Уравнения и неравенства на Физтехе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения и неравенства на Физтехе

Тема Физтех

Уравнения и неравенства на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70775

Решите неравенство

log (x2+6x) 2 log 5 2 3 4 + 6x≥ |x + 6x| 4 − x

Источники: Физтех-2022, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь, запишем ОДЗ неравенства и заметим, что тогда мы можем избавиться от модуля. Далее надо хорошо преобразовать наше неравенство. Попробуем сделать так, чтобы в степенях у нас везде были логарифмы с x²+6x. Как можно преобразовать тогда x²+6x? Причём он нам нужен с определённым основанием.

Подсказка 2

Верно, x²+6x мы можем преобразовать по свойству логарифма. А что же делать с оставшейся частью (x²+6x)^log_4(5)? Попробуйте понять, почему a^log_b(c)=c^log_b(a). Это несложно сделать, записав логарифм по-другому. Теперь примените это к (x²+6x)^log_4(5). Что же можно сделать, когда мы получили везде одинаковое "некрасивое" выражение?

Подсказка 3

Конечно, можем сделать замену на y! А далее для удобства поделить на 5^y обе части неравенства. Получим какое-то интересное выражение. Прям по-честному решать его не хочется. Давайте подумаем, как схитрить. А что если рассмотреть выражение слева, как функцию? Какие выводы по этому поводу можно сделать? Попробуйте подставить ещё хорошие значения для y.

Подсказка 4

Верно, слева у нас убывающая функция, как сумма убывающих. И причём значение в 2 равно 1. Значит, можно сделать вывод, что неравенство верно при y ⩽ 2. Осталось только сделать обратную замену, решить исходное неравенство с учётом ОДЗ, и победа!

Показать ответ и решение

Область допустимых значений — это $x∈ (−∞;−6)∪ (0;+∞ ),$ а неравенство эквивалентно следующим:

log (x2+6x) ( 2 ) ( 2 )log45 3 4 + x + 6x ≥ x + 6x

log4(x2+6x) log4(x2+6x) log4(x2+6x) 3 + 4 ≥ 5

( 3)log4(x2+6x) (4)log4(x2+6x) 5 + 5 ≥ 1

Рассмотрим неравенство

( )y ( )y 3 + 4 ≥ 1 5 5

Функция $h(y)= (35)y+(45)y−$ убывающая (как сумма убывающих функций). Несложно заметить, что $h(2) =1$ , поэтому если $y >2$ , то $h(y)< 1$ , а если $y < 2$ , то $h(y)> 1$ . Таким образом, это неравенство даёт $y ≤2$ , а исходное неравенство эквивалентно неравенству

log4(x2+ 6x) ≤2

Отсюда получаем

0< x2+ 6x≤ 16 ⇔ x∈ [−8;−6)∪(0;2]

Ответ:

$[−8;− 6)∪(0;2]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#51861

Решите неравенство

4 2 2 2x + x − 4x− 3x |x− 2|+ 4≥ 0

Источники: Физтех-2020, 10.4, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство

2 2 4 (x− 2)− 3x |x− 2|+2x ≥ 0

Заметим, что мы получили квадратный трёхчлен от $|x− 2|$ . У него можно попробовать угадать корни, а можно пойти честно через дискриминант

4 4 4 3x2±-x2 2 2 D= 9x − 8x =x ⇐⇒ x1,2 = 2 = {x;2x }

Получаем разложение на скобки

(|x− 2|− x2)(|x− 2|− 2x2)≥ 0

Домножим неравенство на произведение скобок $(|x− 2|+ x2)(|x − 2|+ 2x2)> 0$ , получим

2 4 2 4 ((x− 2) − x )((x− 2)− 4x )≥0

(x− 2 − x2)(x− 2+ x2)(x− 2− 2x2)(x − 2+ 2x2) ≥0

(x2 − x +2)(x2+ x− 2)(2x2− x +2)(2x2+ x− 2) ≥0

Заметим, что для первой скобки $D = 1− 8< 0$ и для третьей $D = 1− 16 <0$ , откуда неравенство можно переписать в виде

[ √-- √-- ] (x2 +x − 2)(2x2+ x− 2)≥ 0 ⇐⇒ x∈ (−∞,−2]∪ − 1+--17,-17−-1 ∪ [1,+∞) 4 4

Ответ:

$(−∞;− 2]∪ [− 1+√17;√17−1]∪ [1;+∞ ) 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34753

Решите неравенство

(∘ -3-------- ) |3 | x − 10x+ 7+ 1 ⋅|x − 18x +28|≤ 0.

