Доказывать подобные свойства последовательностей удобно, сводя всё к свойствам бесконечно малых последовательностей. Так и сделаем. А именно, раз то, понятное дело, (проверьте сами по определению) последовательность обязана оказаться бесконечно малой (мы просто вычли из нашей последовательности её предел ). То есть,
По аналогичным соображения мы можем сказать, что и Теперь мы имеем дело с двумя бесконечно малыми последовательностями Значит, мы можем написать, что и (Мы так и определили, фактически, эти и )

Далее, просто перемножим и и раскроем скобки:

И что же мы видим? Первое слагаемое - это произведение бесконечно малых Но произведение бесконечно малых само бесконечно мало. Второе и третье слагаемое - это произведение соответствующей бесконечно малой на константу. Это тоже будет бесконечно малой. Ну а четвертое слагаемое - это просто произведение пределов последовательностей и Таким образом, обозначив за мы получаем, что наше произведение представляется в виде где -бесконечно малая. значит, обязано стремиться к