Функции на Физтехе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Функции на Физтехе

Тема Физтех

Функции на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70777

Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b),$ и при этом $f(p) =[p∕4]$ для любого простого числа $p$ ( $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x).$ Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $3≤ x≤ 27,$ $3 ≤y ≤27$ и $f(x∕y)< 0.$

Источники: Физтех-2022, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам надо как-то искать ƒ(x/y). Какие a и b надо подставить, чтобы получить ƒ(x/y) и что-то еще, не очень плохое...

Подсказка 2

Разумно взять b=x/y, где x и y- натуральные числа. Возьмем тогда a=y, чтобы их произведение было натуральным числом. Тогда ƒ(y)+ƒ(x/y)=ƒ(y*x/y)=ƒ(x) ⇒ ƒ(x/y)=ƒ(x)-ƒ(y). Если ƒ(x/y)<0, то что можно сказать про ƒ(y/x)?

Подсказка 3

ƒ(y/x)=ƒ(y)-ƒ(x)=-(ƒ(x)-ƒ(y))=-ƒ(x/y)>0. Это означает, что количество пар (x; y) таких, что ƒ(x/y)<0 равно количеству пар (x; y) таких, что ƒ(x/y)>0. Тогда нам осталось лишь посчитать количество пар, в которых ƒ(x/y)=0. Как это сделать?

Подсказка 4

Мы знаем, что ƒ(x/y)=ƒ(x)-ƒ(y)⇒ нам достаточно посчитать количество пар (x;y) таких, что f(x)=f(y). Т.к. нам известны значения ƒ(x), если x- простое, то мы можем найти все ƒ(x), где x- любое натуральное число от 3 до 27, ведь x раскладывается в произведение простых. Сколько тогда будет пар (x; y) таких, что ƒ(x)=ƒ(y)?

Подсказка 5

Таких пар будет 167. Т.к. всего пар 25²=625, то искомых пар будет (625-167)/2=229.

Показать ответ и решение

Подставляя $a= 1$ в равенство $f(ab)= f(a)+f(b)$ , получаем

f(b)= f(1)+ f(b)⇒ f(1)=0

Если же для произвольных натуральных $x,y$ положить $a= x,b= y y$ , то получаем

(x ) (x) f(x)= f y ⋅y = f y + f(y)

(x ) f y = f(x)− f(y)

Таким образом, чтобы вычислить значение функции $f$ в произвольной положительной рациональной точке нам достаточно значения функции $f$ для любого натурального числа.

Для простых чисел и единицы значения функции мы уже знаем. Для составных чисел значения функции могут быть найдены, если их разложить на простые множители и воспользоваться равенством $f(ab)= f(a)+ f(b)$ , например, $f(15)= f(3 ⋅5)= f(3)+$ $+f(5)=[34]+ [54]= 0+1 =1.$ Аналогичным образом вычисляем значения функции для $n∈ [3;27]$ и записываем их в таблицу:

|--n--|3-|-4-|5-|-6-|7--|8-|-9-|10|11-|12-|13-|14-|15| |f(n)-|0-|-0-|1-|-0-|1--|0-|-0-|1-|-2-|0--|3-|-1-|1-| |-----|--|---|--|---|---|--|---|--|---|---|--|---|--| |--n--|16-|17-|18|19-|20-|21-|22-|23|24-|25-|26-|27-|--| -f(n)--0---4--0---4--1---1---2--5---0--2---3---0-----

Поскольку $(x) (y) f y +f x = f(1)= 0,$ то из $(x) f y <0$ следует, что $(y) f x >0.$ Таким образом, количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $( ) f xy <0$ совпадает с количеством пар, для которых $( ) f xy > 0.$ Посчитаем количество пар $(x;y),$ при которых $( ) f xy = 0.$ Ввиду того, что $( ) f xy = f(x)− f(y),$ нужно найти количество пар $(x;y)$ из таблицы выше, для которых $f(x)=f(y).$ Рассмотрим несколько случаев:

$∙$ $x= y.$ В данном случае имеется 25 вариантов.

$∙$ $x⁄= y,$ а $f(x)= f(y)= 0.$ В таблице есть 10 аргументов, при которых $f = 0.$ Выбирая пару таких аргументов, первый можно выбрать 10 способами, а второй – 9 способами. Значит, количество пар такого типа равно $10⋅9= 90.$

$∙$ $x⁄= y,$ а $f(x)= f(y)= 1.$ Аналогично предыдущему пункту получаем $7⋅6= 42$ пары.

$∙$ $x⁄= y,$ а $f(x)= f(y)= 2.$ Здесь $3 ⋅2 =6$ пар.

$∙$ $x⁄= y,$ a $f(x)= f(y)= 3.$ Здесь $2 ⋅1 =2$ пары.

$∙$ $x⁄= y,$ a $f(x)= f(y)= 4.$ Здесь также $2 ⋅1 =2$ пары.

Итого, есть $25+ 90+ 42+6+ 2+ 2= 167$ пар натуральных чисел $(x;y),$ для которых $f(x) =0. y$ Всего имеется $252 = 625$ пар, поэтому тех, при которых $( x) f y < 0,$ ровно $625−167 --2---=229.$

Ответ: 229

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79129

Две параллельные касательные к графику функции $y = x3− 6$ пересекают оси координат: первая — в точках $A$ и $B$ , вторая — в точках $C$ и $D$ . Найти площадь треугольника $AOB$ , если известно, что она в четыре раза меньше площади треүгольника $COD$ ( $O$ — центр координат).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть касательные касаются графика в точках х₁ и х₂. В условии сказано, что касательные пересекают оси координат, а решение задачи завязано на площадях полученных треугольников. Было бы здорово получить уравнения для нахождения площади каждой фигуры. Как мы можем это вывести?

Подсказка 2

Конечно, на координатной плоскости легко вычислить площадь треугольника, зная координаты его вершин. Их получим из уравнения касательных. Тогда можно легко найти формулы площадей и записать их отношение!

Подсказка 3

Далее вспомните про условие параллельности касательных. Что это нам даёт?

Подсказка 4

Конечно, коэффициенты при х равны! При этом не забывайте, что прямые разные, то есть х₁ и х₂ (точки касания) не равны.

Показать ответ и решение

Пусть $x 1$ — точка касания, тогда