Источники: Физтех-2020, 10.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корень из чего-то и модуль из чего-то всегда неотрицательны, но нас просят найти иксы, при которых левая часть неположительная —> явный намёк на оценку! Строго оцените левую часть – когда возможно, чтобы она была <0 или хотя бы =0?

Подсказка 2

Левая часть может максимум обнулиться! И обнулить её может лишь модуль, так что осталось решить кубическое уравнение (у которого, к слову, нетрудно отгадать корень). Получается, задачка решена?

Подсказка 3

Не забываем про ОДЗ! Подкоренное выражение должно быть неотрицательно! Да, проверять наши корни непосредственной подстановкой не очень приятно, но попробуйте вычесть из подкоренного выражения заведомо неотрицательное выражение, чтобы избавиться от неприятного x^3. Немножко счёта, и задачка убита!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x3− 10x+ 7≥ 0$ .

На ОДЗ корень неотрицателен, так что первая скобка положительна. Вторая неотрицательна, поэтому неравенство достигается только в случае, если вторая скобка равна нулю, то есть

3 2 √-- x − 18x +28= 0 ⇐⇒ (x− 2)(x +2x− 14) =0 ⇐ ⇒ x =2 или x= −1± 15

Осталось проверить, что найденные значения входят в ОДЗ неравенства. Раз уж при найденных $x$ выражение под модулем равно $0$ , то вычтем его из выражения под корнем, в итоге требуется $8x − 21≥ 0$ . Для $1 − √15$ и $2$ это неверно, проверим третий корень:

√-- √-- 8⋅(−1+ 15)≥21 ⇐⇒ 8 15≥ 29 ⇐⇒ 960= 64⋅15≥ 931

Получаем единственное решение.

Ответ:

$− 1+ √15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#51860

Найдите все значения переменной $x$ , при каждом из которых оба выражения $f(x)= √21−-x2− 4x$ и $g(x) =|x+ 2|$ определены, причём $x+4- min(f(x);g(x))> 2$ .

Источники: Физтех-2019, 10.2, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x2− 4x +21≥ 0 ⇐⇒ x∈ [−7;3]$ . Последнее условие эквивалентно тому, что каждая функция на ОДЗ больше $x+4 2$ . Поскольку обе функции неотрицательны, то неравенство автоматически выполнено при $cx+4 2 < 0 ⇐⇒ x< −4$ , откуда с учётом ОДЗ получаем решения $x ∈[−7,−4)$ , далее $x≥ 4$ , тогда можем возвести ограничения на функции в квадрат

{ 2 x2+8x+16 212− x − 4x≥x2+84x+16 x + 4x +4 ≥ 4

{ 5x2+ 24x − 68< 0 3x2+ 8x< 0

{ x ∈(− 34,2) x ∈(−∞5,− 8)∪(0,+ ∞) 3

( ) x∈ − 34,− 8 ∪ (0,2) 5 3

Поскольку изначально $x≥ −4$ , то остаются только $x ∈(−4;− 83)∪ (0;2)$ . Объединяя с первым промежутком, получаем ответ.

Ответ:

$[−7;− 8)∪(0;2) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#67702

Решите неравенство

∘ √------- ∘ --------√----- x+ 1− 2+ x+ 82− 18 x +1 >5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим какие-то не очень приятные корни... Так под корнем ещё один корень. Давайте попробуем облегчить себе жизнь хоть немного. Видим, что под обоими большими корнями есть общий корень. Какое тогда действие напрашивается сделать?

Подсказка 2

Верно, давайте сделаем замену t=√(x+1), где t — неотрицательный. Далее после преобразований получим выражение с модулем и корнем. С первого взгляда не совсем понятно, что с этим теперь делать... Но не можем ли мы снова сделать замену корня?

