Логарифмы на ДВИ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Логарифмы на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Логарифмы на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64114

Найдите все пары действительных чисел $(x,y)$ с наименьшим возможным значением $y$ , удовлетворяющие неравенству

( 2 7) logx2−y x− y + 4 ≥ 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

От чего зависит сохранение или изменение знака неравенства в работе с логарифмами? Рассмотрите соответствующие два случая в зависимости от основания log.

Подсказка 2

Попробуйте графически изобразить неравенство равносильное нашему для случая, когда основание логарифма больше 1. Для этого выделите полные квадраты. Значение у должно быть наименьшим, значит нас интересует самая нижняя точка графика. Удовлетворяет ли она условию, заданному основанием логарифма?

Подсказка 3

Рассмотрите второй случай: основание log меньше 1. Обратите внимание, могут ли при этом получиться у меньшие или равные найденного ранее минимума? Запишите итоговый ответ.

Показать ответ и решение

При $y < x2− 1$ неравенство равносильно $x− y2+ 7≥ x2− y 4$ , то есть

2 2 2 (x − 1∕2) +(y− 1∕2) ≤ (3∕2)

Это неравенство задаёт круг с центром $(1∕2,1∕2)$ и радиусом $3∕2.$ Самая нижняя точка имеет координаты $(1∕2;− 1)$ и удовлетворяет ограничению $y <x2 − 1$ .

При $y > x2− 1$ для каждой пары $(x,y)$ , удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо $y > −1$ . Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки $(1∕2;− 1).$

Ответ:

$(1;−1) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64394

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих уравнению

( 4 2 ) ( 2 ) log2x2y+1 x + y +1 = logy4+x2+1 2xy +1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас переменные стоят как в основаниях логарифмов, так и в аргументе — работать с этим не очень удобно, поэтому давайте облегчим себе задачу: применим формулу перехода к новому основанию, чтобы логарифмы стали натуральными и перемножим имеющуюся пропорцию крест-накрест.

Подсказка 2

Воспользуйтесь монотонностью логарифмов и попробуйте поработать с аргументами. Мы хотим доказать, что каждый множитель слева больше или равен одному из множителей в правой части. В каком случае тогда возможно равенство произведений?)

Подсказка 3

Итак, у нас либо есть парочка логарифмов равных нолю, либо два неравенства обращаются в равенства! Рассмотрите каждый из этих случаев и сделайте выводы.

Показать ответ и решение

Можно использовать неравенство о средних, а можно раскрыть скобки в полном квадрате, чтобы получить неравенство:

4 2 2 2 2 x − 2x y+y = (x − y) ≥ 0

4 2 2 x + y + 1≥ 2x y+ 1

Аналогично $x4+ y2 +1 ≥2xy2+1.$

Получается, что в левой части у логарифма основание не больше аргумента, а в правой части основание не меньше аргумента. При этом на ОДЗ ( которое можно задать условием $x⁄= 0,y ⁄= 0$ ) основания и аргументы логарифмов строго больше единицы. Поэтому логарифмы по такому основанию тем больше, чем больше аргумент. Так что

log (x4+ y2+ 1) ≥log (2x2y+1)= 1= 2x2y+1 2x2y+1

= 1= log (y4+ x2 +1)≥ log (2xy2 +1) y4+x2+1 y4+x2+1

Уравнение верно тогда и только тогда, когда в двух местах неравенство обращается в равенство. Вспомним (из того, откуда эти неравенства взялись), что это равносильно обращению полных квадратов $(x2− y)2,(y2− x)2$ в ноль. В итоге получаем $x =y2 = x4,y = x2 =y4,$ так что $x =y =0$ или $x= y = 1$ . С учётом ОДЗ пишем ответ.

Ответ:

$(1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31472

Решите неравенство:

log2x 16 − log4x8≤ 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала, конечно же, находим ОДЗ! Но, заметим, что основания двух логарифмов разные, и при этом каждый из них содержит x. Что можно сделать, чтобы было удобнее работать с x?

