1. Неверно. Давайте рассуждать от противного: пусть Тогда если предположить, что - сходится, то, перебрасывая сходящуюся направо, получим, что И тогда обязана была бы сходиться как разность двух сходящихся и Однако ж по условию дано, что - расходится. Противоречие.

2. Верно. Ровно это мы и доказали в пункте 1.

3. Вообще говоря, нет, если в качестве взять тождественно равную 1 последовательность. То есть, если то - расходится по условию.

4. Вообще говоря, нет, если в качестве взять тождественно равную 0 последовательность. То есть, если то - очевидно сходится.

5. Да, поскольку любая сходащася последовательность ограничена. Вот доказательство:
Доказательство: Доказательство проводится в 2 этапа:
1. Ограничим сначала бесконечный "хвост" последовательности А именно, раз уж нам дано, что сходится к то какую бы маленькую окрестность этого мы ни взяли (), "за бортом" этой окрестности окажется лишь конечное множество членов (). Сколь угодно маленькая нам здесь даже не нужна. Возьмем просто хоть какую-нибудь окрестность Допустим, окрестность радиуса (то есть ). Тогда, по определению того, что То есть рано или поздно, на мы заползём в единичную окрестность числа Значит, начиная с этого самого мы нашу окрестность тупо ограничиваем сверху - правым краем этой окрестности, снизу - левым краем. То есть, выполнено А что делать с начальным куском последовательности, то есть с теми её членами, номера которых меньше или равны ?
2. Начальный кусок на то и начальный, что в нём в любом случае содержится только конечное множество членов последовательности, а именно: Ясное дело, что среди них есть максимум и минимум:

Вот эти самые наш начальный кусок и ограничат.
Но мы-то хотели, вообще-то, ограничить всю последовательность, как говорят, равномерно. То есть не по отдельности начало её и бесконечный хвост. Мы хотели найти такие константы что Как это сделать? По сути, пункты 1 и 2 дают нам такую вот систему неравенств:

Как же нам ограничить всю ?. Ясное дело, взяв просто максимум из двух верхних и минимум из двух нижних границ, мы получим, что будет выполнено, что

6. Не обязательно. Например, - расходится и неограничена.

7. Не обязательно. Например, очевидно сходится к 0 (числитель ограничен, а знаменатель неограниченно возрастает). Но она немонотонна. Более того, она не немонотонна ни с какого момента поскольку каждый последующий её член, как очевидно из формулы, отличается знаком от предыдущего.

8. Не обязательно. Подойдёт как раз контпример из пункта 7.

9. Не обязательно. Если наша была, например, константной последовательностью, равной то есть то вставив в её нечётные номера единицы, мы просто тогда получим последовательность которая, очевидно, расходится.

Поскольку два пункта нашего предложения двойственны друг другу, докажем только один из них (другой доказывается абсолютно аналогично).

Итак, докажем пункт 1. Т.е. пусть и Но раз то для любого такое, что все члены последовательности с номерами большими, чем (т.е. при ) удовлетворяют неравенству .

Теперь давайте просто возьмём такой , что т.е. выберем меньшим, чем расстояние от до нуля.

Но мы знаем, что все члены нашей последовательности начиная с номера попадут в -окрестность числа Но поскольку по построению эта окрестность находится с одной стороны от нуля то все члены нашей последовательности будут иметь (начиная с номера ) тот же знак, что и Что и требовалось доказать.

a) Понятно, что должно расти медленнее, чем поскольку - это произведение двоек, а - это произведение чисел, которые почти все больше двойки. Попробуем теперь превратить эту идею в аккуратное доказательство:
Во-первых, идея наша здесь будет в том, чтобы оценить сверху нашу последовательность чем-то, что заведомо стремится к И вот как мы это сделаем.

Поясним переход с неравенством: мы заменили все серединные члены в дроби то есть члены вида на от чего произведение, разумеется, увеличилось, потому что все эти члены, как легко видеть, меньше (в числителях у нас стоят одни двойки, а в знаменателях - числа от до ).

