Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.
Нет, такого быть не может. Докажем от обратного. Пусть и скрещиваются, . Тогда — противоречие с тем, что и скрещиваются.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сторона треугольника параллельна плоскости , а стороны и пересекаются с этой плоскостью в точках и . Докажите, что треугольники и подобны.
Очевидно, что точки лежат в одной плоскости.
Докажем, что . Допустим противное. Тогда , причем они лежат в одной плоскости, следовательно, у них есть некоторая точка пересечения . Тогда . При этом , значит, пересекается с , что противоречит условию.
Из параллельности очевидно следует подобие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой , лежащей в плоскости , то или лежит в .
Решение
Обозначим данную прямую через . Тогда для каждой из двух плоскостей в этой плоскости есть прямая, параллельная (ведь прямая пересечения лежит в обеих плоскостях и параллельна ), а значит, по теореме 1 прямая параллельна каждой из двух плоскостей.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка не лежит в плоскости трапеции с основанием Докажите, что прямая параллельна плоскости
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой лежащей в плоскости то или лежит в
Решение
Так как — трапеция с основаниями и то При этом следовательно, по теореме 1
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и лежат в плоскости , а точка не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков и , параллельна плоскости
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой , лежащей в плоскости , то или лежит в .
Решение
Обозначим середины через и . как средняя линия в треугольнике . При этом следовательно, по теореме 1 .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Треугольники и не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку , пересекает плоскости данных треугольников.
Докажем от противного. Допустим, что некоторая прямая не пересекает плоскость , то есть или лежит в . Тогда или лежит в , что противоречит условию. Аналогично для плоскости .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Средняя линия трапеции лежит в плоскости Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость ? Ответ обоснуйте.
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой , лежащей в плоскости , то или лежит в .
Решение
Нет, не пересекают, так как эти прямые параллельны средней линии, следовательно, по теореме 1 параллельны плоскости , которая содержит среднюю линию, либо лежат в этой плоскости.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Стороны и параллелограмма пересекают плоскость Докажите, что прямые и также пересекают плоскость .
Допустим противное, пусть не пересекается с , то есть или лежит в . При этом , так как — параллелограмм. Получаем или лежит в , что противоречит условию пересечения сторонами и параллелограмма плоскости . Для прямой аналогично.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Параллельные прямые и лежат в плоскости . Докажите, что прямая , пересекающая прямые и , также лежит в плоскости .
Две параллельные прямые и однозначно задают плоскость . Пусть , . , т.к. . Тогда две точки прямой лежат в , следовательно, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — четыре точки пространства. Докажите, что середины отрезков служат вершинами параллелограмма.
(расширенная теорема Вариньона)
Случай, когда все точки лежат в одной плоскости, оставим для самостоятельного изучения. Разберем случай, когда не лежат в одной плоскости, то есть образуют тетраэдр.
Пусть — середины отрезков соответственно. Тогда как средняя линия в треугольнике как средняя линия в треугольнике Следовательно, Параллельность и доказывается аналогично. Значит, — параллелограмм.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — точки, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямая параллельна плоскости, проходящей через середины отрезков
Теорема 1
Если прямая параллельна некоторой прямой лежащей в плоскости то или лежит в
Решение
Рассмотрим плоскость Точка лежит вне этой плоскости, значит, — тетраэдр. Пусть — соответствующие середины. Тогда как средняя линия, причем Следовательно, по теореме 1
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если три плоскости попарно пересекаются и прямые пересечения не совпадают, то эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
(в марафоне мы называем эту теорему «Домик»)
Пусть плоскости и пересекаются по прямой . Рассмотрим третью плоскость . Возможны два случая:
- . Докажем, что прямые и параллельны прямой . Допустим противное, пусть, не
умаляя общности, не параллельна . и лежат в одной плоскости и не параллельны, следовательно
и пересекаются. При этом лежит в плоскости , значит, и пересекается с . Получили
противоречие с .
- . Если они не параллельны, значит, имеют точку пересечения. Обозначим эту точку . Она принадлежит всем трем плоскостям. Каждая пара плоскостей пересекается по прямой, значит, принадлежит всем трем прямым.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если три вершины квадрата лежат в плоскости, то все вершины (то есть весь квадрат) лежат в этой плоскости.
Пусть вершины , и квадрата лежат в плоскости . Допустим точка не лежит в плоскости Квадрат является параллелограммом, следовательно, , причем . Получаем, что прямая , не лежащая в , параллельна прямой , лежащей в плоскости , т.е. . Одновременно с этим проходит через точку , лежащую в плоскости , что противоречит определению параллельности прямой и плоскости.