Подсказка 2

Да, по свойству логарифмов мы можем перевернуть каждый из них и x перейдет в аргумент! Что будем делать дальше, чтобы получить какое-то хорошее неравенство, где например, можно было бы сделать замену?

Подсказка 3

Конечно, давайте распишем каждый из логарифмов таким образом: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Дальше давайте просто сделаем замену вида: t = logₐx, решим неравенство и пересечём ответ с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ: $x∈ (0;1)∪ (1;1)∪ (1;+∞ ) 4 4 2 2$ . Далее перевернём логарифмы и используем свойства логарифмов:

---1-- ---1- ----1--- ---1---- ---4--- ---3--- log162x −log84x ≤ 1⇔ 14 +log24x − 23 + log23x ≤ 1⇔ 1 +log2x − 2+ log2x ≤ 1

Заменим $log2x$ на $t$ и получим дробно-рациональное неравенство:

2 2 --4-− --3-≤ 1⇔ ---t+-5---− -t-+3t+-2-≤ 0⇔ -t-+-2t−-3-≥ 0⇔ 1 +t 2+ t (t+ 1)(t+2) (t+1)(t+ 2) (t+1)(t+2)

(t− 1)(t+3) ⇔ (t+1)(t+2) ≥ 0 ⇔ t∈ (−∞;−3]∪ (−2;−1)∪[1;+ ∞)

Теперь сделаем обратную замену и получим:

1 1 1 1 1 1 log2x ∈(−∞;log2 8]∪(log24;log22)∪ [log22;+∞ ) ⇔ x∈ (0;8]∪ (4 ;2)∪ [2;+∞ ).

Ответ:

$(0;1]∪ (1;1)∪ [2;+∞ ) 8 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80650

Решите неравенство

log2x log x 2 2 +7x 2 < 16

Показать ответ и решение

2log22x+7xlog2x < 16⇐⇒ 2log22x+ 7⋅2log22x < 16 ⇐⇒ 2log22x < 2⇐⇒ ⇐ ⇒ log2x< 1⇐ ⇒ −1< log x< 1⇐ ⇒ 1< x< 2 2 2 2

Ответ:

$1 < x< 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31473

Решите неравенство:

√ - √-log√- √-x √- √- log(√3+√2) ( 3+ 2) 3− 2 ≥ ( 3− 2) x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, даже не понятно с чего начать… Но почему-то в этом неравенстве встречаются только два числа: √3 - √2 и √3 + √2. Что можно сказать про эти числа?

Подсказка 2

Да, эти числа являются обратными, потому что их произведение равно единице! Тогда, эти два числа удобно представить, как: a и a⁻¹

Подсказка 3

Верно, поскольку a=√3 + √2 > 1, то чтобы исходное неравенство было верно, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: logₓa ≥ logₐx. Осталось применить еще одно свойство логарифмов, и будет сильно проще!

Подсказка 4

Конечно, logₐx=1/logₓa. Тогда сделаем замену, найдём решения и сделаем обратную замену!

Показать ответ и решение

Заметим, что по формуле разности квадратов

√- √- √- √- ( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2 =1.

Тогда неравенство из условия имеет вид

logc−1x −1logxc − logcx − logxc c ≥(c ) ⇔ c ≥c

где $c =√3-+√2$ . Так как $c> 1,$ то неравенство равносильно:

− logx ≥− log c ⇔ log c≥ log x ⇔ -1--≥ log x c x x c logcx c

Если заменить $logcx$ на $t$ , то неравенство примет вид:

1 (t− 1)(t+1) t − t≥ 0 ⇔ -----t----≤ 0 ⇔ t∈(−∞;− 1]∪ (0;1]

Теперь сделаем обратную замену:

logcx∈ (− ∞;logcc−1]∪ (logc1;logcc]

Так как $c> 1$ , то неравенство равносильно

x∈(0;1c]∪(1;c]

Вспомним, что $√- √- c= 3+ 2$ , чтобы записать ответ.