Таким образом, мы получили, что, где Значит, и наша последовательность стремится к
b) Нас просят посчитать то есть предел последовательности, которая представляет собой значения функции синус в натуральных точках. Естественной гипотезой было бы то, что такая последовательность не может иметь предела, поскольку синус - это что-то постоянно болтающееся и ни к чему на бесконечности не стремящееся.
Попробуем воплотить эту идею в доказательство.
Давайте попробуем доказать от противного, что последовательность предела не имеет. То есть, предположим, что всё таки
Но тогда, разумеется, и (мы начали просто идти не с первого члена последовательности, а со второго), и точно так же Ну а значит
Однако вспомним немного школьную тригонометрию. А именно, формулу разности синусов:

Ну а раз так, то То есть, получается, что
Но - это просто какая-то ненулевая константа. Значит, мы получаем, что обязательно
В то же время, т.к. второй сомножитель стремится к а первый - ограничен. Значит, Но значит и сам должен стремиться к

И всё, что нам осталось сделать - это вспомнить основное тригонометрическое тождество:

Но мы только что доказали, что и одновременно с этим Однако, по основному тригонометрическому тождеству, их сумма при любом должна быть равна Значит оба одновременно они к стремиться к не могут. Противоречие с предположением, что Значит, никакого предела у последовательности существовать не могло.
c) Первое, что мы заметим - это то, что последовательность ограничена по модулю то есть
Далее, представим нашу последовательность в виде Исследуем отдельно первый сомножитель Вновь поделим на самую большую степень, с которой входит во всю дробь. В данном случае делить мы будем на то есть на в первой степени. Итак, = У этой дроби, очевидно, числитель стремится к а знаменатель - к Значит, по свойству, что предел отношения равен отношению пределов, вся дробь стремится к А значит, как произведение бесконечно малой на ограниченную.
d) Мы уже научены опытом, что в таких случаях всё будет решать то, какие коэффициенты стоят при старших членах в числителе и в знаменателе.
После раскрытия скобок в числителе старший член будет а в знаменателе старший член, тоже после раскрытия скобок, будет Значит, после того как мы поделим и числитель и знаменатель всей дроби на окажется, что предел её равен
e) И вновь интуиция должна подсказать нам поделить и числитель и знаменатель на максимальную - но теперь уже не степень а выражение с максимальным основанием степени, то есть поделить числитель и знаменатель на Что же из этого получится?

В числителе мы имеем сумму где первое слагаемое - бесконечно малая (по сути это частный случай последовательностей типа которые всегда стремятся к ), значит, числитель здесь стремится к Знаменатель, по аналогичным соображениям, это произведение бесконечно малой на - всё равно бесконечно малая, плюс Значит, знаменатель стремится к Значит, по вся дробь стремится к отношению пределов числителя и знаменателя, то есть к Итого, мы получили, что

a) В подобных примерах, то есть когда мы встречаемся с пределом, в котором один многочлен делится на какой-то другой многочлен, очень частым "трюком"на самом деле, когда вы к нему привыкнете, для вас он перестанет быть трюком и будет просто обыденным приёмом) является поделить и числитель и знаменатель на максимальную степень, в которой входит в нашу дробь. В данном случае мы будем делить на (Суть в том, что мы хотим узнать, кто на бежит быстрее: числитель или знаменатель. А узнать это проще всего как раз поделив на максимальную степень.)

Таким образом, имеем: Мы видим, что числитель нашей дроби стремится к в то время как знаменатель представляет из себя сумму и бесконечно малой то есть стремится к Таким образом, пользуясь утверждением о пределе частного, получаем, что:
b) Давайте немного преобразуем наше выражение стоящее под знаком предела. А именно:
Откуда уже нетрудно понять, что знаменатель будет стремиться к а значит вся дробь будет стремиться к Значит,
c) Здесь делаем то же самое, что и в пункте a). То есть, в данном случае делим и числитель и знаменатель

Таким образом,
d) Легко видеть, что первый сомножитель стремится к 4:
А второй сомножитель стремится к :
Таким образом, из-за того, что предел произведения равен произведению пределов, мы имеем, что

e) Давайте здесь разделим и числитель и знаменатель на
Тогда числитель нашей дроби превращается в Видно, что он стремится к (Потому что мы имеем сумму и двух бесконечно малых. Обращаем внимание, что стремится к т.к. показательная функция растёт быстрее степенной - мы это докажем более строго в одной из последующих задач).
В свою очередь в знаменателе будут одни сплошные бесконечно малые. Он будет равен Первое слагаемое стремится к по предыдущему пункту f). Остальные - по более очевидным причинам. Таким образом, в числителе у нас в пределе будет а знаменатель стремится к Значит, наша дробь "стремится" к то есть никакого предела у неё нет.

