Напомним, что сходящаяся последовательность обязательно ограничена. У нас тут по условию целых две сходящихся последовательности: и - можно выбрать любую. Выберем, например, Раз она сходится к нулю по условию, то она является ограниченной. То есть такая, что будет
Что можно тогда сказать про произведение ? Ясно, что раз будет то при всех можно модуль произведения ограничить сверху Ну а снизу модуль всегда ограничен нулём. Таким образом, мы имеем, что:

Далее, поскольку то и тоже должна стремиться к (потому что это произведение бесконечно малой последовательности на константу, то есть на заведомо ограниченную последовательность, а значит, как мы уже обсуждали ранее, она стремится к ). Таким образом, наше произведение снизу по тривиальным причинам ограничено нулём, а сверху зажато последовательностью которая, как мы показали, стремится к Значит, и нашей последовательности некуда деваться - она тоже обязана стремиться к