Ответ:

$(0;√3-− √2]∪(1;√3 +√2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64037

Решите неравенство

2 2 2 4 x log7x +3log6x ≤x log7x⋅log6x

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

2 2 2 x log7x+ 3log6x− 4xlog7x⋅log6x ≤0

Заметим, что $x= 1$ является решением.

При $x⁄= 1$ поделим на $log2x> 0 7$ и получим

2 2 x +3c − 4xc≤ 0,

где по формуле перехода при всех допустимых значениях $x$ имеем число

c= log6x-= logx7= log 7 >0 log7x logx6 6

Уравнение $2 2 x + 3c − 4xc=0$ имеет корни $4c±2c x= 2$ , поэтому неравенство равносильно

(x − c)(x − 3c)≤0

По методу интервалов $x∈ [c;3c].$

В итоге с учётом $x= 1= log66< log67= c$ получаем $x∈ {1}∪ [log6 7;3log67].$

Ответ:

${1}∪[log 7;3log 7] 6 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63471

Решите неравенство

2 2 2 7 x log4x+ 10log3x≤ xlog4x⋅log3x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенство с квадратичными выражениями обычно хотим разложить на множители, но этому явно будет мешать 7ая степень аргумента! Стоит её вынести и попробовать разложить на множители, перенеся все в одну сторону от знака неравенства.

Подсказка 2

Разложить на множители можно с помощью выделения полного квадрата с последующим применением формулы разности квадратов или методом группировки. Теперь есть 2 логарифма с одинаковыми аргументами, но разными основаниями, а хотим наоборот, одинаковые основания! Как можем к ним перейти?

Подсказка 3

С помощью “переворота”, конечно! Применяем свойство (не забывая проверить случай х = 1!) и замечаем, что если теперь домножить на один из знаменателей все выражение, то одна дробь уйдет, а вторая будет очень похожа на свойство логарифма!

Подсказка 4

Переходим к новому основанию по свойству логарифма и получаем привычное квадратное неравенство. Остается лишь решить его удобным способом и задачка убита!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов неравенство эквивалентно

2 2 2 x log4 x+10log3x − 7xlog4 x⋅log3x≤ 0

Заметим, что $x= 1$ является решением.

При $x⁄= 1$ поделим на $log2x> 0 4$ и получим

2 2 x + 10c− 7xc≤0,

где по формуле перехода при всех допустимых значениях $x$ имеем число

c= log3x-= logx4= log 4 >0 log4x logx3 3

Уравнение $2 2 x + 10c − 7xc =0$ имеет корни $7c±3c x = 2$ , поэтому неравенство равносильно

(x− 2c)(x− 5c)≤ 0

По методу интервалов $x∈ [2c;5c].$

В итоге с учётом $x= 1= log33< log34= c< 2c$ получаем $x ∈{1}∪ [2log34;5log34].$

Ответ:

${1}∪[2log 4;5log 4] 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#64038

Решите неравенство

( 2 ) log1−log3x 1+logx 3 ≤1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выписываем ОДЗ и сразу замечаем, что одно из условий выполнится автоматически! Тогда можем перенести все в одну сторону, чтобы сравнивать с нулем. Какой метод хорошо работает с логарифмами, когда с нулем сравниваем?

Подсказка 2

Конечно же метод рационализации! Представляем 1 как логарифм с нужным основанием и получаем уже более приятное неравенство. Для удобства можно ввести замену log₃(x) = t. Можем ли тогда и второй логарифм через эту переменную переписать?

Подсказка 3

С помощью подходящего свойства “переворачиваем” его и получаем рациональное неравенство, которое можем легко решить! Останется только произвести обратную замену.

Подсказка 4

Чтобы решить неравенства с обратной заменой достаточно воспользоваться монотонностью логарифма или применить снова метод рационализации!