Эта дробь умножалась на которая стремится к Но если мы умножаем что-то, что "стремится" к на что-то, стремящееся к то у произведения, конечно, никакого предела быть не может. Значит, в этом пункте ответ такой: последовательность предела не имеет.
f) Здесь нам пригодится такая наука, как формула бинома Ньютона:

Давайте воспользуемся ей для Тогда получим:

Таким образом, знаменатели дробей в нашей последовательности ограничены снизу:
А, значит, сами дроби ограничены сверху:

Докажем, для начала, одну вспомогательную лемму.
Лемма. Если и то - ограничена.
Доказательство. Действительно, поскольку а то, просто по определению предела, начиная с какого-то момента мы будем попадать в любую -окрестность числа Но нам надо отступить от нуля, чтобы не получилось случайно, что знаменатели у слишком маленькие, то есть сами дроби - слишком большие. Поэтому пусть - расстояние от точки до нуля. Возьмём теперь в качестве число Тогда (по определению того, что ) такое, что или, переписывая это последнее неравенство:

Но мы тем самым отделили от нуля (так как числа и очевидно одного знака, то есть находятся по одну сторону от Если сомневаетесь, вспомните, что у нас и обозначало то есть расстояние от до нуля). Осталось только взять и перевернуть все члены неравенства (от этого и все знаки в неравенстве поменяются), и получить, что

Вот мы и ограничили последовательность Лемма доказана.

Перейдём теперь к основному утверждению задачи. Докажем, сначала, что будет стремиться к
Действительно, для этого достаточно установить, что - бесконечно малая. Или, приводя к одному знаменателю, что - бесконечно малая. Но наша дробь представляется попросту в виде произведения:

Первый член произведения - бесконечно малая (т.к. нам дано, что стремится к ). Второй член произведения, то есть - ограничен по лемме, которую мы только что доказали. Значит, мы имеем произведение бесконечно малой на ограниченную - это произведение тоже бесконечно мало. Значит, действительно стремится к

А значит, если мы возьмём то эту дробь можно рассмотреть как произведение Первый сомножитель здесь по тому, что нам дано, стремится к а второй, по тому, что мы только что доказали, стремится к Значит, всё наше выражение стремится к (теорема о пределе частного.)

Доказывать подобные свойства последовательностей удобно, сводя всё к свойствам бесконечно малых последовательностей. Так и сделаем. А именно, раз то, понятное дело, (проверьте сами по определению) последовательность обязана оказаться бесконечно малой (мы просто вычли из нашей последовательности её предел ). То есть,
По аналогичным соображения мы можем сказать, что и Теперь мы имеем дело с двумя бесконечно малыми последовательностями Значит, мы можем написать, что и (Мы так и определили, фактически, эти и )

Далее, просто перемножим и и раскроем скобки:

И что же мы видим? Первое слагаемое - это произведение бесконечно малых Но произведение бесконечно малых само бесконечно мало. Второе и третье слагаемое - это произведение соответствующей бесконечно малой на константу. Это тоже будет бесконечно малой. Ну а четвертое слагаемое - это просто произведение пределов последовательностей и Таким образом, обозначив за мы получаем, что наше произведение представляется в виде где -бесконечно малая. значит, обязано стремиться к

Напомним, что сходящаяся последовательность обязательно ограничена. У нас тут по условию целых две сходящихся последовательности: и - можно выбрать любую. Выберем, например, Раз она сходится к нулю по условию, то она является ограниченной. То есть такая, что будет
Что можно тогда сказать про произведение ? Ясно, что раз будет то при всех можно модуль произведения ограничить сверху Ну а снизу модуль всегда ограничен нулём. Таким образом, мы имеем, что:

Далее, поскольку то и тоже должна стремиться к (потому что это произведение бесконечно малой последовательности на константу, то есть на заведомо ограниченную последовательность, а значит, как мы уже обсуждали ранее, она стремится к ). Таким образом, наше произведение снизу по тривиальным причинам ограничено нулём, а сверху зажато последовательностью которая, как мы показали, стремится к Значит, и нашей последовательности некуда деваться - она тоже обязана стремиться к