Подсказка 3

Конечно можем, ведь тогда t легко выражается через замену. Остаётся теперь только аккуратно решить это квадратное неравенство с модулем и совершить обратные замены. После чего мы и получим решение для x.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-+-1≥ 0$ , получим

√---- ∘ -2-------- √ ---- t− 2+ t − 18t+ 81 >5 ⇐ ⇒ t− 2+ |t− 9|>5

Сделаем ещё одну замену $y =√t-− 2≥ 0$ , получим

2 y +|y − 7|> 5 ⇐⇒ y ∈(−∞, −4)∪(−1,2)∪ (3,+∞ )

Учитывая ограничения

√t−-2∈ [0,2)∪ (3,+∞ ) ⇐⇒ t∈[2,6)∪(11,+ ∞)

Остаётся вернуться к первоначальной переменной

√x-+-1∈[2,6)∪ (11,+∞ ) ⇐ ⇒ x ∈[3,35)∪(120,+∞ )

Ответ:

$[3;35)∪(120;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88260

Решите неравенство

-√x-− 2- √---- 1− √x-+-1 ≥ 1+ x+ 1

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства определяется условиями $x≥ 0,1− √x+-1⁄= 0$ , откуда получаем, что $x >0$ .

Заметим, что на ОДЗ знаменатель дроби отрицателен, поэтому можем обе части неравенства на него домножить, поменяв при этом знак неравенства. Тогда

√- x − 2 ≤1− (x+1)

√ - x≤ 2− x

{ 2 − x ≥0, x ≤4 − 4x+ x2

{ x ≤2, x2 − 5x+ 4≥ 0

{ x≤ 2, x∈ (− ∞;1]∪[4;+∞ ),

откуда $x ≤1$ . С учётом ОДЗ окончательно получаем $x∈ (0;1]$ .

Ответ:

$(0;1]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#70348

Решите неравенство

√- √- 2 8|x− x+ 2|+2x x <x + x+ 28

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ 0.$ Сделаем замену $√x =t ≥0.$

Заметим, что $2 1 2 7 t − t+ 2= (t− 2) + 4 > 0.$ Следовательно $2 2 |t − t+ 2|= t − t+ 2.$

2 3 4 2 8(t − t+ 2)+ 2t < t +t + 28

4 3 2 t− 2t − 7t +8t+ 12>0

(t+ 2)(t+ 1)(t− 2)(t− 3)>0

Учитывая $t≥0$

(t− 2)(t− 3)> 0 ⇐⇒ t∈[0;2)∪ (3;+∞ ) =⇒ x∈ [0;4)∪(9;+ ∞).

Замечание. Также можно заметить, что $√- √- x2− 2x x+ x= (x− x)2$ и сделать замену $√- t= x− x.$

Ответ:

$[0;4)∪ (9;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88254

Решите неравенство

∘-2---- √----- 2 x − 16⋅ 2x− 1≤ x − 16

Показать ответ и решение

ОДЗ данного неравенства - это множество $x∈ [4;+ ∞)$ .

Рассмотрим два случая.

a) При $x= 4$ неравенство выполнено (получаем $0= 0$ ).

б) При $x> 4$ делим обе части неравенства на положительное число $√-2---- x − 16$ и получаем

√----- ∘ ------ 2x− 1≤ x2− 16

2 2 2x− 1≤ x − 16,x − 2x − 15≥ 0

x∈ (−∞;−3]∪[5;+ ∞)

С учётом условия, получаем $x ∈[5;+∞ )$ .

Объединяя результаты, находим $x∈{4}∪ [5;+∞ )$ .

Ответ:

${4}∪[5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#67700

Решите неравенство

----1----- --1- ∘|x+-2|−-1 ≤5 +x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Возводить сразу в квадрат нехорошо, так как мы не знаем знак правой части. Слева же у нас всегда положительное число из-за корня. Давайте обратим внимание на знак неравенства. А возможно ли вообще такое, что правая часть отрицательная? В чём будет противоречие?

Подсказка 2

Верно, ведь тогда решений просто не будет. Действительно, правая часть меньше нуля, но тогда и левая тоже. Но такое невозможно! Значит, правая часть положительна, откуда получается ограничение на x. Теперь уже можно перемножить крест накрест выражения и возвести в квадрат. У нас получилось квадратное уравнение с простеньким модулем. Что же тогда остаётся сделать?