Показать ответ и решение

Положим $t= log x 3$ . Тогда, поскольку

( ) ln(1+ 1) − ln(1 − t) log1−t 1 + 1- ≤1 ⇐⇒ ------t2----------≤ 0 t2 ln(1− t)

По методу рационализации

({ (1+ 1t2)−(1−-t) { 1+t3- [ ( −t ≤ 0 ⇐⇒ t3 ≥0 ⇐⇒ t≤ −1 1− t> 0 t< 1 0< t< 1

исходное неравенство равносильно совокупности

[ log3x≤ −1 0< log3x< 1

Стало быть,

[ 0 <x ≤ 1 1 <x <33

Ответ:

$(0;1]∪(1;3) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#64036

Решите уравнение

| 2 | logx|2x − 3|= 4log|2x2−3|x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Достаточно много ограничений бросается сразу в глаза. Выписываем и замечаем, что логарифмы очень даже похожи, но все же разные. А можем ли сделать их одинаковыми?

Подсказка 2

Конечно! Стоит “перевернуть” один из них по соответствующему свойству (аргумент так удачно не может быть равен 1). А чему тогда должно быть равно значение этого логарифма из уравнения?

Подсказка 3

Получаем 2 уравнения с логарифмом и числом. Можем сразу действовать по определению и избавиться от логарифмов! А далее остается решить два знакомых уравнения и задачка убита.

Подсказка 4

От модулей можем избавиться рассмотрев отдельно соответствующие промежутки, а после этого интерес может вызвать только уравнение 4ой степени. А какие вообще степени в нем присутствуют? Как можем действовать с ними?

Подсказка 5

Конечно ввести замену x² = t! Теперь и у него нет шансов, т.к. относительно новой переменной уравнение стало квадратным!

Показать ответ и решение

После замены $t= log |2x2− 3| x$ , получается уравнение $t= 4 ⇐⇒ t= ±2 t$ . Рассмотрим эти случаи

$t= 2⇐ ⇒ |2x2− 3|= x2$ . Если $2x2− 3 ≥0$ , то $2x2− 3= x2 ⇐⇒ x = ±√3$ . Из ОДЗ остаётся только $x =√3-$ . Иначе $2x2− 3< 0⇐= 2x2− 3= −x2 ⇐⇒ x =±1$ , оба решения не подойдут из ОДЗ.
$2 1- t= −2 ⇐⇒ |2x − 3|= x2$ . Будем действовать аналогично. Если $2 2x − 3≥0$ , то $4 2 2x − 3x − 1= 0$ или $√3+√17 x =± 2$ , в ОДЗ подойдёт только положительное решение. Если $2 2x − 3< 0$ , то $4 2 2x − 3x + 1= 0$ или $1√- x = ±1,± 2$ . Здесь останется только $-1 x= √2$ .

Собирая все полученные ответы, получаем итоговый.

Ответ:

$√1-,√3+-√17,√3 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#64035

Найдите все положительные числа $x$ , удовлетворяющие неравенству

3x+7 12 x >x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

х есть и в основании и в степени. Каким приемом можем преобразовать выражение, чтобы все иксы оказались “на одном уровне”?

Подсказка 2

Можем обе части прологарифмировать по удобному основанию! А какое основание нам стоит выбрать, чтобы логарифмов при этом в неравенстве не осталось?

Подсказка 3

Конечно, основание стоит взять х! Только необходимо убедиться, что мы так можем делать (или рассмотреть все неподходящие случаи отдельно). А что будет происходить со знаком неравенства?

Подсказка 4

Знак неравенства будет разный, в зависимости от значений х. Не пугаемся и рассматриваем 2 случая отдельно! В каждом получим простейшее неравенство и останется только собрать ответ :)

Показать ответ и решение

Так как функция $f(t)= ln t$ возрастает на области определения $t >0,$ то неравенство $x3x+7 > x12$ равносильно