Всё, что нам нужно доказать - это что такое, что как только то обязательно
При этом, мы знаем, что - бесконечно малая, то есть для неё самой выполнено, что такое, что как только то обязательно
Итак, давайте сначала поймём, какой константой у нас ограничена Пускай это будет число т.е. будет

Далее, пусть нам дали любое Построим по нему такое (из определения того, что сходится к нулю), что при всех будет

И этого, на самом деле, нам уже достаточно. Смотрите, теперь, поскольку для всех мы ограничили константой то это означает, что, начиная с произведение меньше, чем т.к. первый сомножитель меньше (мы так выбрали выше), а второй меньше Значит произведение просто-напросто меньше и мы всё доказали.

Для начала, обсудим одну вспомогательную лемму, которая нам понадобится как в решении этой задачи, так и много где ещё в дальнейшем. Так что рекомендуется её продумать и запомнить. Лемма эта называется "неравенство треугольника" (подумайте, почему?).
Лемма. Для любых выполнено, что
Доказательство. Тут достаточно просто рассмотреть случаи в зависимости от знаков и

1.

Если и оба положительны или оба отрицательны, то есть, короче говоря, одного знака, то это неравенство просто обращается в равенство. Модули снимаются везде одинаково, и поэтому модуль от суммы будет просто равен самой сумме, либо минус сумме. В правой же части будет стоять то же самое, если раскрыть модуль.

2.

Если же разных знаков, то в левой части неравенства одно из них "отъест" часть другого, и поэтому она будет строго меньше, чем сумма модулей, потому что модули у них берутся по отдельности и в уничтожат один из минусов, который есть либо у либо у

Перейдём теперь к решению самой задачи. Итак, нам дано, что и то, что Для последовательности это означает, что какое бы нам ни дали, мы всегда по нему можем найти такой момент что начиная с него, то есть вся наша последовательность попадает в -окрестность числа То есть, начиная с этого будет выполняться неравенство
Аналогичным образом, мы по любому можем строить какое-то своё начиная с которого последовательность попадёт в -окрестность числа То есть, начиная с которого будет выполнено Получаем, таким образом, такую вот систему неравенств:

где и строятся по что и отражено в записи и
Ну и что нам теперь с этой системой делать? Вспомним, что мы вообще хотим доказать. Мы хотим доказать, что То есть, мы хотим по любому уметь строить такое что при всех будет выполняться, что На самом деле, у нас для этого уже всё готово.
Итак, пусть нам дали какое-то Мы сначала построим по нему и начиная с которых и соответственно попадают в -окрестности своего предела (как в системе неравенств выше). Далее, возьмём такое чтобы оба неравенства в нашей системе были выполнены одновременно. Подойдёт, самое простое, Таким образом, при всех будут выполнены оба неравенства системы, то есть, одновременно и будет в -окрестности числа и будет в -окрестности числа
А теперь, оценим то что мы на самом деле хотели сделать меньше этого Итак, при будет выполнено:

(именно здесь, внимание, мы и воспользовались неравенством треугольника в самом первом неравенстве! а второй переход объясняется просто тем, что оба условия нашей системы при выполнены)
Получается, мы умеем делать модуль разности меньше чем Но было вообще любым сколь угодно маленьким числом. Так что тоже можно сделать сколь угодно малым. Можно просто обозначить его за и сказать, что мы умеем делать модуль разности меньше любого наперёд заданного начиная с какого-то номера (алгоритм его построения мы описали выше).
Вот мы и доказали по определению, что

Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть, наоборот, , но при этом .
Поскольку , то расстояние от чилса до числа отлично от нуля.

А именно, пусть , и тогда очевидно, что что , именно из-за того, что - различные числа.

Далее, по определению предела, из того факта, что , найдём такое , что при всех будет выполнено .

Аналогично, по определению предела, из того факта, что , найдём такое , что при всех будет выполнено . То, что мы сейчас сделали, поясним на картинке.

Далее, возьмём , получим, что все члены последовательности с номерами должны удовлетворять и неравенству , то есть быть не дальше, чем на от числа , и неравенству , то есть быть не дальше, чем на от числа одновременно. Но это невозможно в силу того, что расстояние между числами и равно , значит любой член последовательности обязан быть либо не дальше чем на от числа , либо не дальше чем на от числа , но уж точно не одновременно.

