− 5π)= 1 4 12

то есть

{ cosx= 1 cos(5x2− 5π)= 0 4 12

Отсюда уже находим условия на $x$ :

{ x= ± π+ 2πk,k∈ ℤ 5x= 53π+ π +πn,n ∈ℤ 4 12 2

Остаётся эти условия пересечь, совместив параметры $n$ и $k$ . Выразим $x$ :

5x= ±5π +10πk= 11π+ 4πn =⇒ 11±5-= 10k − 4n 3 3 3

Так как в правой части целое число, в левой может быть только $11−5-=2 3$ и тогда

1 =5k − 2n ⇐⇒ 2n= 5k− 1

окончательно $k= 2m +1,n= 5m +2, m ∈ ℤ.$

В итоге ответ $x = π+ 2πk = 7π-+4πm 3 3$ уже для любого целого $m.$

Замечание. Решить систему можно с помощью тригонометрической окружности, показав, что подходит только точка, соответствующая $x = π. 3$ Но определять период всё равно придётся из уравнения.

Ответ:

$7π +4πm, m ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80648

Решите уравнение

sin5x cos5x- sinx- -cosx- sinx − cosx = sin5x − cos5x

Показать ответ и решение

Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи формул синуса разности и синуса двойного угла:

-sin4x- sin(−4x) 12sin2x = 12sin10x

Это равносильно тому, что

sin4x(sin2x+-sin10x) =0 sin2xsin10x

Преобразуем сумму синусов в произведение:

sin4xsin6xcos4x-= 0 sin2xsin10x

Еще раз воспользуемся формулой синуса двойного угла::

-sin8xsin6x- sin2xsin10x = 0

Учитывая, что нули функции $sin2x$ являются нулями функции $sin 10x,$ получаем::

( [ |{ sin6x= 0 | sin8x= 0 ( sin 10x ⁄=0

Общие нули $sin 6x$ и $sin10x$ имеют вид $kπ2-,k ∈ℤ.$ Точно так же выглядят общие нули $sin8x$ и $sin10x$ . Следовательно, из серий $m8π,n6π,m, n∈ ℤ,$ нужно выкинуть числа вида $kπ2-,k ∈ℤ$ .

Ответ:

$x = mπ,nπ, m ∈ ℤ∖4ℤ,n∈ ℤ∖3ℤ 8 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64000

Решите уравнение

tg2x−-2sinx tg2x+ 2sinx =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, при каких условиях дробь равна 0? Они будут составлять систему!

Подсказка 2

В полученных выражениях есть и синусы и тангенсы. Стоит все переписать через синусы и косинусы, ведь их связь нам более привычна! А заодно и общий множитель найдем, применив формулы двойных углов :)

Подсказка 3

Остается решить только несложные уравнения из системы и пересечь соответствующие результаты! Не забывайте, что для условия со знаком “не равно” необходимо, чтобы оба множителя одновременно были не равны нулю, а не “хотя бы один”, как со знаком равенства.

Показать ответ и решение

Выпишем эквивалентную систему

(| [ sinx= 0 { 2sinxcosx− 2sinx =0 |||{ cosx= 2cos2x − 1 22csiosn2xxc−os1x ⇐⇒ | 2cos2x−1 + 2sinx ⁄=0 |||( sinx⁄= 0 2 cosx ⁄=−2 cos x+ 1

Отсюда $sinx ⁄=0$ , при этом $cosx∈ {1,− 1} 2$ , где первое значение невозможно (тогда $sinx =0$ ). После несложной проверки ОДЗ, получаем $x= ±2π+ 2πn. 3$

Ответ:

$± 2π +2πn, n ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63563

Решите уравнение

cos3x- sin3x- sin2x- cos2x- sin 2x + cos2x = cos3x + sin 3x .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемые-дроби не очень удобны: приводим к общему знаменателю каждую из частей уравнения! А что получилось в числителе?

Подсказка 2

Это же формула косинуса суммы! При каких условиях теперь может получиться равенство?

Подсказка 3

Либо числитель равен нулю, либо знаменатели равны. С первым проблем не возникает, решаем и сверяемся с ОДЗ. А что можно сделать с равенством знаменателей?

Подсказка 4

Перед нами синус двойного угла! Только двоек не хватает (но их мы легко добавим :) ). Какую формулу теперь можно применить, чтобы не раскрывать обратно по синусу двойного угла?

Подсказка 5

Формулу разности синусов! Она как раз даст нам удобное произведение, которое мгновенно распадется на простейшие тригонометрические уравнения. Решаем их и задачка убита!

Подсказка 6 (отбор корней)

Пересекать с ОДЗ полученные корни лучше всего на тригонометрической окружности. Отмечаем на ней точки, которые хотим пересечь с ОДЗ одним цветом, точки для серий из ОДЗ (которые как раз хотим “выколоть”) другим и оставляем те корни, которые не совпали!

Показать ответ и решение

Приводя к общему знаменателю:

cos3xcos2x+-sin3xsin2x cos3xcos2x-+sin-2x-sin3x sin2xcos2x = cos3xsin 3x

В каждой дроби сверху записан $cos(3x− 2x)=cosx$ . Если $cosx= 0$ , то $sin2x =0$ , что невозможно в силу ОДЗ, то есть:

sin2xcos2x =cos3xsin3x⇐ ⇒ sin4x= sin6x⇐ ⇒ sinxcos5x =0

Здесь $sinx$ не подходит по тем же причинам. Осталось только $cos5x =0,x= -π+ πn 10 5$ . Чтобы проверить ОДЗ, посмотрим на корни для отрезка $[0,2π]$ — это $π-,3π,...19π 10 10 10$ . Среди всех этих решений 5 в знаменателе сократится только для $5π 10$ и $15π 10$ — в этих точках $sin2x$ снова будет равен нулю, но для остальных 5 останется в знаменателе и не исчезнет для выражений $2x$ и $3x$ , поэтому синусы и косинусы с аргументами $2x$ и $3x$ не могут равняться нулю в таких точках — помним, что в несократимом виде в знаменателе может остаться только двойка для равенства нулю синуса или косинуса. То есть нужно исключить только $n= 2+5k,k∈ ℤ$ (5 нужна, чтобы задать период $π$ между “плохими” корнями).

Ответ:

$-π+ πn,n∈ ℤ∖ {2+ 5k,k∈ℤ} 10 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#63559

Решите уравнение

√- sin3x= 2 cosx− sinx

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Синус тройного угла раскрывать не очень хочется (потом явно придется еще двойные раскрывать), так что вспоминаем формулу суммы синусов и пробуем применить её!

Подсказка 2

Получили уже что-то более приятное, только две функции остались различные! Стоит попробовать разложить на множители, раз уж один множитель в слагаемых одинаковый.

Подсказка 3

Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно 0 и решаем базовые тригонометрические уравнения! Не пугайтесь двойного угла, можете заменить его на новую переменную y, чтобы было проще выписывать решения :)

Показать ответ и решение

Поскольку $sin3x+ sinx =2sin 2x cosx$ , то возможны два случая.

π cosx =0 =⇒ x= 2 +πn,n∈ ℤ

√ - √ - π πn 2= 2sin2x⇐⇒ sin2x = 1∕ 2=⇒ x= (−1)n-8 + 2-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn,(−1)nπ+ πn, n ∈ℤ 2 8 2$

Предыдущий раздел

Следующий раздел