Подсказка 3

Да, давайте просто рассмотрим два случая раскрытия модуля. Нужно будет решить два раза квадратное неравенство и победа! Только не забудьте про ограничение.

Показать ответ и решение

Если $5 +x <0,$ то неравенство не выполняется, поэтому $x> −5.$ Отсюда обе дроби положительны и неравенство можно переписать в виде

∘-------- 2 5+ x≤ |x+ 2|− 1 ⇐⇒ 25+10x+ x ≤ |x+ 2|− 1

Рассмотрим случаи

$− 5 <x <− 2$ , здесь
$25+ 10x +x2 ≤−x − 3 ⇐ ⇒ x2+ 11x+28≤ 0 ⇐⇒ x∈ [− 7,−4]$
Пересекая с условием, имеем $x∈(−5,−4]$ .
$x ≥− 2$ , тогда
$25+ 10x +x2 ≤ x+ 1 ⇐⇒ x2+ 9x +24≤ 0$
Дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, решений нет.

Ответ:

$(−5,−4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#79280

Решить неравенство

√--x--- ∘ --x---- 32 + 4− |32 − 7|<1

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни - про что сразу думаем?

Подсказка 2

Про ОДЗ! Но на наше счастье это просто x ∈ ℝ. Что стараемся делать в неравенстве с корнями?

Подсказка 3

Поскорее избавляемся от них :) То есть возводим обе части в квадрат, но всегда ли мы можем это делать?

Подсказка 4

Возводить в квадрат можем только если в левой и правой части стоят выражения одного знака (другие случаи нужно отдельно рассматривать). То есть можно одно из слагаемых перенести в другую часть, чтобы знаки всегда одинаковые были

Подсказка 5

А после этого можно просто рассмотреть случаи раскрытия модуля и решить получающиеся неравенства при помощи напрашивающейся замены. Не забудьте сделать обратную замену и учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Так как под корнями стоят выражения, которые при любых $x$ больше нуля, то ОДЗ эта вся вещественная ось. Перенесем слагаемое с минусом в левую часть и сделаем преобразования.

√------ ∘ ------- 32x+ 4< 1+ |32x− 7|

Возведем в квадрат, в левой и правой части стоят положительные числа

x ∘ --x---- x 32 +4 <1 +2 |32 − 7|+ |32 − 7|

Рассмотрим случай, когда $x> log 7, 32$ тогда:

√--x--- 5< 32 − 7

25< 32x − 7

x> 1

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≤log327.$

√ ------ √------ 32x +4< 1+ 7− 32x

Сделаем заммену $x t= 32.$

√ ---- √---- t+4< 1+ 7− t

Возведем в квадрат

√---- t+4 <1 +2 7 − t+ 7− t

√---- t− 2< 7− t

t2− 3t− 3< 0

Решая это квадратное уравнение, получим, что $( √-- √ -) t∈ 3−--21; 3-+-21 . 2 2$ Делая обратную замену, получаем, что $( ( √--)) x ∈ − ∞; log32 3+--21 . 2$

Так как $( √--) log 3+--21 < log 7, 32 2 32$ то итоговый ответ

( (3+ √21)) x ∈ −∞; log32 ---2-- ∪(1; +∞ )

Ответ:

$( (3+ √21) ) −∞; log32 ---2-- ∪ (1; + ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#64111

Найдите сумму всех решений уравнения

2 [x] + 40x+ 336= 0.

Показать ответ и решение

Пусть $a =[x],b= {x},$ тогда получаем уравнение

2 a +40a+ 40b+ 336= 0

Нам требуются такие значения $a$ , что $a2+ 40a+336∈ (− 40,0]$ , то есть $(a+ 28)(a +12)∈(−40,0]$ . Решая это неравенство в целых числах, находим решения $a∈ {−12,−13,−14,− 15,−25,−26,−27,−28}$ . В пару к каждому находим $b= − a2+40a+336 40$ , получаем $b∈ {0,3, 7,39,39,-7,3,0} 810 40 40 10 8$ . Остаётся записать ответ, используя $x =a +b.$

5 3- 1- -1 3- 5 − 12 − 128 − 1310 − 1440 − 2440 − 2510 − 268 − 28 =− 155,9

Ответ:

$− 155,9$

Предыдущий раздел

Следующий раздел