Мы получили противоречие, следовательно, .

Давайте приглядимся к определению того, что сходится к некоторому числу :

Так вот, если мы знаем, что то, на самом деле, для последовательности тот момент начиная с которого все её члены попадут в ту же самую -окрестность наступит даже раньше. А именно, если у все члены попадают начиная с номера то у просто по её определению, они все будут попадать начиная с момента

Наоборот, если сходится к числу то тоже будет сходиться, просто её члены в ту же самую -окрестность числа будут попадать на номеров позже, чем члены последовательности
Тем самым мы показали, что эти две последовательности сходятся одновременно (одна сходится тогда и только тогда, когда сходится другая). Более того, нетрудно видеть, что мы также доказали и то, что в случае сходимости их пределы должны быть равны.

Собственно говоря, мы уже всё сделали. Фактически, мы получили последовательность вложенных отрезков:

И причём по построению лежит в Поскольку длины стремятся к (убедитесь в этом сами - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), то все эти дельты и схлопнутся в одну-единственную точку которая и окажется пределом - ведь всякий раз содержится в отрезке всё меньшей длины, а, значит, в пределе просто совпадёт с одной-единственной точкой, общей для всех отрезков (она существует по лемме Коши-Кантора/лемме о вложенных отрезках) :

Это неверно. Например такая последовательность ограниченная сверху снизу но не сходится ни к какому пределу.

Сходящимися последовательностями здесь будут последовательности из пунктов b), e), f), h).
Нетрудно понять, что следующие константы доставляют нижние и верхние границы соответственно:
b)
e)
f)
h)

Доказательство проводится в 2 этапа:
1. Ограничим сначала бесконечный "хвост" последовательности А именно, раз уж нам дано, что сходится к то какую бы маленькую окрестность этого мы ни взяли (), "за бортом" этой окрестности окажется лишь конечное множество членов (). Сколь угодно маленькая нам здесь даже не нужна. Возьмем просто хоть какую-нибудь окрестность Допустим, окрестность радиуса (то есть ). Тогда, по определению того, что То есть рано или поздно, на мы заползём в единичную окрестность числа Значит, начиная с этого самого мы нашу окрестность тупо ограничиваем сверху - правым краем этой окрестности, снизу - левым краем. То есть, выполнено А что делать с начальным куском последовательности, то есть с теми её членами, номера которых меньше или равны ?
2. Начальный кусок на то и начальный, что в нём в любом случае содержится только конечное множество членов последовательности, а именно: Ясное дело, что среди них есть максимум и минимум:

Вот эти самые наш начальный кусок и ограничат.
Но мы-то хотели, вообще-то, ограничить всю последовательность, как говорят, равномерно. То есть не по отдельности начало её и бесконечный хвост. Мы хотели найти такие константы что Как это сделать? По сути, пункты 1 и 2 дают нам такую вот систему неравенств:

Как же нам ограничить всю ?. Ясное дело, взяв просто максимум из двух верхних и минимум из двух нижних границ, мы получим, что будет выполнено, что

a) Эта последовательность, нетрудно видеть, вообще неограниченно возрастает (а как мы знаем, сходящаяся последовательность обязана быть ограниченной). То есть она как бы "не накапливается" ни около какого числа. (В некотором смысле, она накапливается около и про такие последовательности, скорее неформально, мы будем говорить, что ).
b) А это уже похоже на последовательность которая, как известно, сходится к Только здесь мы добавили к последовательности которая, понятное дело, стремится к (это почти что только начинающаяся с ). Значит, наша последовательность, как сумма и стремящейся к имеет предел, равный То есть, можно записать:
c) По чётным номерам она равна по нечётным Таким образом, ни ни не могут являться её пределами, поскольку (вспоминаем определение), и у той и у другой точки существует маленькая (достаточно взять радиус окрестности меньше ) окрестность, за пределами которой находится бесконечно много членов последовательности А именно - за пределами маленькой окрестности будут находиться все члены с нечётными номерами; за пределами маленькой окрестности числа - с чётными.
d) Это слегка модифицированный первый пример из пункта с). Только тут мы домножили нашу "болталку" на От этого она, разумеется, не начнёт никуда сходиться. Наоборот, давайте посмотрим на первые несколько членов нашей последовательности:

