Последовательности и прогрессии на ДВИ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Последовательности и прогрессии на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Последовательности и прогрессии на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63904

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 105, которые делятся на 3, но не делятся на 5.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте о том, как мы можем описать сумму всех чисел, которые делятся на 3 и не делятся при этом на 5. Можем ли мы ее представить в виде какой-то разности?

Подсказка 2

Верно! Мы можем найти сумму всех чисел с нашего промежутка, которые делятся на 3 и потом вычесть сумму всех чисел, которые делятся и на 3 и на 5! А каждую из этих сумм легко посчитать при помощи формулы арифметической прогрессии!

Показать ответ и решение

Сначала возьмём все числа, кратные $3$ — это $3,6,9,...105$ . Их будет 35, а их сумма

3+-105 2 ⋅35= 54 ⋅35

Теперь уберём из них числа, кратные 5, тогда это будут не превосходящие 105 числа, которые делятся на $3⋅5$ , с суммой

15 +105 --2---⋅7= 60⋅7

В итоге получаем

54⋅35 − 60⋅7= 35⋅(54− 12)=70⋅21= 1470

Ответ:

1470

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63903

Числа $a ,a,a ,...,a 1 2 3 20$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 9, а сумма последних десяти членов равна 11. Найдите сумму $a6+a7+ ...+ a14+a15$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для разности двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: посмотрите, на сколько отличаются сумма, которую найти нужно и известные суммы. Тогда достаточно найти чему равно соответствующее выражение и прибавить его значение к известной сумме (или вычесть из известной) и задачка будет убита!

Показать ответ и решение

Пусть $d$ – разность прогрессии, $a$ – первый член, тогда $a = a+ (n − 1)⋅d n$ . Из условия получаем

9= a1+ ...a10 = a+ ...(a+ 9d)= 10a+ 45d

11= a11+⋅⋅⋅+a20 = 10a +145d, a6+⋅⋅⋅+a15 = 10a +95d

Откуда

11− 9= (10a+ 145d)− (10a+ 45d)= 100d=⇒ 50d =1,

а значит,

a6+ ⋅⋅⋅+ a15 =(10a+ 45d)+ 50d= 9+ 1= 10

Ответ:

$10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63902

Дана геометрическая прогрессия. Её четвёртый член равен 5, а член с номером 54 равен 160 . Найдите член этой прогрессии с номером 64 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для частного двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?

Подсказка 2

Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: нам известны 2 члена прогрессии, а нужно найти 3ий, который на известном “расстоянии” от них. Тогда достаточно найти частное соседних членов в нужной степени и домножить на него известное число!

Показать ответ и решение

Пусть $q$ – знаменатель прогрессии, $b$ – первый член, тогда $b =bqn−1 n$ . По условию

3 53 b4 = bq = 5,b54 =bq = 160,

откуда

50 10 q = b54∕b4 = 32 ⇐⇒ q = 2

Тогда

b64 = bq63 = b54⋅q10 = 160⋅2

Ответ:

320

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31394

Сумма положительной бесконечно убывающей геометрической прогрессии в $4$ раза больше её второго члена. Во сколько раз второй член меньше первого?

Источники: Вступительные на факультет почвоведения МГУ, 2007 год

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим первый член прогрессии за b. Тогда наше условие переписывается так: b/(1− q) = 4bq. Теперь вспомним, что прогрессия непостоянна, (то есть не убывает), как это можно использовать теперь?

Подсказка 2

Верно, делим на b! И домножаем на 1-q для удобства. Попробуйте разложить получившееся уравнение на множители.

Показать ответ и решение

Пусть $b 1$ и $q$ — первый член и знаменатель прогрессии соответственно, тогда по условию имеем: