Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить пределы следующих последовательностей или доказать, что у них нет
предела.
a) ;
b)
c)
d)
e)
f)
a) В подобных примерах, то есть когда мы встречаемся с пределом, в котором один
многочлен делится на какой-то другой многочлен, очень частым "трюком"на самом
деле, когда вы к нему привыкнете, для вас он перестанет быть трюком и будет просто
обыденным приёмом) является поделить и числитель и знаменатель на максимальную
степень, в которой входит в нашу дробь. В данном случае мы будем делить на
(Суть в том, что мы хотим узнать, кто на бежит быстрее: числитель или
знаменатель. А узнать это проще всего как раз поделив на максимальную степень.)
Таким образом, имеем: Мы видим, что числитель нашей дроби
стремится к в то время как знаменатель представляет из себя сумму и
бесконечно малой то есть стремится к Таким образом, пользуясь
утверждением о пределе частного, получаем, что:
b) Давайте немного преобразуем наше выражение стоящее под знаком
предела. А именно:
Откуда уже нетрудно
понять, что знаменатель будет стремиться к а значит вся дробь будет
стремиться к Значит,
c) Здесь делаем то же самое, что и в пункте a). То есть, в данном случае делим и
числитель и знаменатель
Таким образом,
d) Легко видеть, что первый сомножитель стремится к 4:
А второй сомножитель стремится к :
Таким образом, из-за того, что предел произведения равен произведению пределов,
мы имеем, что
e) Давайте здесь разделим и числитель и знаменатель на
Тогда числитель нашей дроби превращается в Видно, что он
стремится к (Потому что мы имеем сумму и двух бесконечно малых.
Обращаем внимание, что стремится к т.к. показательная функция растёт
быстрее степенной - мы это докажем более строго в одной из последующих
задач).
В свою очередь в знаменателе будут одни сплошные бесконечно малые. Он будет
равен Первое слагаемое стремится к по
предыдущему пункту f). Остальные - по более очевидным причинам. Таким
образом, в числителе у нас в пределе будет а знаменатель стремится к
Значит, наша дробь "стремится" к то есть никакого предела у неё нет.
Эта дробь умножалась на которая стремится к Но если мы
умножаем что-то, что "стремится" к на что-то, стремящееся к то у
произведения, конечно, никакого предела быть не может. Значит, в этом пункте ответ
такой: последовательность предела не имеет.
f) Здесь нам пригодится такая наука, как формула бинома Ньютона:
Давайте воспользуемся ей для Тогда получим:
Таким образом, знаменатели дробей в нашей последовательности ограничены
снизу:
А, значит, сами дроби ограничены сверху:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!