То есть, мы теперь не просто при каждом следующем шаге переходим от положительного числа к отрицательному, но ещё и увеличиваем размах. Каждый следующей член последовательности меняет знак с предыдущего, и увеличивается по модулю на Но даже когда мы просто болтались между и никакого предела у неё не было. А теперь - тем более.
e) А здесь наоборот, мы стали нашу "болталку" делить на Это уже более интересный случай. Проследите за первыми несколькими членами этой последовательности:

Ничего не напоминает? Правильно, это наша давно известная последовательность про которую мы уже знаем, что она стремится к Но теперь у нас члены этой последовательности с чётными номерами идут с плюсом, а с нечётными - с минусом. То есть мы будем точно так же стремиться к то теперь на каждом шаге мы будем подходить к нему всё ближе и ближе, но с разных сторон - то слева от нуля, то справа.
Таким образом, можно записать:
f) Опять же, чтобы интуитивно "прочувствовать к чему такая последовательность должна стремиться, можно вычислить несколько её первых членов:

Члены этой последовательности, как мы видим, подозрительно уменьшаются. Можно настойчиво посчитать еще несколько членов и убедиться, что они рано или поздно станут и меньше и меньше Таким образом, у нас рождается гипотеза, что наша должна стремиться к 0. Эта гипотеза верная, попробуем её доказать.
Для этого нужно по любому научиться строить такой что при всех Применяем наш уже старый трюк: надо найти такое что Но это неравенство эквивалентно тому, что: (снимаем модуль и берём логарифм по основанию от обеих частей, не забывая, что т.к. основание логарифма меньше он поменяет знак неравенства) Таким образом, когда нам дадут какой-то то мы просто посчитаем логарифм от него и возьмём какое-нибудь натуральное число такое, что Это гарантирует нам, что И тогда уж тем более для всех будет выполнено потому что наша последовательность становится всё меньше и меньше с ростом Таким образом, мы умеем по любому находить тот момент, начиная с которого вся последовательность попадает в -окрестность нуля. Мы доказали, тем самым, что
g) Посчитайте сами несколько первых членов последовательности. В отличие от предыдущего пункта, они наоборот будут увеличиваться - вначале медленно, а затем всё быстрее и быстрее. На самом деле, здесь штука в том, что, поскольку в степень мы возводим всякий раз числа большие то такая последовательность будет неограниченно расти.
То есть, можно сказать, что члены этой последовательности будут сколь угодно большими с ростом то есть такой, что (а именно, это ищется как ).
Ни о каком пределе не может быть и речи. (Или, неформально говоря, наша ).
h) Желающие могут вновь поподставлять какие-то маленькие значения и, посмотрев на первые члены последовательности, предположить гипотезу, к чему сходится и сходится ли вообще. Мы же сделаем проще:
Ясно, что Таким образом, наша последовательность представляется в виде где Легко убедиться, что значит,
i) Первое, что мы заметим - это то, что последовательность ограничена по модулю то есть
Далее, представим нашу последовательность в виде Исследуем отдельно первый сомножитель Вновь поделим на самую большую степень, с которой входит во всю дробь. В данном случае делить мы будем на то есть на в первой степени. Итак, = У этой дроби, очевидно, числитель стремится к а знаменатель - к Значит, по свойству, что предел отношения равен отношению пределов, вся дробь стремится к А значит, как произведение бесконечно малой на ограниченную.
j) Этот пример очень похож на предыдущий пункт i).
Ясно, что последовательность - ограничена (т.к. функция - ограничена).
Но мы ведь домножаем эту последовательность на Покажем, что - бесконечно малая.
Действительно, поделим и числитель и знаменатель вновь на наибольшую степень, то есть на и тогда получится, что Видно, что здесь у нас числитель стремится к т.к. - это просто домноженная на коэффициент бесконечно малая
Знаменатель же, то есть стремится к Значит, вся дробь стремится к

a) Каким образом вообще у последовательности может не быть предела?
Например, она может болтаться и никогда не стремиться ни к какой точке. Самая простая "болталка" это последовательность
По чётным номерам она равна по нечётным Таким образом, ни ни не могут являться её пределами, поскольку (вспоминаем определение), и у той и у другой точки существует маленькая (достаточно взять радиус окрестности меньше ) окрестность, за пределами которой находится бесконечно много членов последовательности А именно - за пределами маленькой окрестности будут находиться все члены с нечётными номерами; за пределами маленькой окрестности числа - с чётными.

