Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Тест по английскому языку сдавали 10 школьников. Известно, что любые пять школьников ответили вместе на все вопросы, а любые четыре школьника ответили вместе не на все вопросы. При каком наименьшем количестве вопросов теста такое могло случиться?
Переформулируем условие: для любых 4 школьников есть вопрос, на который никто не ответил.
Могут ли на один и тот же вопрос не ответить две четверки школьников?
Предположим, что могут. Рассмотрим две различные четверки, не ответившие на один вопрос. Они отличаются хотя бы одним участником, поэтому получаем пятерку различных школьников, не ответивших на вопрос, противоречие.
Итого для любых 4 есть уникальный вопрос, на который никто не ответил. Получаем оценку: количество вопросов не меньше количества четверок.
Количество четверок: 
. Пронумеруем их и сопоставим каждой по вопросу, на который все из четверки не ответили. Так как на
каждый вопрос ответили 6 человек, по принципу Дирихле любые пятеро ответили на все вопросы. Получили пример на
210.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В некотором классе каждый ученик либо всегда говорит ложь, либо всегда говорит правду. При этом каждый из них знает про остальных, кто лжец, а кто — нет. На сегодняшнем собрании присутствовали все ученики класса, и каждый сообщил, кем является каждый из остальных. Ответ “лжец” при этом прозвучал 272 раза. Вчера проводилось такое же собрание, но один из учеников отсутствовал. Тогда ответ “лжец” прозвучал 256 раз. Сколько учеников в таком классе?
Подсказка 1
Задача на рыцарей и лжецов обычно подразумевает рассмотрение случаев. Посмотрите, как отвечал лжец в отношении своего одноклассника рыцаря или лжеца и как отвечал рыцарь в отношение лжеца или рыцаря. В каких случаях звучал ответ «лжец»?
Подсказка 2
«Лжец» мог сказать только рыцарь про лжеца или лжец про рыцаря. Получается, у нас есть связи только между двумя непересекающимися множествами, но их нет внутри самих множеств. Как тогда можно посчитать число таких связей?
Подсказка 3
Давайте обозначим x учеников одной группы и y учеников другой группы. В таком случае каждый человек из одной группы y раз сказал «Лжец» на своего одноклассника, и каждый человек из другой группы x раз произнёс слово «Лжец». Составьте уравнение. А как будет выглядеть уравнение для случая, когда один из учеников не пришел?
Подсказка 4
Не важно кстати, человек какого сорта не пришёл (лжец или рыцарь). Нас просят найти общее число учеников в классе. Значит, мы можем для второго случая записать похожее уравнение, уменьшив одну из переменных на единицу. Остаётся только решить полученную систему и записать в ответ сумму найденных переменных.
Заметим, что ответ “лжец” мог прозвучать только от рыцаря про лжеца, либо от лжеца про рыцаря. Рассмотрим двудольный граф, в одной
доле вершины — рыцари, в другой — лжецы. Так как в каждой паре дважды прозвучало “лжец”, имеем 
, где 
— число одних,
— число других. Не умаляя общности, вчера не было одного из 
учеников, аналогично получаем 
. Решив
получившуюся систему, получаем 
.