Контрольный вопрос: мы только что показали, что и не являются достойными кандидатами на предел последовательности Но почему все остальные кандидаты тоже не подходят?

Ещё один пример последовательности, которая не имеет предела, может выглядеть, например, так: Эта последовательность, нетрудно видеть, вообще неограниченно возрастает (одна из следующих задач будет говорить о том, что она в таком случае заведомо не может быть сходящейся). То есть она как бы "не накапливается" ни около какого числа. (В некотором смысле, она накапливается около и про такие последовательности, скорее неформально, мы будем говорить, что ).
Попробуйте произвести чуть более формальное доказательство, что у никакого предела быть не может.
b). Стандартный пример такой последовательности - это последовательность чисел, обратных к натуральным:
И так, конечно, ясно, что чем больше тем больше знаменатели дробей, и тем меньше сами дроби - они всё стремительнее и стремительнее приближаются к (но самому никогда равны не станут, впрочем, это не мешает последовательности стремиться к 0).
Если же мы хотим порассуждать чуть более строго, то, формально, по определению, чтобы доказать, что при то нужно доказать, что:

Минус ноль можно под модулем и не писать, и мы получаем, что нам нужно доказать, что:

Докажем это: Пусть нам дали какой-то конкретный Какой именно - мы не знаем, нам могли дать любой (как и написано в определении предела: и т.д.)
Итак, по этому самому нам надо научиться строить такой что при всех Полученное неравенство можно переписать так, раскрыв модуль: (т.к. всегда положительна, и модуль от неё раскрывается всегда с одним знаком). Как же научиться строить такое ?
Для этого сделаем такой не самый хитрый трюк: (и мы очень часто, когда будем искать предел по определению, будем делать именно так)

Найдём такое что Но это неравенство эквивалентно неравенству То есть чтобы надо взять любое натуральное число большее, чем
А далее мы замечаем такую простую вещь, что и при любых тем более будет выполняться неравенство (Если мы уже при сделали дробь меньше то, т.к. то дробь и того меньше, чем которая, в свою очередь, уже сделана меньше ).
Таким образом, мы умеем по любому определять, начиная с какого момента все члены последовательности будут попадать в -окрестность числа Значит, мы по определению проверили, что является её пределом.
c) Первая последовательность, которая может придти в голову в качестве тривиального примера - такая:

Короче говоря, это константная последовательность, которая при любом равна Разумеется, она подходит. Нетрудно проверить, что если последовательность для какой-то константы при любом то она будет сходящейся, и обязательно будет сходиться к этой самой константе (а куда ж ещё ей сходиться?!).

На самом деле, решив предыдущий пункт b), мы теперь в состоянии конструировать огромное количество сходящихся к чему угодно последовательностей.
Например, чтобы построить последовательность, сходящуюся к нужно просто взять какую-нибудь сходящуюся к последовательность, и добавить к ней (логично). Тогда такая сумма неизбежно будет сходиться к (Убедитесь в этом сами, просто проверив определение).

Таким образом, мы можем легко построить ещё парочку примеров, просто взяв, допустим и обе из которых, очевидно, сходятся к ( даже заметно быстрее, чем что в контексте нынешней задачи, впрочем, неважно). Ну и далее, остаётся к ним просто добавить число
Получим два таких примера: двух последовательностей, сходящихся к числу

a) Неформально, это означает, что никакое число не годится в кандидаты на предел последовательности То есть, какое бы число на вещественной прямой я ни взял, у него всегда найдётся такая окрестность, что для неё не будет выполнено, что начиная с некоторого номера все члены последовательности попадают в эту окрестность. Или, иными словами, какое бы я ни взял, у него всегда найдётся окрестность, за пределами которой находится бесконечно много членов последовательности
Формально определение того, что записывается так:

b) Это попросту означает, что конкретно для числа не будет выполняться определение предела, то есть

Однако это вообще ещё не означает, что последовательность не имеет предела. Она может быть и сходящейся, просто к какому-то другому числу, не к

Нет, не обязательно. Например, последовательность не является ограниченной, но при этом снизу она, конечно, ограничена, например, нулём.